赵栎等：确定性多变量自校正控制的稳定性、收敛性和鲁棒性 ·1219· △u(内 中(k-d)(k)对控制系统的稳定性和收敛性进行 y.() 判断，也就是说定理3可用于现场控制系统的稳定 u.() 性监控 图7参数收敛到非真值时的分解系统2 定理3的证明思路：仍然使用图2所示的虚拟 Fig.7 Decomposed subsystem 2 of VES II 等价系统 在定理条件2)和条件3)满足的情况下，仿照 e') 文献[5]，可以证明一步超前自校正控制有如下 +1+ y， 性质 I△u(k)Ⅱ=O(Ie(k)I)=o(a+I(k-d)‖) 图8参数收敛到非真值时的分解系统3 (30) Fig.8 Decomposed subsystem 3 of VES II 与定理1的证明方法类似，将一步超前自校正 求参数估计模型收敛于一个可控模型。 控制系统的虚拟等价系统分解为图3和图4两个子 注释4：由定理1和定理2可以推出各种极点 系统，根据条件1)知道图3所示子系统是稳定的. 配置类型的自校正控制的稳定性、收敛性，如文献 以下证明过程与定理1的证明类似，细节省略. [7-11]的结果（除去参数估计性能分析部分），这是 注释6：一步超前自校正控制的稳定性、收敛性 因为，目前关于极点配置自校正控制系统的稳定性 为什么不需要参数估计收敛？ 和收敛性结果，基本上分为两种：其一是外加持续激 实际上，以上3个定理的证明过程中的关键就 励信号，使参数估计收敛到真值，其二是修正参数估 是证明虚拟等价系统中的△u(k)或△u'(k)的性质. 计，使得参数估计收敛且一致可控，这两种情况分别 定理1和定理2中由于考虑任意控制策略（如极点 对应定理1和定理2.参数估计保证可控性的方法 配置)，估计参数和控制器参数之间有比较复杂的 见文献[11,17-18]. 映射关系，因此必须要求参数估计收敛才能保证 2.3参数估计不收敛 △u(k)的性质；而一步超前控制策略中，控制器参数 分别针对一步超前控制策略和任意控制策略给 是直接用估计参数来表示的，细节见文献[5]，正是 出两个定理和两个推论.与参数估计收敛到非真值 由于这个特点使得不要求参数估计收敛就有（参照 的情况一样，允许估计模型的结构信息和实际被控 图2所示的虚拟等价系统)： 对象不一致. ‖△u(k)‖=O(Ie(k)I) 首先考虑针对最小相位对象的一步超前控制策 成立，因此只要求 略[6)，这一类自校正控制系统的稳定和收敛条件可 ‖e(k)‖=o(a+l中(k-d)I) 以更加简化.本文提供的证明与文献[6]的证明不 就可以保证所需要的△u(k)的性质，即‖△u(k)‖ 同，且能比较直观地解释为什么这种特殊类型的自 =o(a+‖中(k-d)‖)，这是证明的关键所在，也 校正控制系统不需要参数估计收敛就可以保证系统 解释了为什么一步超前自校正控制的稳定性、收敛 的稳定性和收敛性乃至鲁棒性. 性不需要参数估计收敛为前提 定理3：针对被控对象结构信息未知的最小相 进一步，同时考虑系统低阶建模和系统存在干 位被控对象的多变量确定性一步超前自校正控制系 扰的情况，则有以下关于一步超前自校正控制系统 统，若 的鲁棒性结论. 1)B(q-1)为Hurwitz稳定多项式，且IB。I≠0； 推论1：针对被控对象结构信息未知的最小相 2)控制策略u(k)存在； 位被控对象的多变量确定性一步超前自校正控制系 3)参数估计满足 统，若 ‖e(k)I=Iy(k)-b(k-d)0(k)I=o(a+I中 4)B(g1)为Hurwitz稳定多项式，且IB。|≠0： (k-d)I),a为非零常数 5)控制策略u(k)存在； 则一步超前自校正控制系统是稳定的和收敛的 6)参数估计误差有界，即 注释5：定理3的证明不需要参考文献[6]的 ‖e(k)‖≤M'<o “关键性技术引理”； 则一步超前自校正控制系统是稳定的 定理3的另一个优点是在不知道对象的阶数或 下面考虑参数估计不收敛时基于任意（线性） 阶数的上界的时候，可以根据测量值y(k)和计算值 控制策略的自校正控制系统的稳定性和收敛性赵 栎等: 确定性多变量自校正控制的稳定性、收敛性和鲁棒性 图 7 参数收敛到非真值时的分解系统 2 Fig. 7 Decomposed subsystem 2 of VES II 图 8 参数收敛到非真值时的分解系统 3 Fig. 8 Decomposed subsystem 3 of VES II 求参数估计模型收敛于一个可控模型. 