.1218. 工程科学学报，第41卷，第9期 考察图3所示系统，由条件2)知以图3所示系 1)参数估计收敛到0。，估计模型P(k)一致可 统输入输出信号有界，即 控，且 u(k)=0(1) (18) le(k)I=Iy(k)-中(k-d)0(k)‖= Iy1(k)I=0(1) (19) o(a+‖(k-d)‖）， 对图4所示系统，由于闭环系统稳定以及式 其中α为非零常数： (15),故有 2)控制策略对参数已知对象满足稳定要求： lly2(k)ll=o(B+I(k-d)) (20) 3)对象参数估计值到控制器参数的映射在0 Iu,(k)‖=o(B+‖(k-d)I) (21) (k)=0。处连续 至此，有 则自校正控制系统是稳定的和收敛的 y(k)=y,(k)+y2(k)=y1(k)+o(B+‖(k-d)I) 证明：为了证明定理2，需要构建如图5所示的 (22) 虚拟等价系统 u(k)=u(k)+2(k)=u(k)+o(B+‖(k-d)‖) △u e + ++ (23) ⑧ u(k) u ly()y (k)+y2()= lly(k)+0(B+(k-d))(24) 图5参数估计收敛到非真值时的虚拟等价系统 Iu(k)‖≤Iu(k)Ⅱ+Iu2(k)‖= Fig.5 VES II for self-tuning control system Iu(k)‖+o(B+I中(k-d)I)(25) 图中，P。代表参数估计的收敛值所对应的 用反证法可以证明序列‖中(k-d)‖必有界， 模型，C。(对应参数记为0。)则代表与P。对应的控 细节省略.这样由式(20)和(21)，得到 制器.显然图5所示的虚拟等价系统与图2所示的 I‖42(k)‖=o(1),ly2(k)‖=o(1) 虚拟等价系统在组成上是不同的，首先是C。、P。分 进一步考虑到式(16)和(17)，有 别与C、P不同，其次是e'(k)、△u'(k)的定义分别 y(k)→y,(k)u(k)→u(k) 与式(8)和(12)不同，图5中 定理1证毕. e'(k)=y(k)-中(k-d)8=y(k)- 注释1：从现有的参数估计研究结果看，若要求 中(k-d)0(k)+b(k-d)0(k)-中(k-d)0。 参数估计收敛到真值，需要在控制信号(k)上叠加 即 持续激励信号[)或衰减激励信号).当然这并不 e'(k)=e(k)+中(k-d)0(k)-T(k-d)0。 是必须的，后面的分析结果说明，要达到自校正控制 (26) 系统稳定和收敛的目标，并不需要保证估计参数收 敛到真值，甚至可以在参数估计不收敛的情况下，照 △u'(k)=u(k)-uo(k)=中(k)0.(k)-中(k)0o 样达到自校正控制系统的目的. (27) 注释2：定理1之条件3)的要求并不苛刻，以最 由条件1)知 常见的极点配置控制策略为例，模型参数到控制器 Ie'(k)‖=o(a+‖(k-d)I)(28) 参数的映射，等价于求解Diophantine方程，进一步 由条件3)知 等价于Sylvester矩阵求逆[s],只要式(1)所描述的 I△'(k)I=o(B+I中(k-d)‖)(29) 被控对象可控（对单变量系统等价于A(q1)和 将图5所示系统分解为3个子系统，分别见图 B(g)没有公因子，而对于多变量系统则等价于其 6~8.则由条件2)知道图6所示子系统稳定 传递函数矩阵没有零极点对消)，则Sylvester矩阵 以下仿照定理1的证明过程，可以得到结论 可逆，又矩阵求逆在其有解之处是连续的[16]，因此 (细节省略) 定理条件3)仅相当于要求被控对象可控 ,份 2.2参数估计收敛到非真值 考虑被控对象结构信息未知的情况，实际上，这 图6参数收敛到非真值时的分解系统1 样考虑的意义在于，估计模型的阶次可以低于真实 Fig.6 Decomposed subsystem 1 of VES II 被控对象的阶次 定理2：针对被控对象结构信息未知的多变量 注释3：由注释2知道，对于一般的控制策略一 确定性自校正控制系统，若 极点配置控制策略而言，定理2之条件3)相当于要工程科学学报,第 41 卷,第 9 期 考察图 3 所示系统,由条件 2)知以图 3 所示系 统输入输出信号有界,即 椰u1 (k)椰 = O(1) (18) 椰y1 (k)椰 = O(1) (19) 对图 4 所示系统,由于闭环系统稳定以及式 (15),故有 椰y2 (k)椰 = o(茁 + 椰准(k - d)椰) (20) 