S6.5罗一勃拉克维尔定理和一致最小方差无偏估计 在前两节中我们看到有效估计平均说来是比较接近参数真值日的 一个估计,但并不是 每个参数都能有有效估计,因为不是任何无偏估计都能达到罗一克拉美不等式下界,为此我 们必须研究这样两个问题,一个问题是如果知道一个无偏估计,能否构造一个新的无偏估计, 其方差比原来估计的方差小,罗一勃拉克维尔定理给出了一种改善估计的方法:另一个问 题是一个无偏估计虽不是有效估计,但是可考察它的方差在一切无偏估计类中能够达到最小 的条件。 定理6.5(罗-勃拉克维尔定理)设5与1是两个随机变量,E门=μ和D门>0。 设5=x条件下刀的条件期望E{川5=x}=0(x)则 E[p(5)FA,D[p(5)]≤Dn (6.54) (证明略) 例622设5与1服从二维正态W4,4,o,o,p),这里4,43分别为它们的 均值,分别为它们的方差而P为它们的相关系数,且-1<P<1。 在第三章中我们知道维分布的联合密度函数 -aan*g-n22m 1 02 G、 2aai-pp2n-pa0-b9 1 =(x) 其中边际分布密度函数 f(x)= 02π0 cp-=四) 2o 和 p-) 条件期望 p(x)=E(15=x)=hy川x) 1 y-b)2 “2o-oez0a =b4+pg2(x-4) p(x)的数学期望§6.5 罗―勃拉克维尔定理和一致最小方差无偏估计 在前两节中我们看到有效估计平均说来是比较接近参数真值 的一个估计,但并不是 每个参数都能有有效估计,因为不是任何无偏估计都能达到罗—克拉美不等式下界,为此我 们必须研究这样两个问题,一个问题是如果知道一个无偏估计,能否构造一个新的无偏估计, 其方差比原来估计的方差小,罗—勃拉克维尔定理给出了一种改善估计的方法; 另一个问 题是一个无偏估计虽不是有效估计,但是可考察它的方差在一切无偏估计类中能够达到最小 的条件。 定理 6.5 (罗—勃拉克维尔定理) 设 与 是两个随机变量,E = 和 D >0。 设 =x 条件下 的条件期望 E{ | =x}=(x) 则 E[ ( ) ]= ,D[ ( ) ]≤D (6.54) (证明略) 例 6.22 设 与 服从二维正态 N( 1 , 2 , 2 1 , 2 2 , ),这里 1 , 2 分别为它们的 均值,分别为它们的方差而 为它们的相关系数,且-1< <1。 在第三章中我们知道维分布的联合密度函数 [( ) 2 ( )( ) ( )]} 2(1 ) 1 exp{ 2 1 1 ( , ) 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 − + − − − − − − − = x x y y f x y = ( ) 1 f x ( ) } 2(1 ) 1 exp{ 2 1 1 2 2 2 2 2 2 y − b − − − 其中边际分布密度函数 ( ) 1 f x = } 2 ( ) exp{ 2 1 2 2 2 2 1 − − x 和 b= 2 + ( ) 1 1 2 x − 条件期望 (x) =E( | =x)= yh(y | x)dy = − − − − dy y b ye 2 2 2 2 2 2 2(1 ) ( ) 2 1 1 =b= 2 + ( ) 1 1 2 x − (x) 的数学期望