§4.2泰勒( Taylor)级数 一元函数 f(x)在x的某邻域内有任意阶导数 R、(x2=f(x)-∑x(x-xy→0(N→) 则f(x)在该邻域内可展开成 Taylor级数 f(x)= Ro ! 解析函数的泰勒级数展开式 定理。fa)在D|--0kR内解析,则 f()=∑Cn(=-=0) 其中C=f"(a 若C为|二-二0kR内绕二0的正向简单闭曲线,则 C,=2fo f(5 且展开式唯 引理。设s(z)和∫(=)(k=0,1,2…)在区域D内连续,C为D内任意有向简单曲线,长 为L,且当z∈D时,有 s(z)=∑f() 若存在收敛的正向级数∑4,使 1f()|∑[f()d 证:因∑A收敛,故N→∞时, Ak=ANl+A§4.2 泰勒（Taylor）级数 一元函数 f(x)在 0 x 的某邻域内有任意阶导数。 ( ) 0 ( ) ! ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ( ) = − − → →  = x x N n f x R x f x N n n n N 则 f(x)在该邻域内可展开成 Taylor 级数 = = − N n n n x x n f x f x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 解析函数的泰勒级数展开式 定理。f(z)在 D: | z − z0 | R 内解析，则 = = − N n n n f z C z z 0 0 ( ) ( ) 其中 ! ( ) 0 ( ) n f z C n n = 若 C 为 | z − z0 | R 内绕 0 z 的正向简单闭曲线，则  + − = n i C n d z f C     1 0 2 1 ( ) ( ) 且展开式唯一 引理。设 s(z)和 f (z) (k = 0,1,2, ) k 在区域 D 内连续，C 为 D 内任意有向简单曲线，长 为 L,且当 z  D 时，有   = = 0 ( ) ( ) k k s z f z 若存在收敛的正向级数   k=0 Ak ，使   =  0 | ( ) | ( ) k C f k z f k z dz 证：因   k=0 Ak 收敛，故 N → 时， 1 2 0 1 = = + + + + →  = +  N N  k n RN Ak A A