§3 Euler积分 Beta函数 形如 B(p,q)=x-(1-x)-dx 的含参变量积分称为Beta函数,或第一类 Euler积分。 先讨论它的定义域。将Beta函数写成 B(, 9)=(d-x)dx+ x-(1-x)-dx, 当x→0时,x-(1-x)-~x-1,所以只有当p>0时右边第一个反常积 分收敛。而当x→1时,x-(1-x)-~(1-x)-1,所以只有当q>0时右边 第二个反常积分收敛。这说明了∫x(1-x)dx对于每对 (p,q)∈(0,∞)x(0,+∞)收敛,即Beta函数B(p,q)的定义域为 (0,+∞)(0,+∞)先讨论它的定义域。将 Beta 函数写成 1 2 1 11 11 0 1 2 B( , ) (1 ) d (1 ) d pq pq p q x xx x xx −− −− = −+ − ∫ ∫ , 当 x → 0时， 1 1 )1( − − − p q xx ∼ p−1 x ，所以只有当 p > 0时右边第一个反常积 分收敛。而当x →1时， 1 1 )1( − − − p q xx ∼ 1 )1( − − q x ，所以只有当q > 0 时右边 第二个反常积分收敛。这说明了 1 1 1 0 (1 ) d p q x x x − − − ∫ 对于每 对 qp ∈ +∞×+∞ ),0(),0(),( 收敛，即 Beta 函 数 B( , ) p q 的定义域为 +∞ × +∞),0(),0( 。 Beta 函数 形如 1 1 1 0 B( , ) (1 ) d p q pq x x x − − = − ∫ 的含参变量积分称为 Beta 函数，或第一类 Euler 积分。 §3 Euler积分