D0I:10.13374/1.issnl00103.2008.09.017 第30卷第9期 北京科技大学学报 Vol.30 No.9 2008年9月 Journal of University of Science and Technology Beijing Sep·2008 时变不确定性机械设计方法 石博强闫永业范慧芳赵德祥 北京科技大学土木与环境学院，北京100083 摘要针对机械零件的应力和强度在不确定因素作用下的时变性，基于含有时变和随机因素的时变可靠度计算模型，提出 了包含时变和随机因素的时变不确定性机械设计方法·该方法以当前时刻为时间分析起点，不但考虑应力和强度受到随机因 素的影响，而且考虑了在某一时刻（应力和强度的分布，讨论了其求解方法：该方法是基于时变可靠度计算模型的时变概率 设计方法，它同样可以应用于其他领域如结构工程领域 关键词机械设计方法：时变：不确定性；应力：强度 分类号TH122 Mechanical design method with uncertain evolution S HI Bogiang.YAN Yongye,FAN Huifang,ZHAO Dexiang School of Civil and Environmental Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACT Aimed to the time variations of machine parts'stress and strength,a time-dependent mechanical design method.in which timevariable and random factors were taken into account.was proposed on the base of the calculation method of reliability in- corporating time varying and uncertainty.The proposed method was analyzed using present time as the starting point.Stress and strength were considered to be affected by random factors.Also.the distributions of stress and strength at any time t were modeled. A solution to the calculation method was given.Although the method is based on the time-dependent reliability model,it can be ap- plied to other fields such as structural engineering. KEY WORDS mechanical design method:time varying:uncertainty:stress:strength 机械零件的使用寿命是机械设计中一项重要的 于同样大小的强度均值和应力均值，其平均安全系 设计指标，在机械零件的使用过程中总是会受到包 数值完全一样.该方法考虑了机械材料特性与机械 括外在环境、材料自身等方面的不确定因素的影响， 构件的工作载荷条件及其破坏过程的随机性，使得 目前，国内外的专家、学者已对产品在使用过程中受 机械零件是否安全或失效，不仅取决于平均安全系 到的不确定因素的影响进行了大量研究] 数的大小，还取决于强度分布和应力分布的离散程 传统的机械设计方法认为零件的强度S和应 度，即根据强度和应力分布的标准差大小而定.该 力σ都是单值的，因此安全系数n=S/o也是单值 方法更加符合机械工程的具体实践，目前得到广泛 的，只要安全系数大于某一根据实际使用经验规定 应用[山，但是，在此概率设计方法中应力和强度 的数值，就认为零件是安全的倒，该设计方法不能 的分布针对的是在一段时间内的分布，而不是针对 回答所涉及产品的可靠程度或发生故障概率是多少 某一时刻应力和强度的分布进行可靠性设计·而实 的问题 际中，由于不确定性因素广泛地存在于机械设备及 当前，人们所采用的概率机械设计方法认为机 其工作环境中，这些时变不确定因素造成了应力和 械零部件的应力、强度是多值的，呈一定的分布状 强度的时变性，因此，概率设计方法中没有体现出 态].一般设强度分布和应力分布是正态分布，对 应力和强度随着时间的变化， 收稿日期：2007-07-25修回日期：2007-09-12 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。·50475173) 作者简介：石博强(962-)，男，教授，博士生导师，Emal:yanyongye@tom·com
