集合D称为∑,(x)的收敛域。 对于收敛域D上的每个x,都对应了一个收敛的数项级数∑u2(x),记其和 为S(x),这样就定义了一个D上的函数 S(x)=∑un(x),x∈D, 它称为函数项级数∑un(x)的和函数 和函数也可以如下得到:作∑un(x)的部分和函数: Sn(x)=∑(x)(x∈1),n=12 显然,使{Sn(x)}收敛的x全体正是收敛域D.因此∑un(x)的和函数S(x)就是在 D上部分和函数序列{Sn(x)}的极限,即 S(x)= lim s.(x)=lm∑u4(x),x∈D。 与数项级数一样,在收敛域D上定义 rn(x)=S(x)-S,(x)=2uk(r) k=n+1 它称为函数项级数∑un(x)的余项。 例9.2.1em(n=1,2,…)是一列定义于(-∞,+∞)上的函数。显然对于每 个固定的x∈(一o,+∞),∑e是等比级数。这个函数项级数的收敛域为(0,+∞), 和函数为S(x) 这个例子也说明了函数项级数的收敛域并不一定是原来函数序列的公共定 义域。 幂级数 以下形式的函数项级数 an(x-x0)"=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)+…+an(x-x0) 称为幂级数,其中an(n=012…)为常数,称为该幂级数的系数 为了方便我们常取x0=0,也就是讨论 anx =do taxta2x +.+anx 因为只要做一个平移x=1-x,所得的结论便可以平行推广到x。≠0的情况。集合 D 称为   1 ( ) n n u x 的收敛域。 对于收敛域 D 上的每个 x ，都对应了一个收敛的数项级数   1 ( ) n n u x ，记其和 为 S(x) ，这样就定义了一个 D 上的函数 S(x)    1 ( ) n n u x ， x  D， 它称为函数项级数   1 ( ) n n u x 的和函数。 和函数也可以如下得到：作   1 ( ) n n u x 的部分和函数：   n k n k S x u x 1 ( ) ( ) （ x  I ）， n 1,2, 。 显然，使 {S (x)} n 收敛的 x 全体正是收敛域 D 。因此   1 ( ) n n u x 的和函数 S(x) 就是在 D 上部分和函数序列 {S (x)} n 的极限，即    S(x) lim S (x) n n n lim  n k k u x 1 ( )， x  D。 与数项级数一样，在收敛域 D 上定义        1 ( ) ( ) ( ) ( ) k n n n k r x S x S x u x ， 它称为函数项级数   1 ( ) n n u x 的余项。 例 9.2.1 nx e  （ n 1,2,  ）是一列定义于 (,  ) 上的函数。显然对于每 个固定的 x(,  )，    n 1 nx e 是等比级数。这个函数项级数的收敛域为 (0,  )， 和函数为 1 1 ( )   x e S x 。 这个例子也说明了函数项级数的收敛域并不一定是原来函数序列的公共定 义域。 二．幂级数 以下形式的函数项级数             n n n n n a (x x ) a a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 0 1 0 2 0 0 0 称为幂级数，其中 n a （ n  0,1,2,  ）为常数，称为该幂级数的系数。 为了方便我们常取 x0  0 ，也就是讨论         n n n n n a x a a x a x a x 2 0 1 2 0 ， 因为只要做一个平移 0 x  t  x ，所得的结论便可以平行推广到 x0  0 的情况