当有理数2的个数很多时,对它们逐个进行试验还是比较麻烦的下面的 讨论能够简化计算. 首先,1和-1永远在有理数丝中出现,而计算f(1)与f(-1)并不困难另 方面,若有理数a(≠±1)是f(x)的根,那么由定理12, f(x)=(x-a)q(x) 而q(x)也是一个整系数多项式因此商 f(-1) f()=(1)1+aq(-1) 都应该是整数这样只需对那些使商f(与(-都是整数的241来进行试 验.(我们可以假定f(1)与f(-1)都不等于零否则可以用x-1或x+1除f(x)而考 虑所得的商.) 例1求多项式 f(x)=3x+5x3+x2+5x-2 的有理根. 例2证明 ∫(x)=x2-5x+1 在有理数域上不可约 有理数域上多项式的可约性 定理13(艾森斯坦( Eisenstein)判别法)设 f∫ 是一个整系数多项式若有一个素数p,使得 1. plan: P当有理数 j i v u 的个数很多时,对它们逐个进行试验还是比较麻烦的.下面的 讨论能够简化计算. 首先,1 和-1 永远在有理数 j i v u 中出现,而计算 f (1) 与 f (−1) 并不困难.另一 方面,若有理数 a( 1) 是 f (x) 的根,那么由定理 12, f (x) = (x −)q(x) 而 q(x) 也是一个整系数多项式.因此商 ( 1) 1 ( 1) (1), 1 (1) = − − + − = − q a f q a f 都应该是整数.这样只需对那些使商 a f a f + − − 1 ( 1) 1 (1) 与 都是整数的 j i v u 来进行试 验.(我们可以假定 f (1) 与 f (−1) 都不等于零.否则可以用 x −1 或 x +1 除 f (x) 而考 虑所得的商.) 例 1 求多项式 ( ) 3 5 5 2 4 3 2 f x = x + x + x + x − 的有理根. 例 2 证明 ( ) 5 1 3 f x = x − x + 在有理数域上不可约. 二、有理数域上多项式的可约性 定理 13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设 0 1 1 f (x) a x a x a n n n = n + + + − −  是一个整系数多项式.若有一个素数 p ,使得 1. p an | ; 2. 1 2 0 p | an− ,an− ,  ,a ; 3. 0 2 p | a