时变不确定性机械设计方法 石博强 闫永业 范慧芳 赵德祥 北京科技大学土木与环境学院北京100083 摘 要 针对机械零件的应力和强度在不确定因素作用下的时变性基于含有时变和随机因素的时变可靠度计算模型提出 了包含时变和随机因素的时变不确定性机械设计方法．该方法以当前时刻为时间分析起点不但考虑应力和强度受到随机因 素的影响而且考虑了在某一时刻 t 应力和强度的分布讨论了其求解方法．该方法是基于时变可靠度计算模型的时变概率 设计方法它同样可以应用于其他领域如结构工程领域． 关键词 机械设计方法；时变；不确定性；应力；强度 分类号 T H122 Mechanical design method with uncertain evolution SHI BoqiangY A N YongyeFA N Huif angZHA O Dexiang School of Civil and Environmental EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT Aimed to the time variations of machine parts’stress and strengtha time-dependent mechanical design methodin which time-variable and random factors were taken into accountwas proposed on the base of the calculation method of reliability incorporating time varying and uncertainty．T he proposed method was analyzed using present time as the starting point．Stress and strength were considered to be affected by random factors．Alsothe distributions of stress and strength at any time t were modeled． A solution to the calculation method was given．Although the method is based on the time-dependent reliability modelit can be applied to other fields such as structural engineering． KEY WORDS mechanical design method；time varying；uncertainty；stress；strength 收稿日期：2007－07－25 修回日期：2007－09－12 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．50475173） 作者简介：石博强（1962－）男教授博士生导师E-mail：yanyongye＠tom．com 机械零件的使用寿命是机械设计中一项重要的 设计指标在机械零件的使用过程中总是会受到包 括外在环境、材料自身等方面的不确定因素的影响． 目前国内外的专家、学者已对产品在使用过程中受 到的不确定因素的影响进行了大量研究［1－3］． 传统的机械设计方法认为零件的强度 S 和应 力σ都是单值的因此安全系数 n＝ S／σ也是单值 的只要安全系数大于某一根据实际使用经验规定 的数值就认为零件是安全的［4］．该设计方法不能 回答所涉及产品的可靠程度或发生故障概率是多少 的问题． 当前人们所采用的概率机械设计方法认为机 械零部件的应力、强度是多值的呈一定的分布状 态［5］．一般设强度分布和应力分布是正态分布对 于同样大小的强度均值和应力均值其平均安全系 数值完全一样．该方法考虑了机械材料特性与机械 构件的工作载荷条件及其破坏过程的随机性使得 机械零件是否安全或失效不仅取决于平均安全系 数的大小还取决于强度分布和应力分布的离散程 度即根据强度和应力分布的标准差大小而定．该 方法更加符合机械工程的具体实践目前得到广泛 应用［6－11］．但是在此概率设计方法中应力和强度 的分布针对的是在一段时间内的分布而不是针对 某一时刻应力和强度的分布进行可靠性设计．而实 际中由于不确定性因素广泛地存在于机械设备及 其工作环境中这些时变不确定因素造成了应力和 强度的时变性．因此概率设计方法中没有体现出 应力和强度随着时间的变化． 第30卷 第9期 2008年 9月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．9 Sep．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．09．017
