朱维耀等：中国页岩气开发理论与技术研究进展 ·1403· 分别建立了基质和裂缝运动方程，形成了一系列 分区耦合物理模型，建立了不同分区内的流动方 多重介质流动模型. 程，通过方程联立消除相邻两区的中间变量，进而 然而，由于页岩气流动的非线性极强，导致数 求解得到了页岩气体积压裂开发的稳态啡稳态压 学求解的难度很大，上述研究极少有采用数学方 力分布和产量数学模型，通过将页岩气开发过程 法求解页岩气开发非线性模型解析解的研究，而 的改造区与非改造区进行耦合，揭示了人工改造 主要都是基于多重介质模型的数值求解.这类数 缝网区域与未改造可动用区域流场和产量变化 值解法求解成本较大、不确定性大，而且难以量化 规律48-9 确定各种流动因素的影响，笔者根据前述页岩气 直井开发的页岩气单相非线性流动的稳态数 跨尺度流动统一渗流模型，以及页岩气流动区域 学模型为： Pe-pw 9 (4) 1 ed+1 p-p哈 PseTuZ 如e xf Krwphrder+ ZseTse 2nKoh E-p匠+3D -(Pe-Pm)+ PseTuZ xf 2 16K ZseTse2πKoh .qd 其中，q为气体产量，m3s,;Pe为储层初始压力， 2re Pa;pw为井底压力，Pa;Kr为裂缝渗透率，m:wr为 裂缝宽度，m;hr为裂缝高度，m;pm为改造区与非 而qa按照Langmuir模型计算，其表达式为so: 改造区相交处压力，Pa;Pc为标态压力，Pa;T为地 层温度，K;Z为气体压缩因子；Zc为气体标态压缩 因子；Tc为标态温度，K;e为供给半径，m;x为裂 其中，'m为Langmuir体积，m3-kg';pL为Langmuir 缝半长，m;h为储层高度，m;qa为解吸气源项， 压力，Pa m3:1为人工裂缝表观系数.表达式如下： 水平井多段压裂开发的数学的稳态模型为： pe-p q= (5) 1 erl+1 PseTuZ 2r+V48+x PseTuZIn Ye Vab +H Krwthaera-1 十 In 4πKNhZseTse 2nKohZseTse 其中.F为稳流系数.表达式如下： F= p-p2 p店-p23uDk PseTuZIn- b3uDK In Pe Nab 2 16K0 (Pe-Pm2)+ 416K0 In pm2KolzsTsqm 其中， 加时，改造区地层压力曲线坡度变缓，说明地层压 △p 力下降减慢，但未改造区的地层压力基本不变 9m= 2πhKN TseZsePgse p TZ 22+V4+ (图14)可见，储层压裂的规模和有效性直接影 3 响页岩气开发的能量供给能力 x好 今后，需要继续研究将微裂缝与人工裂缝加 式中，a为裂缝椭圆形区长半轴，m:b为裂缝椭圆 以区别的强非线性渗流模型，并分析地应力对两 形区短半轴，m;pm2为改造区的边界压力，Pa: 种裂缝的影响.页岩气开采的数学模拟势必需要 Kw为缝网区渗透率，m2,可依照渗透率分形等效 非线性更强的多场耦合模型的求解、多维流动的 方法进行计算5例 求解、多相流动的求解等，同时随着工程技术研究 通过上述数学模型，计算了不同缝网区域大 的深入，此前很少注意到的因素往往越来越受到 小的影响：随着改造区半径增大，压力曲线的变化 重视，例如.目前已有报道指出了裂缝网络支撑剂 坡度基本一致，但改造区边界处的压力值将升高， 的分布情况也将对流动造成影响5)，这是此前的 因此生产压差变大（图13）：计算不同缝网区渗 渗流理论中很少考虑的问题.其中有些问题即使 透率大小的影响，可以发现缝网区裂缝渗透率增 在常规油气藏理论领域也仍然是研究的难点，因分别建立了基质和裂缝运动方程，形成了一系列 多重介质流动模型. 然而，由于页岩气流动的非线性极强，导致数 学求解的难度很大，上述研究极少有采用数学方 法求解页岩气开发非线性模型解析解的研究，而 主要都是基于多重介质模型的数值求解. 这类数 值解法求解成本较大、不确定性大，而且难以量化 确定各种流动因素的影响. 