教案 幂级数 教学内容 将初等函数展开成幂级数,是研究函数的表示、性质和进行近似计算的重要 方法,也是微积分理论中不可或缺的一个部分。本节介绍幂级数的概念与性质, 以及函数如何展开为幂级数问题,进一步还要指出幂级数在近似计算中的应用 具体内容如下: (1)幂级数的收敛半径和收敛域的概念及计算方法; (2)幂级数的和函数的连续性、逐项可导和逐项可积性质: (3)函数的 Taylor级数的概念及初等函数的 Taylor展开方法 (4)介绍利用函数的 Taylor展开进行近似计算的方法 教学思路和要求 (1)介绍函数项级数及其收敛域的概念,进而引出重要的幂级数的概念; (2)幂级数的收敛域有着独特的对称性,如何计算幂级数的收敛半径和收 敛域是一个重点; (3)幂级数的和函数的连续性、逐项可导和逐项可积性质有着重要应用 因此也是课程中的一个重点,是学生必须要掌握的知识点 (4)函数的幂级数( Taylor级数)展开是微积分学中的重要工具,是学生务 必要掌握的数学方法。关于这部分内容,首先讲解利用 Taylor公式,将一些基本 的初等函数展开为 Taylor级数或 Maclaurin级数。在此基础上,讲解一般初等函 数的 Taylor展开的方法,也就是间接展开法。 (5)介绍函数的幂级数展开的应用,重点在于近似计算 教学安排 函数项级数 现在将级数的概念推广到通项为函数的情况。设un(n=1,2,…)是一列定 义在数集Ⅰ上的函数(这时也称{un}为函数序列),称用加号按顺序将这列函数 连接起来的表达式 l1+l2+……+ln+ 为函数项级数,记为∑n。本章中为叙述方便也常记作∑n(x)。 函数项级数的收敛性可以借助数项级数得到 定义9.21若对于固定的x∈1,数项级数∑u1(x)收敛,则称函数项级 数∑un(x)在点x收敛,或称x是∑un(x)的收敛点。这些收敛点全体所构成的教 案 幂级数 教学内容 将初等函数展开成幂级数，是研究函数的表示、性质和进行近似计算的重要 方法，也是微积分理论中不可或缺的一个部分。本节介绍幂级数的概念与性质， 以及函数如何展开为幂级数问题，进一步还要指出幂级数在近似计算中的应用。 具体内容如下： （1） 幂级数的收敛半径和收敛域的概念及计算方法； （2） 幂级数的和函数的连续性、逐项可导和逐项可积性质； （3） 函数的 Taylor 级数的概念及初等函数的 Taylor 展开方法； （4） 介绍利用函数的 Taylor 展开进行近似计算的方法。 教学思路和要求 （1）介绍函数项级数及其收敛域的概念，进而引出重要的幂级数的概念； （2）幂级数的收敛域有着独特的对称性，如何计算幂级数的收敛半径和收 敛域是一个重点； （3）幂级数的和函数的连续性、逐项可导和逐项可积性质有着重要应用， 因此也是课程中的一个重点，是学生必须要掌握的知识点； （4）函数的幂级数（Taylor 级数）展开是微积分学中的重要工具，是学生务 必要掌握的数学方法。关于这部分内容，首先讲解利用 Taylor 公式，将一些基本 的初等函数展开为 Taylor 级数或 Maclaurin 级数。在此基础上，讲解一般初等函 数的 Taylor 展开的方法，也就是间接展开法。 （5）介绍函数的幂级数展开的应用，重点在于近似计算。 教学安排 一．函数项级数 现在将级数的概念推广到通项为函数的情况。设 n u （ n 1,2,  ）是一列定 义在数集 I 上的函数（这时也称 { }n u 为函数序列），称用加号按顺序将这列函数 连接起来的表达式 u1  u2  un  为函数项级数，记为   n1 n u 。本章中为叙述方便也常记作   1 ( ) n n u x 。 函数项级数的收敛性可以借助数项级数得到。 定义 9.2.1 若对于固定的 0 x  I ，数项级数   1 0 ( ) n n u x 收敛，则称函数项级 数   1 ( ) n n u x 在点 0 x 收敛，或称 0 x 是   1 ( ) n n u x 的收敛点。这些收敛点全体所构成的