球面坐标系: V·F()=(rF)+ (sin 8Fe)+ rsin a0 rsin0 a 任意正交坐标系 V·F(F)= (F1h2h2)+-(F2hh)+-(F3h1h2)] h, h,h3 四、散度定理(矢量场的高斯定理) V·F()h=F()·d 矢量场F(F)的散度在体积Ⅴ内的积分等于矢量场穿过包围该体积的边界 面S的通量。 应用:将一个封闭面积分变换成等价的体积分,或反之。(第二次课完227) 例:矢量场的散度与坐标的选择无关。 矢量场A(F)=F,计算A(F)穿过一个球心在原点,半径为a的球面的通量; 并计算此矢量场的散度·r(F) 解:A(r)}=F=,x()+,y()+e2(F)位置矢量场表示空间任何一点处矢量场 的大小和方向与该点的位置矢量F成比例, 其中x()=A,(),y(F)=4,(F),()=A()表示F=F处矢量场的三个分量分 别为x,y,z。 取球坐标,F()=Er,r=a的球面上各点的矢量为r(a)=,a,其大小处处 相等,而球面上的面元矢量d=e,ds,所以 通量f(a)5=5as)==4m 散度1)直角坐标 V·F(F) ·(ex+ey+e=) ax ay az 2)球坐标 V·F()=-(r2r)=2(r3)= 即矢量场的散度与坐标的选择无关。球面坐标系：          +   +    • = F r F r r F r r F r r sin 1 (sin ) sin 1 ( ) 1 ( ) 2 2   任意正交坐标系：  ( ) ( ) ( )  1 ( ) 3 1 2 3 2 1 3 2 1 2 3 1 2 3 1 F h h q F h h q F h h h h h q F r   +   +    • =   四、 散度定理（矢量场的高斯定理） F r dv F r ds v s      • = •   ( ) ( ) 矢量场 F(r)   的散度在体积 V 内的积分等于矢量场穿过包围该体积的边界 面 S 的通量。 应用：将一个封闭面积分变换成等价的体积分，或反之。（第二次课完 2.27） 例：矢量场的散度与坐标的选择无关。 矢量场 A r r    ( ) = ，计算 A(r)   穿过一个球心在原点，半径为 a 的球面的通量; 并计算此矢量场的散度 r(r)    • 。 解： A(r) r e ˆ x(r) e ˆ y(r) e ˆ (r) x y z       = = + + 位置矢量场,表示空间任何一点处矢量场 的大小和方向与该点的位置矢量 r  成比例， 其中 x(r) A (r), y(r) A (r),z(r) A (r) x y z       = = = 表示 r r   = 处矢量场的三个分量分 别为 x, y,z 。 取球坐标， r r e r r a ( ) = ˆ r , =   的球面上各点的矢量为 r a e ar ( ) = ˆ  ，其大小处处 相等，而球面上的面元矢量 ds e ds r = ˆ  ，所以 通量 r a ds ads e e a ds a s r r s s ( ) = (ˆ • ˆ ) = = 4      y 散度 1)直角坐标 x 3 ( ) ˆ ˆ ˆ (ˆ ˆ ˆ ) =   +   +   = • + +           +   +    • = z z y y x x e x e y e z z e y e x r r ex y z x y z   2）球坐标 ( ) 3 1 ( ) 1 ( ) 3 2 2 =   =    • = r r r r r r r r r   即 矢量场的散度与坐标的选择无关