所以收敛半径 例9.2.4求幂级数 x24的收敛半径。 (-3)”+2 解这是缺项幂级数,x2(n=1,2,…)项的系数为0,不能直接用上面的公 式来计算收敛半径,而采用如下的计算方法。因为 n lin -)"+2 =lim x|"=|x|2 +(23y 所以,当1x<1,即xk√3时,∑,nxm收敛:而当x>1,即 (-3)”+ x√3时, x2n-4发散。因此由收敛半径的定义,收敛半径R=√3 (-3)+2” 例92.5求幂级数∑ 的收敛域。 那么上述级数变为 ∑(2+r 因为 2+1) 所以收敛半径为R=-1,当1=2-1时,级数(2+旷为∑1,它是 发散的。当=(2-D时,级数∑(2+D)r为∑(,它是收敛的。因此 (2+Dr的收敛域为1-√2,v2-)。从而幂级数(2+x-的收 敛域是3-5,-1 四.幂级数的性质 设幂级数∑anx的收敛半径为R,∑bx”的收敛半径为R',且RR>0。 那么∑ax”和∑bx都在|xkm(RR)上绝对收敛,因此在xkmn(RR)上 成立 ax"±b 以及所以收敛半径 e R 1  。 例 9.2.4 求幂级数     1   2 1 n ( 3) 2 n n n x n 的收敛半径。 解 这是缺项幂级数， n x 2 （ n 1, 2,  ）项的系数为 0，不能直接用上面的公 式来计算收敛半径，而采用如下的计算方法。因为   2 1 2 1 2 1 | | 3 1 | | 31 ( 2 / 3) lim ( 3) 2 lim x x n x n n n n n n n n n n n           ， 所以，当  2 | | 3 1 x 1，即 | x | 3 时，     1   2 1 n ( 3) 2 n n n x n 收敛；而当 | | 1 3 1 2 x  ，即 | x | 3 时，     1   2 1 n ( 3) 2 n n n x n 发散。因此由收敛半径的定义，收敛半径 R  3 。 例 9.2.5 求幂级数            1 2 ( 2 1) 1 n n n x n 的收敛域。 解 令 2 1 t  x  ，那么上述级数变为     1 ( 2 1) n n n t n 。 因为 n lim n n n ( 2 1)  2 1， 所以收敛半径为 R  2 1 。当 t  2 1 时，级数     1 ( 2 1) n n n t n 为   1 1 n n ，它是 发散的。当 t  ( 2 1) 时，级数     1 ( 2 1) n n n t n 为     1 ( 1) n n n ，它是收敛的。因此     1 ( 2 1) n n n t n 的收敛域为 [1 2, 2 1) 。从而幂级数            1 2 ( 2 1) 1 n n n x n 的收 敛域是         2 1 2, 2 2 3 。 四．幂级数的性质 设幂级数   n0 n n a x 的收敛半径为 R ，  n0 n n b x 的收敛半径为 R ，且 R, R  0。 那么   n0 n n a x 和   n0 n n b x 都在 | x | min( R,R) 上绝对收敛，因此在 | x | min( R,R) 上 成立    n0 n n a x   n0 n n b x      0 ( ) n n n n a b x ， 以及