Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions oflinear difference equations and some special functions YLMaa Phys FDU 令com=1-27++()r+ 2k) Sno=m、 2k+1 (2k+1) 因为 cos ot和 sin ot是线性无关的两个解,因此方程的通解为 y(o)=Acos ot+Bsin at, 其中常数A=an,B=由初始条件决定 说明:(1)不是所有方程都有x的幂级数形式的解。具体问题具体分析。 (2)如果方程有这样形式的解,我们可以用此方法找到 (3)一个微分方程ⅴs无穷多个代数方程组,那一类好解?数值解 代数方程组,不但快速而且准确。 4)级数解源于计算机解法还是计算机算法原理源于级数解? 正则奇点邻域方程的级数解 1.富克斯( Fuchs)定理 如果x=x0为方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=0的正则奇点,即函数 (x-x0)p(x)和(x-x0)9(x)在x-x<R内解析,那么该方程在04x-x0kR内 有如下正则解:(x=x亦是方程解的奇点,即有有限阶 Laurent级数展开) n(x)=(x-x)∑c(x-x 2(x)=(x-x)∑(x-x)y+(x)血(x-x) [β待定,h(x-x0)发散较弱,当系数函数p和q不满足 Fuchs定理的条件时,解 函数的发散性将强于h(x-x0),这超出本课程范围]。 证明:令x=0(位移简之),以x2乘方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=0得 x'y(x)+x p(x)y(x)+xq(x)y(x)=0 因为函数xx)和x2q(x)在川<R内解析并且已知,可以将它们展为泰勒级数 x(x)=∑a4x2,x2q(x)=∑bx2 k=0 11Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 11 令 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 cos 1 2! 2 ! k k k t t t k    − = − + + + ( ) ( ) 3 2 1 3 2 1 1 sin 3! 2 1 ! k k k t t t t k     + − + = − + + + + 因为 cost 和 sint 是线性无关的两个解，因此方程的通解为 y t A t B t ( ) cos sin = +   ， 其中常数 A = a0，  a1 B = 由初始条件决定。 说明：（1）不是所有方程都有 x 的幂级数形式的解。具体问题具体分析。 （2）如果方程有这样形式的解，我们可以用此方法找到。 （3）一个微分方程 vs.无穷多个代数方程组，那一类好解？数值解 代数方程组，不但快速而且准确。 （4）级数解源于计算机解法还是计算机算法原理源于级数解？ 三、 正则奇点邻域方程的级数解 1. 富克斯（Fuchs）定理： 如 果 0 x x = 为方程 y (x) + p(x) y (x) + q(x) y(x) = 0 的 正 则 奇 点 ，即 函 数 ( ) ( ) 0 x − x p x 和 ( ) ( ) 2 0 x − x q x 在 x − x0  R 内解析，那么该方程在 0 0 | |  −  x x R 内 有如下正则解：（ 0 x x = 亦是方程解的奇点，即有有限阶 Laurent 级数展开） ( ) ( ) ( ) ( ) ( )        = − − + − = − −    =  = 0 1 0 0 (2) 2 0 0 0 (1) 1 0 ( ) ( )ln ( ) 2 1 y x x x c x x y x x x y x x x c x x n n n s n n n s  [  待定, ( ) 0 ln x − x 发散较弱，当系数函数 p 和 q 不满足 Fuchs 定理的条件时，解 函数的发散性将强于 ( ) 0 ln x − x ，这超出本课程范围]。 证明：令 x0 = 0 (位移,简之)，以 2 x 乘方程 y (x) + p(x) y (x) + q(x) y(x) = 0 得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 x y  x + x p x y  x + x q x y x = . 因为函数 xp(x) 和 ( ) 2 x q x 在 x  R 内解析并且已知，可以将它们展为泰勒级数： ( ) , 0   = = k k k xp x a x ( ) , 0 2   = = k k k x q x b x