赵栎等：确定性多变量自校正控制的稳定性、收敛性和鲁棒性 ·1217· y u( y y@ 图1确定性自校正控制系统 图3自校正控制系统对应的定常系统 Fig.1 Deterministic self-tuning control system Fig.3 Non-adaptive control system for deterministic self-tuning con- trol system 为图1系统构造一个输入输出意义上的等价系 统，它由“假想”的定常控制器C,被控对象P和一 系统输出量显然会收敛到相应的非自适应控制系统 个补偿信号△(k)构成，如图2所示.那么，如何构 的对应量，但是，从动态过程来看，二者相差多少，仍 造C和△u(k)呢？假想被控对象0已知，按照 然值得探究 P(k)到C(k)的映射关系，在一定条件下（如可控 考虑基于任意控制策略和任意参数估计算法的 性条件)必定存在一个对应于P的定常控制器，记 自校正控制系统，有如下结果. 为C,其矩阵形式为0，显然它是0的函数，相应的 定理1：针对被控对象结构信息已知的确定性 控制律记为 自校正控制系统，若 u(k)=中(k)0 (11) 1)参数估计收敛到真值： 则△u(k)可以如式(12)构造 2)控制策略对参数已知对象满足稳定要求，即 △u(k)=u(k)-u(k)=中(k)0.(k)-中(k)0. (P,C)构成的闭环系统稳定； (12) 3)对象参数估计值到控制器参数的映射在 但是，由于参数0未知，故0。或C以及△u(k)未知， 0(k)=0处连续. 因而这个等价系统是一个假想的系统，简记为(C, 则自校正控制系统是稳定的和收敛的 P,△u(k)),把这个等价系统称为自校正控制系统 证明：由条件1)有0(k)→0，由条件3)知道， 的“虚拟等价系统”.△(k)实际上是模型和受控对 0.(k)是0(k)的连续函数，故0.(k)→0。 象在输出效果上的差异e(k)在控制域的一个映射， 由△u(k)的定义即式(12)知道 它受模型参数到控制器参数之间的映射规律的影 I△u(k)‖=o(I中.(k)I)(13) 响.虽然不能精确地计算△u(k),但可以通过e(k) 不失一般性，考虑控制器的阶数低于被控对象的阶 对它加以估计，通过后面的分析可以看到，当参数估 数，由式(10)，即中(k)的组成，可以看出（注意： 计满足一定条件时，补偿信号△u(k)有很好的性 y(k)为有界参考输入) 质，便于我们判断系统的稳定性和收敛性甚至鲁 ‖中.(k)‖=0(B+I(k-d)I)(14) 棒性 式中，B为有界常数，符号o和0的定义如下]： △u 设f(x),g(x)为任意函数，且g(x)恒取正值， 若当x→a(这里a可以是0、或其他确定数值) 时，有f(x)/g(x)→0，则记作f(x)=o(g(x));若 图2确定性自校正控制的虚拟等价系统 f(x)1/g(x)≤A,则记作f(x)=O(g(x),A为常 Fig.2 VES of deterministic self-tuning control system 数.故有 I△u(k)‖=o(B+I中(k-d))(15) 如果将虚拟等价系统中的△u(k)去掉，则得到 下面将图2所示线性定常结构的虚拟等价系统 图3所示的线性定常系统.它正好是定义自校正控 分解为图3和图4两个初始条件为零的子系统 制系统收敛性的参照系统，自校正控制系统的稳定 △u( 性是指输入、输出的范数有界，而收敛性是指y(k) y1(k),u(k)→u1(k),即收敛于图3所示的“理 u() 想”系统的输入和输出. 图4参数收敛到真值时的分解子系统2 2结论及证明 Fig.4 Decomposed subsystem 2 of Fig.2 2.1参数估计收敛到真值 根据线性系统的迭加原理有 这是直观上最容易理解的一类情况，一个自校 y(k)=y1(k)+y2(k) (16) 正控制系统，当参数估计收敛到真值时，其控制量和 u(k)=u(k)+u2(k) (17)赵 栎等: 确定性多变量自校正控制的稳定性、收敛性和鲁棒性 图 1 确定性自校正控制系统 Fig. 1 Deterministic self鄄tuning control system 为图 1 系统构造一个输入输出意义上的等价系 统,它由“假想冶的定常控制器 C,被控对象 P 和一 个补偿信号 驻u(k)构成,如图 2 所示. 