注释 4:由定理 1 和定理 2 可以推出各种极点 配置类型的自校正控制的稳定性、收敛性,如文献 [7鄄鄄11]的结果(除去参数估计性能分析部分),这是 因为,目前关于极点配置自校正控制系统的稳定性 和收敛性结果,基本上分为两种:其一是外加持续激 励信号,使参数估计收敛到真值,其二是修正参数估 计,使得参数估计收敛且一致可控,这两种情况分别 对应定理 1 和定理 2. 参数估计保证可控性的方法 见文献[11,17鄄鄄18]. 2郾 3 参数估计不收敛 分别针对一步超前控制策略和任意控制策略给 出两个定理和两个推论. 与参数估计收敛到非真值 的情况一样,允许估计模型的结构信息和实际被控 对象不一致. 首先考虑针对最小相位对象的一步超前控制策 略[6] ,这一类自校正控制系统的稳定和收敛条件可 以更加简化. 本文提供的证明与文献[6]的证明不 同,且能比较直观地解释为什么这种特殊类型的自 校正控制系统不需要参数估计收敛就可以保证系统 的稳定性和收敛性乃至鲁棒性. 定理 3:针对被控对象结构信息未知的最小相 位被控对象的多变量确定性一步超前自校正控制系 统,若 1)B(q - 1 )为 Hurwitz 稳定多项式,且|B0 |屹0; 2)控制策略 u(k)存在; 3)参数估计满足 椰e(k)椰 = 椰y(k) - 准 T (k - d) ^ 兹(k)椰 = o(琢 + 椰准 (k - d)椰),琢 为非零常数. 则一步超前自校正控制系统是稳定的和收敛的. 注释 5:定理 3 的证明不需要参考文献[6] 的 “关键性技术引理冶; 定理 3 的另一个优点是在不知道对象的阶数或 阶数的上界的时候,可以根据测量值 y(k)和计算值 准 T (k - d) ^ 兹(k)对控制系统的稳定性和收敛性进行 判断,也就是说定理 3 可用于现场控制系统的稳定 性监控. 定理 3 的证明思路:仍然使用图 2 所示的虚拟 等价系统. 在定理条件 2) 和条件 3) 满足的情况下,仿照 文献[5],可以证明一步超前自校正控制有如下 性质 椰驻u(k)椰 = O(椰e(k)椰) = o(琢 + 椰准(k - d)椰) (30) 与定理 1 的证明方法类似,将一步超前自校正 控制系统的虚拟等价系统分解为图 3 和图 4 两个子 系统,根据条件 1)知道图 3 所示子系统是稳定的. 以下证明过程与定理 1 的证明类似,细节省略. 注释 6:一步超前自校正控制的稳定性、收敛性 为什么不需要参数估计收敛? 实际上,以上 3 个定理的证明过程中的关键就 是证明虚拟等价系统中的 驻u(k)或 驻u忆(k)的性质. 定理 1 和定理 2 中由于考虑任意控制策略(如极点 配置),估计参数和控制器参数之间有比较复杂的 映射关系,因此必须要求参数估计收敛才能保证 驻u(k)的性质;而一步超前控制策略中,控制器参数 是直接用估计参数来表示的,细节见文献[5],正是 由于这个特点使得不要求参数估计收敛就有(参照 图 2 所示的虚拟等价系统): 椰驻u(k)椰 = O(椰e(k)椰) 成立,因此只要求 椰e(k)椰 = o(琢 + 椰准(k - d)椰) 就可以保证所需要的 驻u(k)的性质,即椰驻u( k)椰 = o(琢 + 椰准( k - d)椰),这是证明的关键所在,也 解释了为什么一步超前自校正控制的稳定性、收敛 性不需要参数估计收敛为前提. 进一步,同时考虑系统低阶建模和系统存在干 扰的情况,则有以下关于一步超前自校正控制系统 的鲁棒性结论. 推论 1:针对被控对象结构信息未知的最小相 位被控对象的多变量确定性一步超前自校正控制系 统,若 4)B(q - 1 )为 Hurwitz 稳定多项式,且|B0 |屹0; 5)控制策略 u(k)存在; 6)参数估计误差有界,即 椰e(k)椰臆M忆 < 肄 则一步超前自校正控制系统是稳定的. 下面考虑参数估计不收敛时基于任意(线性) 控制策略的自校正控制系统的稳定性和收敛性. ·1219·