·208· 北京科技大学学报 第34卷 和鲁棒性定理的成立条件都过于苛刻，实际应用的 这类模糊系统采用多个局部线性系统模型实现 自适应控制系统很难满足这些条件，因而缺乏实际 整体上的非线性，形式简单，易于工程应用 上的指导意义.为了改变上述缺陷，虚拟等价系统 用如图1所示的系统方框图来描述这类模糊控 应运而生，其特点是给出的稳定性和收敛性条件是 制系统的结构特征.其中，∑p为未知的被控对象， 可以在线计算和监控的.所谓的虚拟等价系统就是 这里将状态空间模型等同于传递函数模型看待. 一种人为构造的、输入一输出意义上与原系统等价 的系统，由于虚拟等价系统的结构特点，使得它比原 系统易于分析和处理.通过它可以将原来的非线性 x(t) 主导（结构非线性）问题转化为一个线性主导（结构 线性、补偿信号非线性)问题，进而降低解决原问题 的难度.本文首先考虑线性时不变(L四)确定性受控 图1T-S模糊控制系统的结构图 对象，给出相应的稳定性判据：然后在此基础上，考虑 Fig.1 Structure block diagram of a T-$model based fuzzy control 非线性时变不确定对象，给出相应的稳定性判据. system 1LTⅢ被控对象的模糊控制系统稳定性 从图1可以看出基于T一S模型的模糊控制系 1.1TS模糊控制系统的虚拟等价系统 统与加权多模型自适应控制系统非常相似，实际上 T-s模型最早是由Takagi和Sugeno!提出的， 它与增益调度控制也存在结构相似性 规则输出段采用加权方法或切换方法，这里考虑加 图1中，1，l=1,2,…,m实际上代表了对被控 权方法，即所谓的并行分布补偿(PDC)方法. 对象的“辨识”，考虑被控对象为未知确定性的LTI R:IF z is F1,z2 is F2,and..z is F, 系统，若模糊规则设计合理，那么设计各个子控制器 (t)=Ax()+B,(, 所针对的局部模型中必定包含被控对象的真实模 THEN y(t)=Cx(t), 型，不妨记为M,而且该模型所对应的归一化隶属 l∈L=1,2,…,m. 度函数山，将最终取值为“1”，而其余的归一化隶属 其中，R为第1条模糊推理规则，m为模糊规则的数 度函数u,i≠l将最终取值为“0”.在此条件下，为 目，Fj=1,2,…,)为模糊集合，x(t)∈R"为状态 了便于分析和理解，人为构造图1所示系统的输入 输出意义上的等价系统，即所谓的虚拟等价系统，如 向量，u()∈R”为输入向量，y()∈R?为输出向 量，(A,B,C)为第1个局部模型的矩阵.z()= 图2所示.图中，u()为C,产生的输出，(t)同图 1,△u(t)=u(t)-u(t). [21,之2，…，之，]为系统的可测变量，例如z()可以取 为状态变量.把局部模型 △ [(t)=Ax(t)+Biu(t), x(t) Ly(t)=Cx(t) 简记为M,l∈L=1,2,…,m.在此基础上设计出多 图2TS模糊控制系统的虚拟等价系统 个局部控制器C,其输出为局部控制量4，(t)= Fig.2 Virtual equivalent system for the T$model based fuzzy con- Kx(t),K,为局部控制器的反馈增益矩阵，全局控 trol system 制量由下式决定： 1.2主要结果 u(t)= Σ()(. 定理1针对未知确定性被控对象P(LTI)的 加权系数山4，l=1,2,…,m是归一化的隶属度函数， T-S模糊控制系统，若满足以下条件，则是全局渐近 满足以下条件： 稳定的： (1)模糊规则中的局部模型能够覆盖被控对象 (） 1= 的不确定性，即被控对象的真实模型包含在m个局 部模型当中； 山1≥0， ∑山=1 (2)模糊规则的隶属度函数能够识别或辨识真 实的对象模型，即对应于真实模型的归一化隶属度 式中，F()为z:在模糊集F中的隶属度 函数最终为1，其余为0：北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 和鲁棒性定理的成立条件都过于苛刻，实际应用的 自适应控制系统很难满足这些条件，因而缺乏实际 上的指导意义． 为了改变上述缺陷，虚拟等价系统 应运而生，其特点是给出的稳定性和收敛性条件是 可以在线计算和监控的． 