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第9期 石博强等：时变不确定性机械设计方法 ,1053 式中，X为第j个观测时间点的值(j=1,,n, 图3所示，该历史观测数据由软件Labview随机产 n十1，观测次数为n十1次)· 生，假设观测的时间间隔以天为单位，设计使用寿命 3.2波动率δ的计算 为1a,求可靠度分别为R(t)=0.995和R(t)= 令q:=lnX-1 ,=1,2,…,n,9是g:的平均 0.95,所使用材料的强度在零时刻S(0)=500MPa 时，求受拉圆轴的设计半径r, 值，则 515 6= Nn-1(9-) 1 s05 即， 495 M邮Ww 485 (26) 47520395879615134153172191 4 两种特殊情况 时间d (1)当⑧s=6,=0时，应力（强度）变化率仅受 图2强度的历史数据 Fig.2 History data of strength 到确定性因素的影响 因为应力和强度都服从 230 225 dx(t)=xx(t)dt+8x(t)dw(t), 220 故 210 dx(t)=Ax(t)dt,X(t)=X(0)exp 根据设计零件零时刻的强度R(O)和应力S(O) 195 的关系为沿二8p(入-)，便可以选择 190 185 23456789111133155177199 不同的材料或者材料尺寸对零件进行设计 时间d (2)当入=入，=0时，应力（强度）变化率仅受 图3应力的历史数据 到不确定性因素的影响 Fig.3 History data of stress dx(t)=8x(t)dw(t), s(0)=exp 根据历史数据，由式(25)和(26)可得： (0) 一Zo()s()十o 入=-0.00021042265615， 入，=0.00018921403584， 8,=0.008338983708,6,=0.017688311331. 由式(23)可知R(t)=0.995时，Z)=Z(365)= 根据设计零件零时刻的强度R(O)和应力S(0) -2.575 的关系，便可以选择不同的材料或者材料尺寸对零 由式(24)可知 件进行设计. S9=e0.8606=2.3645, (0) 5算例 08器器-9 S(0) πr2 考虑一受拉圆轴（图1），假设应力在轴的横截 解得r=17.3555mm.即当r=17.3555mm能够 面上均匀分布，轴线为直线，随机载荷作用在截面中 满足零件的可靠度在1a后为0.995的要求. 心，破坏定为断裂.设计准则为R(t)=P(nS(t)一 同理，当R(t)=0.95时，Z0=Za(365)= Inc()>0) 1.645. 强度和应力的200个历史观测数据如图2和 F S0=e0.5181=1.6705, σ(0) 0=8-1.059 500_=E(0)=200000 图1受拉轴 π2 Fig.I Tensional bar 解得r=14.5878mm.即当r=14.5878mm时，能式中Xj 为第 j 个观测时间点的值（ j ＝1…n n＋1观测次数为 n＋1次）． 3∙2 波动率 δ的计算 令 qi＝ln Xj Xj－1 i＝12…nq 是 qi 的平均 值则 δ＝ 1 n －1∑ n i＝1 （ qi － q） 2 ． 即 δ＝ ∑ n i＝1 （ qi － q） 2 n －1 （26） 4 两种特殊情况 （1） 当 δS＝δσ＝0时应力（强度）变化率仅受 到确定性因素的影响． 因为应力和强度都服从 d X（ t）＝λX（ t）d t＋δX（ t）d W（ t） 故 d X（ t）＝λX（ t）d tX（ t）＝X（0）expλt． 根据设计零件零时刻的强度 R（0）和应力 S（0） 的关系为 S（ t） σ（ t） ＝ S（0） σ（0） exp（λS －λσ） t便可以选择 不同的材料或者材料尺寸对零件进行设计． （2） 当 λS＝λσ＝0时应力（强度）变化率仅受 到不确定性因素的影响． d X（ t）＝δX（ t）d W（ t） S（0） σ（0） ＝exp －Zα（ t） σ＾ 2 ln S（ t）＋σ＾ 2 lnσ（ t）＋ 0－ 1 2 δ2 S － 0－ 1 2 δ2 σ t ＝ exp －Zα（ t） σ＾ 2 ln S（ t）＋σ＾ 2 lnσ（ t）＋ 1 2 δ2 σ－ 1 2 δ2 S t ． 根据设计零件零时刻的强度 R（0）和应力 S（0） 的关系便可以选择不同的材料或者材料尺寸对零 件进行设计． 图1 受拉轴 Fig．1 Tensional bar 5 算例 考虑一受拉圆轴（图1）假设应力在轴的横截 面上均匀分布轴线为直线随机载荷作用在截面中 心破坏定为断裂．设计准则为 R（ t）＝P（ln S（ t）－ lnσ（ t）＞0）． 强度和应力的200个历史观测数据如图2和 图3所示该历史观测数据由软件 Labview 随机产 生假设观测的时间间隔以天为单位设计使用寿命 为1a求可靠度分别为 R（ t）＝0∙995和 R （ t）＝ 0∙95所使用材料的强度在零时刻 S（0）＝500MPa 时求受拉圆轴的设计半径 r． 图2 强度的历史数据 Fig．2 History data of strength 图3 应力的历史数据 Fig．3 History data of stress 根据历史数据由式（25）和（26）可得： λs＝－0∙00021042265615 λσ＝0∙00018921403584 δs＝0∙008338983708δσ＝0∙017688311331． 由式（23）可知 R （ t）＝0∙995时Zα（ t） ＝ Zα（365） ＝ －2∙575． 由式（24）可知 S（0） σ（0） ＝e 0∙8606＝2∙3645 σ（0）＝ S（0） 2∙3645 ＝ 500 2∙3645 ＝ F（0） πr 2 ＝ 200000 πr 2 ． 解得 r＝17∙3555mm．即当 r＝17∙3555mm 能够 满足零件的可靠度在1a 后为0∙995的要求． 同理当 R （ t ） ＝0∙95 时Zα（ t） ＝ Zα（365） ＝ 1∙645． S（0） σ（0） ＝e 0∙5131＝1∙6705 σ（0）＝ S（0） 1∙6705 ＝ 500 1∙6705 ＝ F（0） πr 2 ＝ 200000 πr 2 ． 解得 r＝14∙5878mm．即当 r＝14∙5878mm 时能 第9期 石博强等： 时变不确定性机械设计方法 ·1053·