第9期 石博强等：时变不确定性机械设计方法 ,1051 为： 1可靠度计算数学模型 D(Inx(t))=/ 设(2，F,P)是一个概率空间，F为D上的o代 故lnX(t)是一个均值为lnX(0)十（入-82/2）t、标 数，P为n上的一个概率测度，W(t),0≤t≤T} 准差为8/t的正态分布函数，即 为一维标准布朗运动，t为时间变量，假如，随机变 量X满足： Inx(r)(t.ag dX(t)=X(t)dt+oX(t)dW(t),0≤t≤T (10) (1) 假设强度和应力的对数lnS(t)和lnc(t)是相 式中，入和8为常系数，因而 互独立的随机变量，均值和标准差分别为（马s(), dx(D)=xdt+odw(t) X(t) (2) ins()和(n),in()),由于实际中的应力（强 度)受到确定性因素和不确定性因素的共同作用，确 根据to定理有： 定性因素反映了应力（强度）的变化趋势，不确定性 InX(t)-InX(0)= 此+ 因素反映了应力（强度）的随机差异，二者的耦合行 为对应力（强度）产生的效应以概率演化出现，因此 (3) 本文假设应力和强度服从式(1)，即c(t)和S(t)满 式中，X为随机变量，u为时间变量 足： 令Y(t)=lnX(t),Y(t)为X(t)的函数，把 do(t)=,(t)dt+,o(t)dW(t),0≤t≤T 式(1)代入式(3)可得： (11) Y()-r)++ dS(t)=入S(t)dt+d,s(t)dW(t),0≤t≤T (4) (12) 因为 式中，系数入，为应力的漂移率，入为强度的漂移 Jodu=t,odW.=W:-Wo.Wo=0, 率，⊙。为应力的波动率，心为强度的波动率 由式(6)知： 故 a(t)=(0)exp 8 2 t十，W(t)(13) S(t)=S(0)exp 式中，Wo为运动时间为零的布朗运动，W,为运动 时间为t布朗运动 (14) 对Y(t)作指数运算得到式(I)的解： 因此lnS(t)是一个正态分布： X(t)=X(O)exp (6) ns(e)~Nhso+-的，a月 而lnX(t)的数学期望是： (15) lnS(t)的均值和方差分别是： EnX(t)=ElnX(0)十) Asw=lhs(0入-2的，4sw=. (7) ln(t)也是一个正态分布： 根据式(6)可知： In(a(t))~N In(a(0))+ (16) nxo+X-号的+ lno(t)的均值和方差分别是： 8) 根据期望的对数和对数的期望值之间关系 Aw=no(0)十-2t,w=8. 令Zr=lnS一lno,由于机构的可靠度可以用以下概 In(E(X))=E(InX)+D(InX) (9) 率表示： 式中，D为标准差 R=P(ZR>0),R(t)=P(ZR()0), 将式(7)和(8)代入式(9)，得lnX(t)的标准差 故
1 可靠度计算数学模型 设（ΩFP）是一个概率空间F 为Ω上的σ代 数P 为Ω上的一个概率测度｛W （ t）0≤ t≤ T｝ 为一维标准布朗运动t 为时间变量．假如随机变 量 X 满足： d X（ t）＝λX（ t）d t＋δX（ t）d W（ t）0≤t≤ T （1） 式中λ和δ为常系数．因而 d X（ t） X（ t） ＝λd t＋δd W（ t） （2） 根据 Ito 定理有： ln X（ t）－ln X（0）＝∫ t 0 d X X ＋ 1 2∫ t 0 －1 X 2δ2X 2d u （3） 式中X 为随机变量u 为时间变量． 令 Y （ t）＝ln X（ t）Y （ t）为 X（ t）的函数把 式（1）代入式（3）可得： Y （ t）＝ Y （0）＋∫ t 0 λ－ 1 2 δ2 d u＋∫ t 0 δd Wu （4） 因为 ∫ t 0 d u＝t∫ t 0 d Wu＝ Wt－ W0W0＝0 故 Y （ t）＝ln X（0）＋ λ－ 1 2 δ2 t＋δW（ t） （5） 式中W0 为运动时间为零的布朗运动Wt 为运动 时间为 t 布朗运动． 