S6.5罗一勃拉克维尔定理和一致最小方差无偏估计 在前两节中我们看到有效估计平均说来是比较接近参数真值日的 一个估计，但并不是 每个参数都能有有效估计，因为不是任何无偏估计都能达到罗一克拉美不等式下界，为此我 们必须研究这样两个问题，一个问题是如果知道一个无偏估计，能否构造一个新的无偏估计， 其方差比原来估计的方差小，罗一勃拉克维尔定理给出了一种改善估计的方法：另一个问 题是一个无偏估计虽不是有效估计，但是可考察它的方差在一切无偏估计类中能够达到最小 的条件。 定理6.5（罗-勃拉克维尔定理）设5与1是两个随机变量，E门=μ和D门>0。 设5=x条件下刀的条件期望E{川5=x}=0(x)则 E[p(5)FA,D[p(5)]≤Dn (6.54) (证明略) 例622设5与1服从二维正态W4,4,o,o,p),这里4,43分别为它们的 均值，分别为它们的方差而P为它们的相关系数，且-1<P<1。 在第三章中我们知道维分布的联合密度函数 -aan*g-n22m 1 02 G、 2aai-pp2n-pa0-b9 1 =(x) 其中边际分布密度函数 f(x)= 02π0 cp-=四) 2o 和 p-) 条件期望 p(x)=E(15=x)=hy川x) 1 y-b)2 “2o-oez0a =b4+pg2(x-4) p(x)的数学期望§6.5 罗―勃拉克维尔定理和一致最小方差无偏估计 在前两节中我们看到有效估计平均说来是比较接近参数真值  的一个估计，但并不是 每个参数都能有有效估计，因为不是任何无偏估计都能达到罗—克拉美不等式下界，为此我 们必须研究这样两个问题，一个问题是如果知道一个无偏估计，能否构造一个新的无偏估计， 其方差比原来估计的方差小，罗—勃拉克维尔定理给出了一种改善估计的方法； 另一个问 题是一个无偏估计虽不是有效估计，但是可考察它的方差在一切无偏估计类中能够达到最小 的条件。 定理 6.5 （罗—勃拉克维尔定理） 设  与  是两个随机变量，E  = 和 D  >0。 设  =x 条件下  的条件期望 E{  |  =x}=(x) 则 E[ ( ) ]=  ，D[ ( ) ]≤D  （6.54） （证明略） 例 6.22 设  与  服从二维正态 N( 1 ,  2 , 2  1 , 2  2 ,  )，这里 1 ,  2 分别为它们的 均值，分别为它们的方差而  为它们的相关系数，且-1<  <1。 在第三章中我们知道维分布的联合密度函数 [( ) 2 ( )( ) ( )]} 2(1 ) 1 exp{ 2 1 1 ( , ) 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2               − + − − − − − − − = x x y y f x y = ( ) 1 f x ( ) } 2(1 ) 1 exp{ 2 1 1 2 2 2 2 2 2 y − b − −   −    其中边际分布密度函数 ( ) 1 f x = } 2 ( ) exp{ 2 1 2 2 2 2  1    − − x 和 b=  2 + ( ) 1 1 2     x − 条件期望 (x) =E(  |  =x)=    yh(y | x)dy =    − − − − dy y b ye 2 2 2 2 2 2 2(1 ) ( ) 2 1 1     =b=  2 + ( ) 1 1 2     x − (x) 的数学期望