第2期 张维存等：TS模糊控制系统的虚拟等价系统及稳定性判据 ·209· (3)每个局部控制器镇定它所对应的局部模型. ‖x()L0. 证明由定理的三个条件，不妨记被控对象的 x(t)Il 真实模型为M,相应地有：4→l:,0,i∈L,i≠l.在 因此原假设|x()‖无界不能成立，于是证得 此条件下，推导图2中△u()=()-山(t)的性质： ‖x(t)l<e, 从而 =(0-u)=,K,()- x(t)→x(), 1Kx(t)+…+K(t)+…+uK.x(t)- 即虚拟等价系统全局渐近稳定，进而T-$模糊控制 Kx(t)=o(x(t)). 系统全局渐近稳定 接下来，由于如图2所示虚拟等价系统是一个线性 证毕. 定常系统，故可分解为图3和图4两个子系统 2非线性时变被控对象的模糊控制系统稳 ' 定性 图3虚拟等价系统的分解子系统【 2.1TS模糊控制系统的虚拟等价系统 Fig.3 Decomposed subsystem I of the virtual equivalent system 控制系统的描述同L.1,被控对象没有直接约束， 可以考虑为任意的非线性时变对象，但是假定其真实 △( +M, 模型可以被多个局部线性时不变模型所覆盖或逼近. 用如图5所示的系统方框图来描述这类模糊 控制系统的结构特征，其中，∑为未知的被控 图4虚拟等价系统的分解子系统Ⅱ 对象 Fig.4 Decomposed subsystem II of the virtual equivalent system 图1和图2系统的初始状态为x(0),图3和图 4系统的初始状态分别为x(0)和x”"(0),且满足 0 x(t x(0)=x(0)+x"(0),由条件(3)可知，如图3所示 系统为全局渐近稳定系统，即存在c>0,入>0，使得 lx()‖≤ce“Ix(0)I. 对于图4所示系统，由于闭环系统稳定， 图5T-S模糊控制系统的结构图 必有 Fig.5 Structure block diagram of a T model based fuzzy control system Ix"(t)‖=O(I△u(t)I), 且输入信号满足 图5中，若模糊规则设计合理，其所考虑的局部 △()=o(Ix(t)I）). 模型集合必定包含被控对象在足够多的工作点的线 因此有 性模型，而且归一化隶属度函数以：，i∈L在控制系 x"()=o(‖x()I), 统工作的任何阶段均能正确识别相应的局部模型. 由线性叠加定理有 在此条件下，构造图5所示的模糊控制系统的输入 x(t)=x(t)+x"(t), 输出等价系统一虚拟等价系统如图6所示.图中： 进一步得到 u:(t)为C:产生的输出：u(t)同图1；△u(t)= 0≤Ix()I≤Ix(t)+Ix"(t)I= u(t)-u:();xn(t)为局部模型M,i∈L所产生的 Ix)+o((I). 状态变量；e(t)=x(t)-xm(t)为用多个局部线性模 下面用反证法证明‖x()I有界，即‖x()‖< 型M,i∈L逼近未知对象∑m0所产生的误差.图6 ∞，为此反设‖x()!无界，因此必有无穷子列 与图2的本质不同在于，图6从结构上来说是一个 ‖x(t)‖→∞，且满足 线性切换系统，而图2是一个线性定常系统 0≤‖x(t)‖≤Ix()‖+o(lr(t)l). 2.2主要结果 上式两端同除以‖x()‖，得到 定理2针对非线性时变未知被控对象Σ)的 0≤‖r月LsIx)1 TS模糊控制系统，若满足以下条件，则是全局渐近 Ixwi≤I)T+o(1). 稳定的： 由于‖x()‖有界，所以上式意味着一个错误结论 (1)模糊规则中的局部模型能够覆盖被控对象第 2 期 张维存等: T--S 模糊控制系统的虚拟等价系统及稳定性判据 ( 3) 每个局部控制器镇定它所对应的局部模型． 证明 由定理的三个条件，不妨记被控对象的 真实模型为 Ml，相应地有: μl→1; μi→0，i∈L，i≠l． 在 此条件下，推导图2 中 Δu( t) = u( t) － ul ( t) 的性质: Δu( t) = u( t) － ul ( t) = ∑ m i = 1 μiKix( t) － Klx( t) = μ1K1 x( t) + … + μlKlx( t) + … + μm Km x( t) － Klx( t) = o( ‖x( t) ‖) ． 