对 Y （ t）作指数运算得到式（1）的解： X（ t）＝X（0）exp λ－ 1 2 δ2 t＋δW（ t） （6） 而 ln X（ t）的数学期望是： E（lnX（ t））＝E lnX（0）＋ λ－ 1 2 δ2 t＋δW（ t） ＝ ln X（0）＋ λ－ 1 2 δ2 t （7） 根据式（6）可知： ln（E（ X（ t）））＝ln E X（0）e λ－ 1 2δ 2 t＋δW（ t） ＝ ln X（0）＋ λ－ 1 2 δ2 t＋ δ t 2 （8） 根据期望的对数和对数的期望值之间关系 ln（E（ X））＝E（ln X）＋ 1 2 D（ln X） （9） 式中D 为标准差． 将式（7）和（8）代入式（9）得 ln X（ t）的标准差 为： D（ln X（ t））＝δ t 故 ln X（ t）是一个均值为 ln X（0）＋（λ－δ2／2） t、标 准差为 δ t的正态分布函数即 ln X（ t）～ N ln X（0）＋ λ－ 1 2 δ2 tδ t （10） 假设强度和应力的对数 ln S（ t）和 lnσ（ t）是相 互独立的随机变量均值和标准差分别为（μ＾ln S（ t） σ＾ln S（ t））和（μ＾lnσ（ t）σ＾lnσ（ t） ）由于实际中的应力（强 度）受到确定性因素和不确定性因素的共同作用确 定性因素反映了应力（强度）的变化趋势不确定性 因素反映了应力（强度）的随机差异二者的耦合行 为对应力（强度）产生的效应以概率演化出现因此 本文假设应力和强度服从式（1）即 σ（ t）和 S（ t）满 足： dσ（ t）＝λσσ（ t）d t＋δσσ（ t）d W（ t）0≤t≤ T （11） d S（ t）＝λSS（ t）d t＋δSS（ t）d W（ t）0≤t≤ T （12） 式中系数 λσ 为应力的漂移率λS 为强度的漂移 率δσ为应力的波动率δS 为强度的波动率． 由式（6）知： σ（ t）＝σ（0）exp λσ－ 1 2 δ2 σ t＋δσW（ t） （13） S（ t）＝S（0）exp λS－ 1 2 δ2 S t＋δSW（ t） （14） 因此 ln S（ t）是一个正态分布： ln S（ t）～ N ln S（0）＋ λS－ 1 2 δ2 S tδS t （15） ln S（ t）的均值和方差分别是： μ＾ln S（ t）＝ln S（0）＋ λS－ 1 2 δ2 S tσ＾ln S（ t）＝δS t． lnσ（ t）也是一个正态分布： ln（σ（ t））～ N ln（σ（0））＋ λσ－ 1 2 δ2 σ tδσ t （16） lnσ（ t）的均值和方差分别是： μ＾lnσ（ t）＝lnσ（0）＋ λσ－ 1 2 δ2 σ tσ＾lnσ（ t）＝δσ t． 令 ZR＝ln S－lnσ由于机构的可靠度可以用以下概 率表示： R＝P（ZR＞0）R（ t）＝P（ZR（ t）＞0） 故 第9期 石博强等： 时变不确定性机械设计方法 ·1051·
.1052 北京科技大学学报 第30卷 R(t)=P(InS(t)-In(t)>0)= 的关系 P(InS(t)Ino(t)). 由于可靠度是R(t)己知，由式(23)可得ZR(), 由于lnS(t)和n(t)相互独立，且分别服从正 又 态分布，故Z()=lnS(t)一ln(t)也服从正态分 Asw-A0=-Z0元s0十流， 布，其均值为： Z.()=ins)-n(0 (17) 其中ns=t,y=8nt,故“go-“so可 以求出.由式(15)和(16)可知： 标准差为： Rnse-lnS(0)十 (18) ZR的概率密度函数是： Aa)=ln(0)十 -(ZR() 3 因而 9(ZR()= J2r620 exp Rins0一in0= (19) 其中： ZR()=InS(t)-In a(t). 令 lnS(0)-ln(0)= ZR(DPZRCO (20) (w-w+-= 变量ZR的极限是：当ZR()=∞， ZR0一PZ=2 = O一P2n二o∞； 故 10 In s(0 当ZR(=0, L(0) ZR)一PZa= 0一PZ 一P20: [时-{x 一Bd,故可靠度 5(0)-ex) 6(0) 令Z4)一20 (24) R(t)=P(ZR()>0)=P(InS(t)-Ina(t)>0)= 式中，入人和：均已知，故得可以求出， (21) 这样便可以选择不同的材料或者材料尺寸对零件进 由式(18)和式(17)得： 行设计· Za(= 一PZ- Bnsw-凸nan (22) 3参数的确定方法 漂移率入反映确定性因素对应力（强度）变化 可靠度 率的影响权重，波动率δ反映不确定性因素对应力 R(t)=(一Za() (23) (强度)变化率的影响权重，由于未来的漂移率和波 其中①(ZR(o)为变量ZR(的分布函数： 动率还未发生，无法直接得到，因而入和δ则以历史 1 e节du 上受到随机因素影响时的漂移率和波动率作为未来 漂移率和波动率的合理参考值， 2设计方法 3.1漂移率的计算 X在相同的时间间隔点（例如天、周或年）所得 假设对零件的要求是1a以后的可靠度是 到的观测值，漂移率： R(t),应力和强度是独立的随机变量，己知（入，ò，） 和（入，⑧），可以求出设计参数R(0)与S(0)之间 (25)