椰u2 (k)椰 = o(茁 + 椰准(k - d)椰) (21) 至此,有 y(k) = y1 (k) + y2 (k) = y1 (k) + o(茁 +椰准(k - d)椰) (22) u(k) = u1 (k) + u2 (k) = u1 (k) + o(茁 +椰准(k - d)椰) (23) 椰y(k)椰臆椰y1 (k)椰 + 椰y2 (k)椰 = 椰y1 (k)椰 + o(茁 + 椰准(k - d)椰) (24) 椰u(k)椰臆椰u1 (k)椰 + 椰u2 (k)椰 = 椰u1 (k)椰 + o(茁 + 椰准(k - d)椰) (25) 用反证法可以证明序列椰准( k - d)椰必有界, 细节省略. 这样由式(20)和(21),得到 椰u2 (k)椰 = o(1),椰y2 (k)椰 = o(1) 进一步考虑到式(16)和(17),有 y(k)寅y1 (k) u(k)寅u1 (k) 定理 1 证毕. 注释 1:从现有的参数估计研究结果看,若要求 参数估计收敛到真值,需要在控制信号 u(k)上叠加 持续激励信号[13] 或衰减激励信号[14] . 当然这并不 是必须的,后面的分析结果说明,要达到自校正控制 系统稳定和收敛的目标,并不需要保证估计参数收 敛到真值,甚至可以在参数估计不收敛的情况下,照 样达到自校正控制系统的目的. 注释 2:定理 1 之条件 3)的要求并不苛刻,以最 常见的极点配置控制策略为例,模型参数到控制器 参数的映射,等价于求解 Diophantine 方程,进一步 等价于 Sylvester 矩阵求逆[15] ,只要式(1)所描述的 被控对象可控( 对单变量系统等价于 A( q - 1 ) 和 B(q - 1 )没有公因子,而对于多变量系统则等价于其 传递函数矩阵没有零极点对消),则 Sylvester 矩阵 可逆,又矩阵求逆在其有解之处是连续的[16] ,因此 定理条件 3)仅相当于要求被控对象可控. 2郾 2 参数估计收敛到非真值 考虑被控对象结构信息未知的情况,实际上,这 样考虑的意义在于,估计模型的阶次可以低于真实 被控对象的阶次. 定理 2:针对被控对象结构信息未知的多变量 确定性自校正控制系统,若 1)参数估计收敛到 兹0 ,估计模型 Pm (k)一致可 控,且 椰e(k)椰 = 椰y(k) - 准 T (k - d) ^ 兹(k)椰 = o(琢 + 椰准(k - d)椰), 其中 琢 为非零常数; 2)控制策略对参数已知对象满足稳定要求; 3)对象参数估计值到控制器参数的映射在 ^ 兹 (k) = 兹0 处连续. 则自校正控制系统是稳定的和收敛的. 证明:为了证明定理 2,需要构建如图 5 所示的 虚拟等价系统. 图 5 参数估计收敛到非真值时的虚拟等价系统 Fig. 5 VES II for self鄄tuning control system 图中,P0 代表参数估计的收敛值 兹0 所对应的 模型,C0 (对应参数记为 兹c0 )则代表与 P0 对应的控 制器. 显然图 5 所示的虚拟等价系统与图 2 所示的 虚拟等价系统在组成上是不同的,首先是 C0 、P0 分 别与 C、P 不同,其次是 e忆( k)、驻u忆( k) 的定义分别 与式(8)和(12)不同,图 5 中 e忆(k) = y(k) - 准 T (k - d)兹0 = y(k) - 准 T (k - d) ^ 兹(k) + 准 T (k - d) ^ 兹(k) - 准 T (k - d)兹0 即 e忆(k) = e(k) + 准 T (k - d) ^ 兹(k) - 准 T (k - d)兹0 (26) 驻u忆(k) = u(k) - u0 (k) = 准 T c (k)兹c(k) - 准 T c (k)兹c0 (27) 由条件 1)知 椰e忆(k)椰 = o(琢 + 椰准(k - d)椰) (28) 由条件 3)知 椰驻u忆(k)椰 = o(茁 + 椰准(k - d)椰) (29) 将图 5 所示系统分解为 3 个子系统,分别见图 6 ~ 8. 则由条件 2)知道图 6 所示子系统稳定. 以下仿照定理 1 的证明过程,可以得到结论 (细节省略). 图 6 参数收敛到非真值时的分解系统 1 Fig. 6 Decomposed subsystem 1 of VES II 注释 3:由注释 2 知道,对于一般的控制策略― 极点配置控制策略而言,定理 2 之条件 3)相当于要 ·1218·