接下来，由于如图 2 所示虚拟等价系统是一个线性 定常系统，故可分解为图 3 和图 4 两个子系统． 图 3 虚拟等价系统的分解子系统 Ⅰ Fig． 3 Decomposed subsystem Ⅰ of the virtual equivalent system 图 4 虚拟等价系统的分解子系统 Ⅱ Fig． 4 Decomposed subsystem Ⅱ of the virtual equivalent system 图 1 和图 2 系统的初始状态为 x( 0) ，图 3 和图 4 系统的初始状态分别为 x' ( 0) 和 x″( 0) ，且满足 x( 0) = x'( 0) + x″( 0) ，由条件( 3) 可知，如图 3 所示 系统为全局渐近稳定系统，即存在 c ＞ 0，λ ＞ 0，使得 ‖x'( t) ‖≤ce － λt ‖x'( 0) ‖． 对于 图 4 所 示 系 统，由 于 闭 环 系 统 稳 定， 必有［13］ ‖x″( t) ‖ = O( ‖Δu( t) ‖) ， 且输入信号满足 Δu( t) = o( ‖x( t) ‖) . 因此有 x″( t) = o( ‖x( t) ‖) ， 由线性叠加定理有 x( t) = x'( t) + x″( t) ， 进一步得到 0≤‖x( t) ‖≤‖x'( t) ‖ + ‖x″( t) ‖ = ‖x'( t) ‖ + o( ‖x( t) ‖) . 下面用反证法证明‖x( t) ‖有界，即‖x( t) ‖ ＜ ∞ ，为此反设‖x ( t) ‖无界，因此必有无穷子列 ‖x( tk ) ‖→∞ ，且满足 0≤‖x( tk ) ‖≤‖x'( tk ) ‖ + o( ‖x( tk ) ‖) . 上式两端同除以‖x( tk ) ‖，得到 0≤‖x( tk ) ‖ ‖x( tk ) ‖≤‖x'( tk ) ‖ ‖x( tk ) ‖ + o( 1) . 由于‖x'( tk ) ‖有界，所以上式意味着一个错误结论 ‖x( tk ) ‖ ‖x( tk ) ‖→0. 因此原假设‖x( t) ‖无界不能成立，于是证得 ‖x( t) ‖ ＜ ∞ ， 从而 x( t) →x'( t) ， 即虚拟等价系统全局渐近稳定，进而 T--S 模糊控制 系统全局渐近稳定． 证毕． 2 非线性时变被控对象的模糊控制系统稳 定性 2. 1 T--S 模糊控制系统的虚拟等价系统 控制系统的描述同 1. 1，被控对象没有直接约束， 可以考虑为任意的非线性时变对象，但是假定其真实 模型可以被多个局部线性时不变模型所覆盖或逼近． 用如图 5 所示的系统方框图来描述这类模糊 控制系统的结构特征，其中，ΣP( t) 为未知的被控 对象． 图 5 T--S 模糊控制系统的结构图 Fig． 5 Structure block diagram of a T-S model based fuzzy control system 图 5 中，若模糊规则设计合理，其所考虑的局部 模型集合必定包含被控对象在足够多的工作点的线 性模型，而且归一化隶属度函数 μi，i∈L 在控制系 统工作的任何阶段均能正确识别相应的局部模型． 在此条件下，构造图 5 所示的模糊控制系统的输入 输出等价系统—虚拟等价系统如图 6 所示． 图中: ui ( t) 为 Ci 产生的输出; u ( t) 同图 1; Δu ( t) = u( t) － ui ( t) ; xm ( t) 为局部模型 Mi，i∈L 所产生的 状态变量; e( t) = x( t) － xm ( t) 为用多个局部线性模 型 Mi，i∈L 逼近未知对象 ΣP( t) 所产生的误差． 图 6 与图 2 的本质不同在于，图 6 从结构上来说是一个 线性切换系统，而图 2 是一个线性定常系统． 2. 2 主要结果 定理 2 针对非线性时变未知被控对象 ΣP( t) 的 T--S 模糊控制系统，若满足以下条件，则是全局渐近 稳定的: ( 1) 模糊规则中的局部模型能够覆盖被控对象 ·209·