R（ t）＝P（ln S（ t）－lnσ（ t）＞0）＝ P（ln S（ t）＞lnσ（ t））． 由于 ln S（ t）和 lnσ（ t）相互独立且分别服从正 态分布故 ZR（ t）＝ln S （ t）－lnσ（ t）也服从正态分 布其均值为： μ＾ZR （ t）＝μ＾ln S（ t）－μ＾lnσ（ t） （17） 标准差为： σ＾ZR（ t）＝ σ＾ 2 ln S（ t）＋σ＾ 2 lnσ（ t）． （18） ZR 的概率密度函数是： φ（ZR（ t））＝ 1 2πσ＾ZR（ t） exp －（ZR（ t）－μ＾ZR（ t） ） 2 2σ＾ 2 ZR（ t） （19） 其中： ZR（ t）＝ln S（ t）－lnσ（ t）． 令 v＝ ZR（ t）－μ＾ZR（ t） σ＾ZR（ t） （20） 变量 ZR（ t）的极限是：当 ZR（ t）＝∞ ν＝ ZR（ t）－μ＾ZR（ t） σ＾ZR（ t） ＝ ∞－μ＾ZR（ t） σ＾ZR（ t） ＝∞； 当 ZR（ t）＝0 ν＝ ZR（ t）－μ＾ZR（ t） σ＾ZR（ t） ＝ 0－μ＾ZR（ t） σ＾ZR（ t） ＝ －μ＾ZR（ t） σ＾ZR（ t） ； 令 Zα（ t）＝ －μ＾ZR（ t） σ＾ZR（0） 故可靠度 R（ t）＝P（ZR（ t）＞0）＝P（ln S（ t）－lnσ（ t）＞0）＝ ∫ ∞ 0 φ（ZR（ t））d z ＝ 1 2π∫ ∞ Zα（ t） e － ν 2 2dν （21） 由式（18）和式（17）得： Zα（ t）＝ －μ＾ZR（ t） σ＾ZR（ t） － μ＾ln S（ t）－μ＾lnσ（ t） σ＾ 2 ln S（ t）＋σ＾ 2 lnσ（ t） （22） 可靠度 R（ t）＝Φ（－Zα（ t）） （23） 其中 Φ（ZR（ t））为变量 ZR（ t）的分布函数： Φ（Z）＝ 1 2π∫ Z －∞ e － u 2 2d u． 2 设计方法 假设对零件的要求是 1a 以后的可靠度是 R（ t）应力和强度是独立的随机变量已知（λσδσ） 和（λSδS）可以求出设计参数 R（0）与 S （0）之间 的关系． 由于可靠度是 R（ t）已知由式（23）可得 ZR（ t） 又 μ＾ln S（ t）－μ＾lnσ（ t）＝－Zα（ t） σ＾2 ln S（ t）＋σ＾2 lnσ（ t） 其中σ＾ln S（ t）＝δS tσ＾lnσ（ t）＝δσ t故 μR（ t）－μS（ t）可 以求出．由式（15）和（16）可知： μ＾ln S（ t）＝ln S（0）＋ λS－ 1 2 δ2 S t μ＾lnσ（ t）＝lnσ（0）＋ λσ－ 1 2 δ2 σ t． 因而 μ＾ln S（ t）－μ＾lnσ（ t）＝ lnS（0）＋ λS－ 1 2 δ2 S t － lnσ（0）＋ λσ－ 1 2 δ2 σ t ＝ （lnS（0）－lnσ（0））－ λS－ 1 2 δ2 S － λσ－ 1 2 δ2 σ t ln S（0）－lnσ（0）＝ （μln S（ t）－μlnσ（ t）＋ λS－ 1 2 δ2 S － λσ－ 1 2 δ2 σ t＝ －Zα（t） σ＾2 lnS（t）＋σ＾2 lnσ（t）＋ λS－ 1 2 δ2 S － λσ－ 1 2 δ2 σ t． 故 ln S（0） σ（0） ＝－Zα（ t） σ＾ 2 ln S（ t）＋σ＾ 2 lnσ（ t）＋ λS－ 1 2 δ2 S － λσ－ 1 2 δ2 σ t S（0） σ（0） ＝exp －Zα（ t） σ＾ 2 ln S（ t）＋σ＾ 2 lnσ（ t）＋ λS－ 1 2 δ2 S － λσ－ 1 2 δ2 σ t （24） 式中λσ、δσ、λS、δS 和 t 均已知故 S（0） σ（0） 可以求出 这样便可以选择不同的材料或者材料尺寸对零件进 行设计． 3 参数的确定方法 漂移率 λ反映确定性因素对应力（强度）变化 率的影响权重波动率 δ反映不确定性因素对应力 （强度）变化率的影响权重．由于未来的漂移率和波 动率还未发生无法直接得到因而λ和δ则以历史 上受到随机因素影响时的漂移率和波动率作为未来 漂移率和波动率的合理参考值． 