湖北民族大学：《电磁场与电磁波》课程电子教案（第四版）第一章 矢量分析

电磁场与电磁波(第四版)教案 第一章矢量分析 主要内容 矢量分析基础 2、矢量场的散度 3、矢量场的旋度 4、标量场的梯度 5、亥姆霍兹定理 1、1矢量分析与场论基础 、矢量与矢量场 标量与矢量 标量:只有大小、没有方向的物理量(如温度、高度等),用它的大小就能 完整地描述物理量 矢量:既有大小、又有方向的物理量(如力、电场强度等) 2、矢量的表示方式 (1)数学表示 模值,表征矢量的大小(0,∞) 单位矢量,表征矢量的方向,大小为 (2)图形表示:带有箭头的线段,线段的长度=4, 箭头表示A的方向 空矢(零矢):唯一不能用箭头表示的矢量 3、标量场与矢量场 场概念的引入:物理量(如温度、电场、磁场等)在空间以某种形式分布,若 每一时刻每个位置该物理量都有一个确定的值(v(,n)或F(F,1)),则称在该 空间中确定了该物理量的场 场的属性:占有一个空间,v(F,n)或F(F,1)在该空间区域内处处连续(除有限 点或表面外)。 场的分类 按物理量的性质

电磁场与电磁波（第四版）教案 第一章 矢量分析 主要内容 1、矢量分析基础 2、矢量场的散度 3、矢量场的旋度 4、标量场的梯度 5、亥姆霍兹定理 1、1 矢量分析与场论基础 一、 矢量与矢量场 1、标量与矢量 标量：只有大小、没有方向的物理量（如温度、高度等），用它的大小就能 完整地描述物理量 矢量：既有大小、又有方向的物理量（如力、电场强度等） 2、矢量的表示方式 （1） 数学表示 n A = Ae ˆ  ˆ 1 0 单位矢量，表征矢量的方向，大小为 模值，表征矢量的大小（ ， ） A A e A n   =  （2）图形表示：带有箭头的线段，线段的长度 = A ， A  箭头表示 A  的方向 空矢（零矢）：唯一不能用箭头表示的矢量。 3、标量场与矢量场 场概念的引入：物理量（如温度、电场、磁场等）在空间以某种形式分布，若 每一时刻每个位置该物理量都有一个确定的值（ (r,t)或F（r,t）     ），则称在该 空间中确定了该物理量的场。 场的属性：占有一个空间， (r,t)或F（r,t）     在该空间区域内处处连续（除有限 点或表面外）。 场的分类： 按物理量的性质

标量场,物理量为标量,即每点单纯用一个代数量表示v(F,t) 矢量场,物理量为矢量,F(F,1) 按物理量变化特性静态场,物理量不随时间的变化而变化v(F) 时变场,物理量随时间的变化而变化 矢量的运算(以直角坐标系为例) A=e41+,4 B=e,B+e, B, +e B. 矢量的加、减法 说明:(1)矢量的加法符合交换律和结合律 AtB=B+A, A+(B+C)=(A+B)+C (2)矢量的加法和减法可用平行四边形法则求解 a+B 2、矢量的乘法 (1)矢量与标量相乘 k=,A1+,,+已kA1=回 k>0,kA与A同向 1k<0与反向 (2)矢量与矢量点乘 A·B=列Bsb1=A,B1+A,B,+AB θ=0,A·B=AB最大值A与B平行 A·B=0 B A在B上的投影 ACOS BAR B 点积 说明:a、两个矢量的点积为标量 b、矢量的点积符合交换律和分配律 A·B=B·AA·(B+C)=A·B+A·C