那么,如何构 造 C 和 驻u ( k) 呢? 假想被控对象 兹 已知, 按照 Pm (k)到 C(k)的映射关系,在一定条件下(如可控 性条件)必定存在一个对应于 P 的定常控制器,记 为 C,其矩阵形式为 兹c,显然它是 兹 的函数,相应的 控制律记为 u0 (k) = 准 T c (k)兹c (11) 则 驻u(k)可以如式(12)构造 驻u(k) = u(k) - u0 (k) = 准 T c (k)兹c(k) - 准 T c (k)兹c (12) 但是,由于参数 兹 未知,故 兹c 或 C 以及 驻u(k)未知, 因而这个等价系统是一个假想的系统,简记为(C, P,驻u(k)),把这个等价系统称为自校正控制系统 的“虚拟等价系统冶. 驻u(k)实际上是模型和受控对 象在输出效果上的差异 e(k)在控制域的一个映射, 它受模型参数到控制器参数之间的映射规律的影 响. 虽然不能精确地计算 驻u(k),但可以通过 e(k) 对它加以估计,通过后面的分析可以看到,当参数估 计满足一定条件时,补偿信号 驻u( k) 有很好的性 质,便于我们判断系统的稳定性和收敛性甚至鲁 棒性. 图 2 确定性自校正控制的虚拟等价系统 Fig. 2 VES of deterministic self鄄tuning control system 如果将虚拟等价系统中的 驻u(k)去掉,则得到 图 3 所示的线性定常系统. 它正好是定义自校正控 制系统收敛性的参照系统,自校正控制系统的稳定 性是指输入、输出的范数有界,而收敛性是指 y( k) 寅y1 ( k),u( k) 寅u1 ( k),即收敛于图 3 所示的“理 想冶系统的输入和输出. 2 结论及证明 2郾 1 参数估计收敛到真值 这是直观上最容易理解的一类情况,一个自校 正控制系统,当参数估计收敛到真值时,其控制量和 图 3 自校正控制系统对应的定常系统 Fig. 3 Non鄄adaptive control system for deterministic self鄄tuning con鄄 trol system 系统输出量显然会收敛到相应的非自适应控制系统 的对应量,但是,从动态过程来看,二者相差多少,仍 然值得探究. 考虑基于任意控制策略和任意参数估计算法的 自校正控制系统,有如下结果. 定理 1:针对被控对象结构信息已知的确定性 自校正控制系统,若 1)参数估计收敛到真值; 2)控制策略对参数已知对象满足稳定要求,即 (P,C)构成的闭环系统稳定; 3)对象参数估计值到控制器参数的映射在 ^ 兹(k) = 兹 处连续. 则自校正控制系统是稳定的和收敛的. 证明: 由条件 1)有 ^ 兹(k)寅兹,由条件 3)知道, 兹c(k)是 ^ 兹(k)的连续函数,故 兹c(k)寅兹c 由 驻u(k)的定义即式(12)知道 椰驻u(k)椰 = o(椰准c(k)椰) (13) 不失一般性,考虑控制器的阶数低于被控对象的阶 数,由式(10),即 准c ( k) 的组成,可以看出(注意: yr(k)为有界参考输入) 椰准c(k)椰 = O(茁 + 椰准(k - d)椰) (14) 式中,茁 为有界常数,符号 o 和 O 的定义如下[12] : 设 f(x),g( x)为任意函数,且 g( x)恒取正值, 若当 x寅a(这里 a 可以是 0、肄 或其他确定数值) 时,有 f(x) / g( x) 寅0,则记作 f( x) = o( g( x));若 | f(x) | / g(x)臆A,则记作 f( x) = O( g( x)),A 为常 数. 故有 椰驻u(k)椰 = o(茁 + 椰准(k - d)椰) (15) 下面将图 2 所示线性定常结构的虚拟等价系统 分解为图 3 和图 4 两个初始条件为零的子系统. 图 4 参数收敛到真值时的分解子系统 2 Fig. 4 Decomposed subsystem 2 of Fig. 2 根据线性系统的迭加原理有 y(k) = y1 (k) + y2 (k) (16) u(k) = u1 (k) + u2 (k) (17) ·1217·