3∙1 漂移率 λ的计算 X 在相同的时间间隔点（例如天、周或年）所得 到的观测值漂移率： λ＝q＝ 1 n ∑ln Xj Xj－1 （25） ·1052· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第9期 石博强等：时变不确定性机械设计方法 ,1053 式中，X为第j个观测时间点的值(j=1,,n, 图3所示，该历史观测数据由软件Labview随机产 n十1，观测次数为n十1次)· 生，假设观测的时间间隔以天为单位，设计使用寿命 3.2波动率δ的计算 为1a,求可靠度分别为R(t)=0.995和R(t)= 令q:=lnX-1 ,=1,2,…,n,9是g:的平均 0.95,所使用材料的强度在零时刻S(0)=500MPa 时，求受拉圆轴的设计半径r, 值，则 515 6= Nn-1(9-) 1 s05 即， 495 M邮Ww 485 (26) 47520395879615134153172191 4 两种特殊情况 时间d (1)当⑧s=6,=0时，应力（强度）变化率仅受 图2强度的历史数据 Fig.2 History data of strength 到确定性因素的影响 因为应力和强度都服从 230 225 dx(t)=xx(t)dt+8x(t)dw(t), 220 故 210 dx(t)=Ax(t)dt,X(t)=X(0)exp 根据设计零件零时刻的强度R(O)和应力S(O) 195 的关系为沿二8p(入-)，便可以选择 190 185 23456789111133155177199 不同的材料或者材料尺寸对零件进行设计 时间d (2)当入=入，=0时，应力（强度）变化率仅受 图3应力的历史数据 到不确定性因素的影响 Fig.3 History data of stress dx(t)=8x(t)dw(t), s(0)=exp 根据历史数据，由式(25)和(26)可得： (0) 一Zo()s()十o 入=-0.00021042265615， 入，=0.00018921403584， 8,=0.008338983708,6,=0.017688311331. 由式(23)可知R(t)=0.995时，Z)=Z(365)= 根据设计零件零时刻的强度R(O)和应力S(0) -2.575 的关系，便可以选择不同的材料或者材料尺寸对零 由式(24)可知 件进行设计. S9=e0.8606=2.3645, (0) 5算例 08器器-9 S(0) πr2 考虑一受拉圆轴（图1），假设应力在轴的横截 解得r=17.3555mm.即当r=17.3555mm能够 面上均匀分布，轴线为直线，随机载荷作用在截面中 满足零件的可靠度在1a后为0.995的要求. 心，破坏定为断裂.设计准则为R(t)=P(nS(t)一 同理，当R(t)=0.95时，Z0=Za(365)= Inc()>0) 1.645. 强度和应力的200个历史观测数据如图2和 F S0=e0.5181=1.6705, σ(0) 0=8-1.059 500_=E(0)=200000 图1受拉轴 π2 Fig.I Tensional bar 解得r=14.5878mm.即当r=14.5878mm时，能
式中Xj 为第 j 个观测时间点的值（ j ＝1…n n＋1观测次数为 n＋1次）． 3∙2 波动率 δ的计算 令 qi＝ln Xj Xj－1 i＝12…nq 是 qi 的平均 值则 δ＝ 1 n －1∑ n i＝1 （ qi － q） 2 ． 即 δ＝ ∑ n i＝1 （ qi － q） 2 n －1 （26） 4 两种特殊情况 （1） 当 δS＝δσ＝0时应力（强度）变化率仅受 到确定性因素的影响． 因为应力和强度都服从 d X（ t）＝λX（ t）d t＋δX（ t）d W（ t） 故 d X（ t）＝λX（ t）d tX（ t）＝X（0）expλt． 根据设计零件零时刻的强度 R（0）和应力 S（0） 的关系为 S（ t） σ（ t） ＝ S（0） σ（0） exp（λS －λσ） t便可以选择 不同的材料或者材料尺寸对零件进行设计． （2） 当 λS＝λσ＝0时应力（强度）变化率仅受 到不确定性因素的影响． d X（ t）＝δX（ t）d W（ t） S（0） σ（0） ＝exp －Zα（ t） σ＾ 2 ln S（ t）＋σ＾ 2 lnσ（ t）＋ 0－ 1 2 δ2 S － 0－ 1 2 δ2 σ t ＝ exp －Zα（ t） σ＾ 2 ln S（ t）＋σ＾ 2 lnσ（ t）＋ 1 2 δ2 σ－ 1 2 δ2 S t ． 根据设计零件零时刻的强度 R（0）和应力 S（0） 的关系便可以选择不同的材料或者材料尺寸对零 件进行设计． 图1 受拉轴 Fig．1 Tensional bar 5 算例 考虑一受拉圆轴（图1）假设应力在轴的横截 面上均匀分布轴线为直线随机载荷作用在截面中 心破坏定为断裂．设计准则为 R（ t）＝P（ln S（ t）－ lnσ（ t）＞0）． 