发散。如果令A= lim/la,|,那么显然有 ,A=0 R A∈(0,+∞) =+0 这就证明了 定理9.22 (Cauchy- Hadamard定理)若幂级数∑anx”的系数满足 vlan1=A 且R同上定义,那么级数∑anx当|xkR时绝对收敛;当x卜R时发散。此时 R为幂级数∑anx"的收敛半径 当R=+∞时,说明幂级数对一切实数x都是绝对收敛的;当R=0时,说明 幂级数仅当x=0时收敛。注意在区间的端点x=±R处,幂级数收敛与否必须另 行判断 由 D'Alembert判别法,如果lm=A,则同样也可如上确定幂级数 anx”的收敛半径R。事实上可以证明,这时成立man=m=A 例9.2.2易计算 x"的收敛半径是1,收敛域是(-1,1) ∑的收敛半径是1,收敛域为-1,1) ∑ 的收敛半径是1,收敛域为[-1,1 的收敛半径是+∞,因此收敛域为R=(-∞,+∞) ∑(n!)x"的收敛半径是0,因此收敛域为单点集{(0} 例923求幂级数∑”x"的收敛半径 n2+1) lim lim (n+1)! =e,发散。如果令   n A lim n an | | ，那么显然有               . (0, ), 0, 0, , 1 , A A A A R 这就证明了： 定理 9.2.2 (Cauchy - Hadamard 定理) 若幂级数   n0 n n a x 的系数满足 n lim n |an |  A， 且 R 同上定义，那么级数   n0 n n a x 当 | x | R 时绝对收敛；当 | x | R 时发散。此时 R 为幂级数   n0 n n a x 的收敛半径。 当 R   时，说明幂级数对一切实数 x 都是绝对收敛的；当 R  0 时，说明 幂级数仅当 x  0 时收敛。注意在区间的端点 x  R 处，幂级数收敛与否必须另 行判断。 由 D'Alembert 判别法，如果 n lim A a a n n  1 ，则同样也可如上确定幂级数   n0 n n a x 的收敛半径 R 。事实上可以证明，这时成立 n lim n |an |  n lim A a a n n  1 。 例 9.2.2 易计算   n1 n x 的收敛半径是 1，收敛域是 (1, 1) ；   n1 n n x 的收敛半径是 1，收敛域为 [1, 1) ；   1 2 n n n x 的收敛半径是 1，收敛域为 [1, 1] ；   1 ! n n n x 的收敛半径是  ，因此收敛域为 R  (,  ) ；   1 ( !) n n n x 的收敛半径是 0，因此收敛域为单点集{0}。 例 9.2.3 求幂级数   0 ! n n n x n n 的收敛半径。 解 记 n! n a n n  ，则 n lim   n n a a 1 n lim     ! ( 1)! ( 1) 1 n n n n n n e n n n          1 lim 1