◆210· 北京科技大学学报 第34卷 △u(O 3 结论 u() u(t) x() 本文用虚拟等价系统的概念和方法分析基于 T-S模型的模糊控制系统的稳定性，所得到的判据 图6TS模糊控制系统的虚拟等价系统 说明，模糊控制系统的稳定性主要取决于三个方面： Fig.6 Virtual equivalent system for the T-$model based fuzzy con- 第一，模糊规则的局部模型集合能够覆盖被控对象 trol system 的不确定性：第二，模糊规则的归一化隶属度函数应 的不确定性，即被控对象的真实模型可以用m个局 该能够识别或辨识真实的对象模型：第三，每个局部 部模型所逼近，且逼近误差‖e(t)‖0： 控制器镇定相应的局部模型. (2)归一化隶属度函数4：，i∈L在控制系统工 作的任何阶段均能正确识别相应的局部模型： 参考文献 (3)每个局部控制器镇定它所对应的局部模 [1]Takagi T.Sugeno M.Fuzzy identification of systems and its appli- 型，且局部模型之间的切换间隔足够长. cations to modeling and control.IEEE Trans Syst Man Cybern. 1985.15(1):116 证明首先将如图6所示系统分解为两个子系 [2]Feng G.A survey on analysis and design of model-based furzy 统，分别如图7和图8所示.用数学归纳法可以证 control systems.IEEE Trans Fuzzy Syst,2006.14(5):676 明分解前后的等价性（细节省略）· [3]Tanaka K,Sugeno M.Stability analysis and design of fuzzy control systems.Fuzzy Sets Syst.1992,45(2):135 △u( [4]Cao SG.Rees N W.Feng G.Stability analysis and design for a x' class of continuous-ime fuzzy control systems.Int Control, u' 1996.646):1069 图7分解子系统I [5]Cao S G,Rees N W.Feng G.H control of nonlinear continuous- Fig.7 Decomposed subsystem I of the virtual equivalent system time systems based on dynamical fuzzy models.Int I Syst Sci. 1996.27(9):821 [6]Cao S G,Rees N W.Feng G.Analysis and design for a class of complex control systems:Part II.Fuzzy controller design.Auto- matica,1997,33(6):1029 [7]Choi D J.Park P.H state-feedback controller design for dis- 图8分解子系统Ⅱ crete-ime fuzzy systems using fuzzy weighting-dependent Lyapunov Fig.8 Decomposed subsystem II of the virtual equivalent system functions.IEEE Trans Fuzzy Syst,2003,11(2):271 [8]Guerra T M,Vermeiren L.LMI-based relaxed nonquadratic stabi- 第一步，分析图7子系统，由定理所给条件(2) lization conditions for nonlinear systems in the Takagi-Sugeno's 和(3)的前半部分，若假想将被控对象和相应的控 form.Automatica,2004.40(5):823 [9]Tanaka K,Hori T.Wang H O.A multiple Lyapunov function ap- 制器“冻结”在某个工作点，即M:和C:的下标“冻 proach to stabilization of fuzzy control systems.IEEE Trans Fuzy 结”不变，那么图7子系统等价于如图2所示系统， st,2003,11(4):582 是一个全局渐近稳定的系统 [10]Wang Y.Sun Z Q.Sun F C.Stability analysis and control of 在此基础上，由定理条件(3)的后半部分知道， discrete-time fuzzy systems:a fuzzy Lyapunoy function approach /Proceeding of 5th Asian Control Conference,Vol.3.Mel- 如图7所示系统是一个慢切换系统，且各个组成系 boumne,2004:1855 统是稳定的线性系统，因此根据切换系统理论14-] [11]Zhou S S,Feng G.Lam J.et al.Robust H control for discrete- 可以得出结论：如图7所示子系统是全局渐进稳定 time fuzzy systems via basis-dependent Lyapunov functions. 的，即x(t)全局渐近稳定. 1 nf Sci,2005,174(3/4):197 [12]Zhang W C.On the stability and convergence of self-tuning con- 第二步，再看如图8所示子系统，由于其为闭环 trolirtual equivalent system approach.Int Control.2010.83 稳定系统，故有 (5):879 lx"(t)‖=O(le(t)I), [13]Desoer C A.Vidyasagar M.Feedback Systems:Input-Output 进一步考虑到定理条件(1)，即‖e(t)‖→0，有 Properties.New York:Academic Press,1975 x"()0,进而有x()=x(t)+x"(t)→x(t),即 [14]Liberzon D,Morse A S.Basic problems in stability and design of switched systems.IEEE Control Syst Mag,1999.19(5):59 TS模糊控制系统全局渐进稳定. [15]Shorten R,Wirth F.Mason 0,et al.Stability criteria for 证毕. switched and hybrid systems.SIAM Rev.2007.49(4):545北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 图 6 T--S 模糊控制系统的虚拟等价系统 Fig． 