强度和应力的200个历史观测数据如图2和 图3所示该历史观测数据由软件 Labview 随机产 生假设观测的时间间隔以天为单位设计使用寿命 为1a求可靠度分别为 R（ t）＝0∙995和 R （ t）＝ 0∙95所使用材料的强度在零时刻 S（0）＝500MPa 时求受拉圆轴的设计半径 r． 图2 强度的历史数据 Fig．2 History data of strength 图3 应力的历史数据 Fig．3 History data of stress 根据历史数据由式（25）和（26）可得： λs＝－0∙00021042265615 λσ＝0∙00018921403584 δs＝0∙008338983708δσ＝0∙017688311331． 由式（23）可知 R （ t）＝0∙995时Zα（ t） ＝ Zα（365） ＝ －2∙575． 由式（24）可知 S（0） σ（0） ＝e 0∙8606＝2∙3645 σ（0）＝ S（0） 2∙3645 ＝ 500 2∙3645 ＝ F（0） πr 2 ＝ 200000 πr 2 ． 解得 r＝17∙3555mm．即当 r＝17∙3555mm 能够 满足零件的可靠度在1a 后为0∙995的要求． 同理当 R （ t ） ＝0∙95 时Zα（ t） ＝ Zα（365） ＝ 1∙645． S（0） σ（0） ＝e 0∙5131＝1∙6705 σ（0）＝ S（0） 1∙6705 ＝ 500 1∙6705 ＝ F（0） πr 2 ＝ 200000 πr 2 ． 解得 r＝14∙5878mm．即当 r＝14∙5878mm 时能 第9期 石博强等： 时变不确定性机械设计方法 ·1053·
,1054 北京科技大学学报 第30卷 够满足零件的可靠度在1a后为0.95的要求 chines:A Failure Prevention Perspective.New York:John Wi- lcy,2003 6结论 [5]Haugen E B.Probabilistic Mechanical Design.New York:Wi- ley,1980 基于时变可靠度计算模型，提出了时变不确定 [6]Wehenkel L,Lebrevelec C.Trotignon M,et al.Application of 性机械设计方法，与传统机械设计方法相比，该不 probabilistic design method to thermal performance design for 确定性机械设计方法体现了时变的特点，与零件在 straight hlade stages of steam turbines.Control Eng Pract. 使用中强度和应力是随时间的演化过程相一致，是 1999,7(2):183 一种动态的机械设计方法，该方法的特色在于：(1) [7]Fujisaki Y.Dabbene F,Tempo R.Probabilistic design of LPV control systems.Automatica.2003.39(8):1323 考虑了不确定因素的影响：(2)考虑了强度和应力随 [8]Shi J Y.Application of probabilistic design method to thermal 时间的演化过程 performance design for straight blade stages of steam turbines. Proe CSEE,1999,19(2):20 参考文献 (史进渊.概率设计法在汽轮机直叶片级热力设计中的应用 [1]Mocko G M,Paasch R.Incorporating uncertainty in diagnostic 中国电机工程学报，1999,19(2)：20) analysis of mechanical systems.ASME J Mech Des,2005,127 [9]Wen Y K.Reliability-based design under multiple loads.Struct (2):315 saf,1993,13(1/2):3 [2]Marti K.Kaym I.Reliability analysis for elastoplastic mechani- [10]Wehenkel L.Lebrevelec C,Trotignon M,et al.Probabilistic cal structures under stochastic uncertainty.Z A ngew Math Mech, design of power system special stability controls.Control Eng 2006,86(5):358 Pract,1999,7(2):183 [3]Tonon F.Using random