第一学期第七次课 第二章§3线性方程组的理论课题 311齐次线性方程组的基础解系 对于齐次线性方程组 aux 0. =0 aix.+a 令 则上述方程组即为 x,a,+x,a2 (其中0为零向量)。将(*)的解视为n维向量,则所有解向量构成K"中的一个向量组 记为S 命题S中的元素(解向量)的线性组合仍属于S(仍是解 证明只需要证明S关于加法与数乘封闭。设(k1,k2…k),(1,l2…ln)∈S,则 ka1+k2a2+…+knan=0,1a1+l2a2+…+lnan=0, 于是(k+)a1+(k2+2)x2+…+(kn+lnan=0,故(k+l1,k2+l2…kn+ln)∈S;又因为 k∈K,ka1+kk2a2+…+kan=0,所以(妩1,kk2…欣n)∈S。证毕。 定义(线性方程组基础解系)齐次线性方程组(*)的一组解向量η,n2…η,如果满 足如下条件: (1) n,2,…,线性无关 (2)方程组(*)的任一解向量都可被n,n2,…,7,线性表出 那么,就称n172…,7是齐次线性方程组(*)的一个基础解系 定理数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数矩阵 的秩 证明记线性方程组为xa1+x2a2+…+xnCn=0,其中第一学期第七次课 第二章 §3 线性方程组的理论课题 3.1.1 齐次线性方程组的基础解系 对于齐次线性方程组 11 1 12 2 1 12 1 22 2 2 1 1 2 2 0, 0, 0. n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =     + + + = 令 11 21 1 m1 a a a        =       ， 12 22 2 m2 a a a        =       ，…， 1 2 n n n mn a a a        =       ， 则上述方程组即为 1 1 2 2 0 n n x x x    + + + = （*） （其中 0 为零向量）。将（*）的解视为 n 维向量，则所有解向量构成 n K 中的一个向量组， 记为 S 。 命题 S 中的元素（解向量）的线性组合仍属于 S （仍是解）。 证明 只需要证明 S 关于加法与数乘封闭。设 1 2 ( , , , ) n k k k ， 1 2 ( , , , ) n l l l S ，则 1 1 2 2 0 n n k k k    + + + = ， 1 1 2 2 0 n n l l l    + + + = ， 于是 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 n n n k l k l k l + + + + + + =    ，故 1 1 2 2 ( , , , ) n n k l k l k l S + + +  ；又因为  k K ， 1 1 2 2 0 n n kk kk kk    + + + = ，所以 1 2 ( , , , ) n kk kk kk S  。证毕。 定义（线性方程组基础解系） 齐次线性方程组（*）的一组解向量 1 2 , , ,   s 如果满 足如下条件： （1） 1 2 , , ,   s 线性无关； （2） 方程组（*）的任一解向量都可被 1 2 , , ,   s 线性表出， 那么，就称 1 2 , , ,   s 是齐次线性方程组（*）的一个基础解系。 定理 数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数矩阵 的秩； 证明 记线性方程组为 1 1 2 2 0 n n x x x    + + + = ，其中