例如,∑x、∑x和∑(+1x-1都是幂级数 下面我们将讨论两个方面的问题:第一,对给定的幂级数,它何时是收敛的 具有什么性质?并尝试求出一些幂级数的和函数;第二,对给定的函数,是否可 以将它表示为幂级数?如何求初等函数的幂级数展开式? 幂级数的收敛半径 个自然的问题是,幂级数的收敛域是什么样的?下面的定理说明了它的收 敛域是一个区间。 定理921(Abe定理)如果幂级数∑ax"在x(x≠0)点收敛,那么 对于一切满足|xk|x0|的x,它绝对收敛;如果幂级数∑ax在x点发散,那 么对于一切满足|x卜|x|的x,它也发散。 证设x(x6≠0)是幂级数∑anx”的收敛点。根据级数收敛的必要条件 lim a x0"=0,于是存在正数M,使得 anx0"KM,n=0,12…。 因此,对于满足|xk|x0|的x有 l anx"fanno ≤M 由于级数∑M收敛,因而∑ax1也收敛,即级数∑ax”绝对收敛 若幂级数∑anx”在x点发散,那么对于满足|x|x01的x,它也发散。否 则的话,由刚才的证明知道,幂级数在x处收敛,就决定了它在x处收敛,这与 假设矛盾。 证毕 这个定理说明,一定存在一个R(0≤R≤+∞),使得幂级数∑anx”的收敛域 就是从-R到R的整个区间(R为正实数时可能包含端点也可能不包含端点 R=0时就是一点x=0),并且在区间内部,它绝对收敛。这个区间也称为该幂 级数的收敛区间,而R称为幂级数∑anx”的收敛半径 根据数项级数的 Cauchy判别法,若极限 imy/anx”|= lim vla|x 存在,那么当此极限值小于1时,∑ax”绝对收敛当此极限值大于1时,∑a,x例如，   n0 n x 、  n1 n n x 和      0 ( 1)( 1) n n n x 都是幂级数。 下面我们将讨论两个方面的问题：第一，对给定的幂级数，它何时是收敛的？ 具有什么性质？并尝试求出一些幂级数的和函数；第二，对给定的函数，是否可 以将它表示为幂级数？如何求初等函数的幂级数展开式？ 三．幂级数的收敛半径 一个自然的问题是，幂级数的收敛域是什么样的？下面的定理说明了它的收 敛域是一个区间。 定理 9.2.1（Abel 定理）如果幂级数   n0 n n a x 在 0 x （ x0  0 ）点收敛，那么 对于一切满足 | | | | 0 x  x 的 x ，它绝对收敛；如果幂级数   n0 n n a x 在 0 x 点发散，那 么对于一切满足 | | | | 0 x  x 的 x ，它也发散。 证 设 0 x （ x0  0 ）是幂级数   n0 n n a x 的收敛点。根据级数收敛的必要条件， lim 0  0  n n n a x ，于是存在正数 M ，使得 a x M n | n 0 | ，n  0,1, 2, 。 因此，对于满足 | | | | 0 x  x 的 x 有 n n n n n n n x x M x x a x a x 0 0 0 | |   。 由于级数   n0 0 n x x M 收敛，因而   0 | | n n n a x 也收敛，即级数   n0 n n a x 绝对收敛。 若幂级数   n0 n n a x 在 0 x 点发散，那么对于满足 | | | | 0 x  x 的 x ，它也发散。否 则的话，由刚才的证明知道，幂级数在 x 处收敛，就决定了它在 0 x 处收敛，这与 假设矛盾。 证毕 这个定理说明，一定存在一个 R (0  R  ) ，使得幂级数   n0 n n a x 的收敛域 就是从  R 到 R 的整个区间（ R 为正实数时可能包含端点也可能不包含端点； R  0 时就是一点 x  0 ），并且在区间内部，它绝对收敛。这个区间也称为该幂 级数的收敛区间，而 R 称为幂级数   n0 n n a x 的收敛半径。 根据数项级数的 Cauchy 判别法，若极限 n lim  n n n |a x | n lim |a | | x | n n  存在，那么当此极限值小于1时，   n0 n n a x 绝对收敛；当此极限值大于1时，   n0 n n a x