P(T≥+12小)P(T≥sT2s+)eeN=P(T20) 由结果知,此条件概率与s无关。这说明无论在泊松过程的什么时刻,即无 论取哪一时刻为起点,考察至下一位顾客到达所经过的时间,其概率(即 P(T≥s+17≥))与此时刻之前的最后一位顾客是什么时候到达的无关。它和 顾客相继到达的间隔时间都服从相同参数的负指数分布。 还可以指出的是,能满足无记忆性P(T≥s+1{T≥s)=P(T≥1)的分布,也 只能是负指数分布 下面讨论爱尔朗( Erlang)分布。 爱尔朗分布的密度函数是 ·() P()={(k-1) t>0 <0 其中参数>0,k称为阶数(k=0,12,)。 当k=1时,则爱尔朗分布也就是负指数分布。若随机变量r服从k阶爱尔朗 分布,则的期望值和方差分别为 E(r)=K, D()=k 可以证明,如果552,…5是k个相互独立具有相同的负指数分布(参数为 μ)的随机变量,则随机变量r=5+52+…+5服从k阶爱尔朗分布 在排队论中,常把顾客到达间隔时间及接受服务时间与爱尔朗分布联系起 来。如果顾客要连续接受串联的k个服务台服务,各服务台的服务时间相互独立, 且服从相同的负指数分布(参数为),那么顾客被这k个服务台服务完总共所 需的时间就服从爱尔朗分布。这里应说明的是在顾客接受连续的服务时,只有当 k个服务台都完成了对某个顾客的服务之后,下一个顾客才能进入这个串联服务 系统 913生灭过程 生灭过程也是一种马尔柯夫过程。在排队论中很多排队过程和这个过程相 仿。我们特别关心生灭过程在统计平衡时反映出来的稳态概率,并直接把这种稳 态概率应用于建立各种排队模型。 1.生灭过程的定义 一堆细菌,随时间推移,有的分裂为两个,有的死亡,经过一段时间之后, 细菌变为多少?这种细菌的分裂与死亡的过程就是典型的生灭过程的例子。设每 个细菌在△t时间内分裂成两个细菌的概率为A△r+0△n);而在△t时间内死亡( ) ( , ) ( ) ( ) s t t s P T s T s t e P T s t T s e P T t P T s e λ λ λ − + − − ≥ ≥ + ≥ + ≥ = = = = ≥ ≥ ( ) 由结果知，此条件概率与 无关。这说明无论在泊松过程的什么时刻，即无 论取哪一时刻为起点，考察至下一位顾客到达所经过的时间，其概率（即 s P T( ≥ s +t T ≥ s)）与此时刻之前的最后一位顾客是什么时候到达的无关。它和 顾客相继到达的间隔时间都服从相同参数的负指数分布。 还可以指出的是，能满足无记忆性 P T( ≥ s +t T ≥ s) = P T( ≥t) 的分布，也 只能是负指数分布。 下面讨论爱尔朗（Erlang）分布。 爱尔朗分布的密度函数是 1 ( ) ( ) ( 1)! 0 k t t e p t k µ µ µ − −  ⋅  =  −    t (9-12) 0 t 0 ≥ < 其中参数µ > 0，k 称为阶数( 0 k = ,1,2,⋅⋅⋅) 。 当k 时，则爱尔朗分布也就是负指数分布。若随机变量τ 服从 阶爱尔朗 分布，则 =1 k τ 的期望值和方差分别为 2 ( ) , ( ) k E D τ τ µ µ = = k t (9-13) 可以证明，如果ξ ξ 是 个相互独立具有相同的负指数分布（参数为 ）的随机变量，则随机变量 服从 阶爱尔朗分布。 1 2 , , , k ⋅⋅⋅ ξ k µ τ ξ1 2 k = +ξ +⋅⋅⋅+ξ k 在排队论中，常把顾客到达间隔时间及接受服务时间与爱尔朗分布联系起 来。如果顾客要连续接受串联的 个服务台服务，各服务台的服务时间相互独立， 且服从相同的负指数分布（参数为 ），那么顾客被这 个服务台服务完总共所 需的时间就服从爱尔朗分布。这里应说明的是在顾客接受连续的服务时，只有当 个服务台都完成了对某个顾客的服务之后，下一个顾客才能进入这个串联服务 系统。 k µ k k 9.1.3 生灭过程 生灭过程也是一种马尔柯夫过程。在排队论中很多排队过程和这个过程相 仿。我们特别关心生灭过程在统计平衡时反映出来的稳态概率，并直接把这种稳 态概率应用于建立各种排队模型。 1. 生灭过程的定义 一堆细菌，随时间推移，有的分裂为两个，有的死亡，经过一段时间之后， 细菌变为多少？这种细菌的分裂与死亡的过程就是典型的生灭过程的例子。设每 个细菌在+t 时间内分裂成两个细菌的概率为λ+t +0(+ )；而在+t 时间内死亡