set theory to propagate epistemic uncer- [11]Ravindra M K.Walser A.Probabilistic design of nuclear strue tainty through a mechanical system.Reliab Eng Syst Saf,2004. tures:a summary of state of the art and research needs.Nucl 85(1/3):169 Eng Des,.1978,50(1):115 [4]Collins JA.Mechanical Design of Machine Elements and Ma
够满足零件的可靠度在1a 后为0∙95的要求． 6 结论 基于时变可靠度计算模型提出了时变不确定 性机械设计方法．与传统机械设计方法相比该不 确定性机械设计方法体现了时变的特点与零件在 使用中强度和应力是随时间的演化过程相一致是 一种动态的机械设计方法．该方法的特色在于：（1） 考虑了不确定因素的影响；（2）考虑了强度和应力随 时间的演化过程． 参 考 文 献 ［1］ Mocko G MPaasch R．Incorporating uncertainty in diagnostic analysis of mechanical systems．ASME J Mech Des2005127 （2）：315 ［2］ Marti KKaymaz I．Reliability analysis for elastoplastic mechanical structures under stochastic uncertainty．Z A ngew Math Mech 200686（5）：358 ［3］ Tonon F．Using random set theory to propagate epistemic uncertainty through a mechanical system．Reliab Eng Syst Saf2004 85（1／3）：169 ［4］ Collins J A．Mechanical Design of Machine Elements and Machines：A Failure Prevention Perspective．New York：John Wiley2003 ［5］ Haugen E B．Probabilistic Mechanical Design．New York：Wiley1980 ［6］ Wehenkel LLebrevelec CTrotignon Met al．Application of probabilistic design method to thermal performance design for straight blade stages of steam turbines． Control Eng Pract 19997（2）：183 ［7］ Fujisaki YDabbene FTempo R．Probabilistic design of LPV control systems．A utomatica200339（8）：1323 ［8］ Shi J Y．Application of probabilistic design method to thermal performance design for straight blade stages of steam turbines． Proc CSEE199919（2）：20 （史进渊．概率设计法在汽轮机直叶片级热力设计中的应用． 中国电机工程学报199919（2）：20） ［9］ Wen Y K．Reliability-based design under multiple loads．Struct Saf199313（1／2）：3 ［10］ Wehenkel LLebrevelec CTrotignon Met al．Probabilistic design of power-system special stability controls．Control Eng Pract19997（2）：183 ［11］ Ravindra M KWalser A．Probabilistic design of nuclear structures：a summary of state of the art and research needs．Nucl Eng Des197850（1）：115 ·1054· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