6 Virtual equivalent system for the T-S model based fuzzy con￾trol system 的不确定性，即被控对象的真实模型可以用 m 个局 部模型所逼近，且逼近误差‖e( t) ‖→0; ( 2) 归一化隶属度函数 μi，i∈L 在控制系统工 作的任何阶段均能正确识别相应的局部模型; ( 3) 每个局部控制器镇定它所对应的局部模 型，且局部模型之间的切换间隔足够长． 证明 首先将如图 6 所示系统分解为两个子系 统，分别如图 7 和图 8 所示． 用数学归纳法可以证 明分解前后的等价性( 细节省略) ． 图 7 分解子系统Ⅰ Fig． 7 Decomposed subsystem Ⅰ of the virtual equivalent system 图 8 分解子系统Ⅱ Fig． 8 Decomposed subsystem Ⅱ of the virtual equivalent system 第一步，分析图 7 子系统，由定理所给条件( 2) 和( 3) 的前半部分，若假想将被控对象和相应的控 制器“冻结”在某个工作点，即 Mi 和 Ci 的下标“冻 结”不变，那么图 7 子系统等价于如图 2 所示系统， 是一个全局渐近稳定的系统． 在此基础上，由定理条件( 3) 的后半部分知道， 如图 7 所示系统是一个慢切换系统，且各个组成系 统是稳定的线性系统，因此根据切换系统理论［14--15］ 可以得出结论: 如图 7 所示子系统是全局渐进稳定 的，即 x'( t) 全局渐近稳定． 第二步，再看如图 8 所示子系统，由于其为闭环 稳定系统，故有 ‖x″( t) ‖ = O( ‖e( t) ‖) ， 进一步考虑到定理条件( 1) ，即‖e ( t) ‖→0，有 x″( t) →0，进而有 x( t) = x'( t) + x″( t) →x'( t) ，即 T--S模糊控制系统全局渐进稳定． 证毕． 3 结论 本文用虚拟等价系统的概念和方法分析基于 T--S 模型的模糊控制系统的稳定性，所得到的判据 说明，模糊控制系统的稳定性主要取决于三个方面: 第一，模糊规则的局部模型集合能够覆盖被控对象 的不确定性; 第二，模糊规则的归一化隶属度函数应 该能够识别或辨识真实的对象模型; 第三，每个局部 控制器镇定相应的局部模型． 参 考 文 献 ［1］ Takagi T，Sugeno M． Fuzzy identification of systems and its appli￾cations to modeling and control． IEEE Trans Syst Man Cybern， 1985，15( 1) : 116 ［2］ Feng G． A survey on analysis and design of model-based fuzzy control systems． IEEE Trans Fuzzy Syst，2006，14( 5) : 676 ［3］ Tanaka K，Sugeno M． Stability analysis and design of fuzzy control systems． Fuzzy Sets Syst，1992，45( 2) : 135 ［4］ Cao S G，Rees N W，Feng G． Stability analysis and design for a class of continuous-time fuzzy control systems． Int J Control， 1996，64( 6) : 1069 ［5］ Cao S G，Rees N W，Feng G． H∞ control of nonlinear continuous￾time systems based on dynamical fuzzy models． Int J Syst Sci， 1996，27( 9) : 821 ［6］ Cao S G，Rees N W，Feng G． Analysis and design for a class of complex control systems: Part Ⅱ． Fuzzy controller design． Auto￾matica，1997，33( 6) : 1029 ［7］ Choi D J，Park P． H∞ state-feedback controller design for dis￾crete-time fuzzy systems using fuzzy weighting-dependent Lyapunov functions． IEEE Trans Fuzzy Syst，2003，11( 2) : 271 ［8］ Guerra T M，Vermeiren L． LMI-based relaxed nonquadratic stabi￾lization conditions for nonlinear systems in the Takagi-Sugeno's form． Automatica，2004，40( 5) : 823 ［9］ Tanaka K，Hori T，Wang H O． A multiple Lyapunov function ap￾proach to stabilization of fuzzy control systems． IEEE Trans Fuzzy Syst，2003，11( 4) : 582 ［10］ Wang Y，Sun Z Q，Sun F C． Stability analysis and control of discrete-time fuzzy systems: a fuzzy Lyapunov function approach / / Proceeding of 5th Asian Control Conference，Vol． 3． Mel￾bourne，2004: 1855 ［11］ Zhou S S，Feng G，Lam J，et al． Robust H∞ control for discrete￾time fuzzy systems via basis-dependent Lyapunov functions． Inf Sci，2005，174( 3 /4) : 197 ［12］ Zhang W C． On the stability and convergence of self-tuning con￾trol-virtual equivalent system approach． Int J Control，2010，83 ( 5) : 879 ［13］ Desoer C A，Vidyasagar M． Feedback Systems: Input-Output Properties． New York: Academic Press，1975 ［14］ Liberzon D，Morse A S． Basic problems in stability and design of switched systems． IEEE Control Syst Mag，1999，19( 5) : 59 ［15］ Shorten R，Wirth F，Mason O，et al． Stability criteria for switched and hybrid systems． SIAM Rev，2007，49( 4) : 545 ·210·