笔者根据前述页岩气 跨尺度流动统一渗流模型，以及页岩气流动区域 分区耦合物理模型，建立了不同分区内的流动方 程，通过方程联立消除相邻两区的中间变量，进而 求解得到了页岩气体积压裂开发的稳态/非稳态压 力分布和产量数学模型，通过将页岩气开发过程 的改造区与非改造区进行耦合，揭示了人工改造 缝网区域与未改造可动用区域流场和产量变化 规律[48−49] . 直井开发的页岩气单相非线性流动的稳态数 学模型为： q = p 2 e − p 2 w 1 Kfwfhfλ · e πλ +1 e πλ −1 + p 2 e − p 2 m p 2 e − p 2 m 2 + 3πϕµDK 16K0 (pe − pm)+ pscTµZ ZscTsc ln re xf 2πK0h · qd pscTµZ ZscTsc ln re xf 2πK0h （4） 其中，q 为气体产量，m 3 ·s−1 ， ；pe 为储层初始压力， Pa；pw 为井底压力，Pa；Kf 为裂缝渗透率，m 2 ；wf 为 裂缝宽度，m；hf 为裂缝高度，m；pm 为改造区与非 改造区相交处压力，Pa；psc 为标态压力，Pa；T 为地 层温度，K；Z 为气体压缩因子；Zsc 为气体标态压缩 因子；Tsc 为标态温度，K；re 为供给半径，m；xf 为裂 缝半长，m； h 为储层高度，m； qd 为解吸气源项， m 3 ；λ 为人工裂缝表观系数，表达式如下： λ = √ 2000K0 ( Kfwf ln 2re xf )−1 而 qd 按照 Langmuir 模型计算，其表达式为[50] ： qd = π ( r 2 e −r 2 w ) hρ ( Vm pe pL + pe −Vm p¯ pL + p¯ ) −π ( r 2 e −r 2 w ) hϕ 其中，Vm 为 Langmuir 体积，m 3 ·kg−1 ；pL 为 Langmuir 压力，Pa. 水平井多段压裂开发的数学的稳态模型为： q = p 2 e − p 2 w 1 Kfwfhλ e πλ +1 e πλ −1 + pscTµZ 4πKNhZscTsc ln   2r 2 e + √ 4r 4 e + x 4 f x 2 f   + F pscTµZ ln re √ ab 2πK0hZscTsc （5） 其中，F 为稳流系数，表达式如下： F = p 2 e − p 2 m2 p 2 e − p 2 m2 2 + 3πµDK 16K0 (pe − pm2)+ b 4 ( 3πµDK 16K0 )2 ln pe pm2 + pscTµZ ln re √ ab 2πK0hZscTsc qm 其中， qm = 2πhKN µ TscZscρgsc psc p T Z ∆p 1 2 ln   2r 2 e + √ 4r 4 e + x 4 f x 2 f   式中，a 为裂缝椭圆形区长半轴，m；b 为裂缝椭圆 形区短半轴 ， m； pm2 为改造区的边界压力 ， Pa； KN 为缝网区渗透率，m 2 ，可依照渗透率分形等效 方法进行计算[51] . 通过上述数学模型，计算了不同缝网区域大 小的影响：随着改造区半径增大，压力曲线的变化 坡度基本一致，但改造区边界处的压力值将升高， 因此生产压差变大（图 13） [52] ；计算不同缝网区渗 透率大小的影响，可以发现缝网区裂缝渗透率增 加时，改造区地层压力曲线坡度变缓，说明地层压 力下降减慢，但未改造区的地层压力基本不变 （图 14） [52] . 可见，储层压裂的规模和有效性直接影 响页岩气开发的能量供给能力. 今后，需要继续研究将微裂缝与人工裂缝加 以区别的强非线性渗流模型，并分析地应力对两 种裂缝的影响. 页岩气开采的数学模拟势必需要 非线性更强的多场耦合模型的求解、多维流动的 求解、多相流动的求解等，同时随着工程技术研究 的深入，此前很少注意到的因素往往越来越受到 重视，例如，目前已有报道指出了裂缝网络支撑剂 的分布情况也将对流动造成影响[53] ，这是此前的 渗流理论中很少考虑的问题. 其中有些问题即使 在常规油气藏理论领域也仍然是研究的难点，因 朱维耀等： 中国页岩气开发理论与技术研究进展 · 1403 ·