其中g(x),g;(x)都是本原多项式,那么必有 r=土1,g(x)=±g1(x) 因为f(x)与g(x)只差一个常数倍,所以f(x)的因式分解问题,可以归结为本原 多项式g(x)的因式分解问题.下面进一步指出,一个本原多项式能否分解成两个 次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项 式的乘积的问题是一致的 定理10( Gauss引理)两个本原多项式的乘积还是本原多项式 定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数 多项式的乘积,那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积. 以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多 项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题 推论设f(x),g(x)是整系数多项式,且g(x)是本原多项式,如果 f(x)=g(x)h(x),其中h(x)是有理系数多项式,那么h(x)一定是整系数多项式 这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法 定理12设 f(x)=a,x"+ax 是一个整系数多项式.而一是它的一个有理根,其中r,s互素,那么 (1)s|an,rao;特别如果f(x)的首项系数an=1,那么∫(x)的有理根都是 整根,而且是a0的因子 (2)f(x)=(x--)q(x) 其中q(x)是一个整系数多项式 给了一个整系数多项式f(x),设它的最高次项系数的因数是v1,v2,…,vk,常 数项的因数是al2,…,u1那么根据定理12,欲求∫(x)的有理根,只需对有限个有 理数用综合除法来进行试验其中 ( ), ( ) 1 g x g x 都是本原多项式，那么必有 , ( ) ( ) 1 1 r = r g x = g x 因为 f (x) 与 g(x) 只差一个常数倍，所以 f (x) 的因式分解问题，可以归结为本原 多项式 g(x) 的因式分解问题.下面进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个 次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项 式的乘积的问题是一致的. 定理 10(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式. 定理 11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数 多项式的乘积，那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积. 以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多 项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题. 推 论 设 f (x) ， g(x) 是整系 数多项式 ，且 g(x) 是本原多项 式，如果 f (x) = g(x)h(x) ，其中 h(x) 是有理系数多项式，那么 h(x) 一定是整系数多项式. 这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法. 定理 12 设 0 1 1 f (x) a x a x a n n n = n + + + − −  是一个整系数多项式.而 s r 是它的一个有理根,其中 r,s 互素,那么 (1) 0 s | an ,r | a ;特别如果 f (x) 的首项系数 an = 1 ，那么 f (x) 的有理根都是 整根，而且是 0 a 的因子. (2) ( ) ( )q(x), s r f x = x − 其中 q(x) 是一个整系数多项式. 给了一个整系数多项式 f (x) ,设它的最高次项系数的因数是 k v ,v , ,v 1 2  ,常 数项的因数是 , , , . 1 2 l u u  u 那么根据定理 12,欲求 f (x) 的有理根,只需对有限个有 理数 j i v u 用综合除法来进行试验