所谓的虚拟等价系统就是 一种人为构造的、输入--输出意义上与原系统等价 的系统，由于虚拟等价系统的结构特点，使得它比原 系统易于分析和处理． 通过它可以将原来的非线性 主导( 结构非线性) 问题转化为一个线性主导( 结构 线性、补偿信号非线性) 问题，进而降低解决原问题 的难度． 本文首先考虑线性时不变( LTI) 确定性受控 对象，给出相应的稳定性判据; 然后在此基础上，考虑 非线性时变不确定对象，给出相应的稳定性判据． 1 LTI 被控对象的模糊控制系统稳定性 1. 1 T--S 模糊控制系统的虚拟等价系统 T--S 模型最早是由 Takagi 和 Sugeno ［1］提出的， 规则输出段采用加权方法或切换方法，这里考虑加 权方法，即所谓的并行分布补偿( PDC) 方法． Rl : IF z1 is Fl 1，z2 is Fl 2，and …，zv is Fl v， THEN x ·( t) = Alx( t) + Blu( t) ， y( t) = Clx( t) ， l∈L = 1，2，…，m { . 其中，Rl 为第 l 条模糊推理规则，m 为模糊规则的数 目，Fl j( j = 1，2，…，v) 为模糊集合，x( t) ∈Rn 为状态 向量，u( t) ∈Rp 为输入向量，y( t) ∈Rq 为输出向 量，( Al，Bl，Cl ) 为第 l 个局部模型的矩阵． z( t) = ［z1，z2，…，zv ］为系统的可测变量，例如 z( t) 可以取 为状态变量． 把局部模型 x ·( t) = Alx( t) + Blu( t) ， {y( t) = Clx( t) 简记为 Ml，l∈L = 1，2，…，m． 在此基础上设计出多 个局部控制器 Cl，其输出为局部控制量 ul ( t) = Klx( t) ，Kl 为局部控制器的反馈增益矩阵，全局控 制量由下式决定: u( t) = ∑ m l = 1 μl ( t) ul ( t) . 加权系数 μl，l = 1，2，…，m 是归一化的隶属度函数， 满足以下条件: μl = ξl ( z) ∑ m j = 1 ξj ( z) ，ξl ( z) = ∏ v i = 1 Fl i ( zi ) ， μl≥0，∑ m l = 1 μl = 1. 式中，Fl i ( zi ) 为 zi 在模糊集 Fl i 中的隶属度． 这类模糊系统采用多个局部线性系统模型实现 整体上的非线性，形式简单，易于工程应用． 用如图 1 所示的系统方框图来描述这类模糊控 制系统的结构特征． 其中，ΣP 为未知的被控对象， 这里将状态空间模型等同于传递函数模型看待． 图 1 T--S 模糊控制系统的结构图 Fig． 1 Structure block diagram of a T-S model based fuzzy control system 从图 1 可以看出基于 T--S 模型的模糊控制系 统与加权多模型自适应控制系统非常相似，实际上 它与增益调度控制也存在结构相似性． 图 1 中，μl，l = 1，2，…，m 实际上代表了对被控 对象的“辨识”，考虑被控对象为未知确定性的 LTI 系统，若模糊规则设计合理，那么设计各个子控制器 所针对的局部模型中必定包含被控对象的真实模 型，不妨记为 Ml，而且该模型所对应的归一化隶属 度函数 μl 将最终取值为“1”，而其余的归一化隶属 度函数 μi，i≠l 将最终取值为“0”． 在此条件下，为 了便于分析和理解，人为构造图 1 所示系统的输入 输出意义上的等价系统，即所谓的虚拟等价系统，如 图 2 所示． 图中，ul ( t) 为 Cl 产生的输出，u( t) 同图 1，Δu( t) = u( t) － ul ( t) ． 图 2 T--S 模糊控制系统的虚拟等价系统 Fig． 2 Virtual equivalent system for the T-S model based fuzzy con￾trol system 1. 2 主要结果 定理 1 针对未知确定性被控对象 P( LTI) 的 T--S 模糊控制系统，若满足以下条件，则是全局渐近 稳定的: ( 1) 模糊规则中的局部模型能够覆盖被控对象 的不确定性，即被控对象的真实模型包含在 m 个局 部模型当中; ( 2) 模糊规则的隶属度函数能够识别或辨识真 实的对象模型，即对应于真实模型的归一化隶属度 函数最终为 1，其余为 0; ·208·