, ( , ) r t F r t     标量场，物理量为标量，即每点单纯用一个代数量表示 （ ） 矢量场，物理量为矢量， 按物理量变化特性    时变场，物理量随时间的变化而变化 静态场，物理量不随时间的变化而变化 （r）   二、矢量的运算 （以直角坐标系为例） x x y y z z x x y y zBz A = e ˆ A + e ˆ A + e ˆ A B = e ˆ B + e ˆ B + e ˆ   1、矢量的加、减法 说明：（1）矢量的加法符合交换律和结合律 A B B A A B C A B C            = + , + ( + ) = ( + ) + （2）矢量的加法和减法可用平行四边形法则求解 A  A B   + B  B  A B   − A  2、矢量的乘法 （1） 矢量与标量相乘 kA ex k Ax ey k Ay ez k Az eA k A    = ˆ + ˆ + ˆ =       与 反向 与 同向 k kA A k kA A     0, 0, （2） 矢量与矢量点乘 A B = A B AB = AxBx + AyBy + AzBz • cos     A B A AB A B A B A B AB A B     cos 0 2 0, 在 上的投影 ， 最大值 与 平行           = • = ⊥ = • = A  B  点积 说明：a、两个矢量的点积为标量 b、矢量的点积符合交换律和分配律 A B B A A B C A B A C            • = • • ( + ) = • + •

(3)矢量与矢量叉乘(矢量积) AxB=e,ABsin 04B=A, A, A BB B =e2(A,B-AB,)+e,(AB-AB2)+e(4,B,-A,B) 说明:a、两个矢量的叉积为矢量 b、矢量的叉乘不符和交换律,但符合分配律 AxB≠B×AA×(B+C)=A×B+A×C A×B=-B×A c、|×B=平行四边形面积,方向:垂直于A、B所在的平面 d、矢量运算恒等式 A·(B×C)=B·(C×A)=C·(AxB)三重标量积 Ax(B×C)=B(A·C)-C(A·B)三重矢量积 三、常用正交坐标系 1、直角坐标系(略讲) 基本变量:x,y,z(-,∞) 单位矢量:x,,x,=e2,,x2=12x1=E 个e,、,、2分别代表x、y、z增加的方向,相互垂直且满足右手螺旋法则 矢量表示:A=eA2+e,A,+e:A2 位置矢量:F=1x+e,y+e:z 微分长度元:d=e,x+e,d+eh 面元:d=d,d,=ddh,d:=dy 体元 dv= dxdydz 拉梅系数:各方向的微分元与各自坐标的微分之比 h2 1,h=的 1,h d x 矢量运算:(见前)

（3） 矢量与矢量叉乘（矢量积） ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ sin x y z z y y z x x z z x y y x x y z x y z x y z n AB e A B A B e A B A B e A B A B B B B A A A e e e A B e AB = − + − + −            =  =   说明：a、两个矢量的叉积为矢量 b、矢量的叉乘不符和交换律，但符合分配律 A B B A A B B A A B C A B A C                 = −      ( + ) =  +  c、 A B =   平行四边形面积，方向：垂直于 A B   、 所在的平面 d、矢量运算恒等式 三重矢量积 三重标量积 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C B A C C A B A B C B C A C A B                     = • − • •  = •  = •  三、 常用正交坐标系 1、直角坐标系（略讲） 基本变量： x y z , , (−,) 单位矢量： ˆ , , , , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y z x y z y z x z x y e e e e e e e e e e e e  =  =  = x y z  e ˆ 、e ˆ 、e ˆ 分别代表 x、y、z 增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则 矢量表示： x x y y z Az A = e ˆ A + e ˆ A + e ˆ  位置矢量： r e x e y e z x y z = ˆ + ˆ + ˆ  微分长度元： dr e dx e dy e dz x y z = ˆ + ˆ + ˆ  面元： ds dydz ds dxdz ds dxdy x = , y = , z = 体元： dv = dxdydz 拉梅系数：各方向的微分元与各自坐标的微分之比 = =1, = =1, = =1 dz dz h dy dy h dx dx hx y z 矢量运算：（见前）

2、圆柱坐标系 基本变量:p,φ,z0≤p<∞,0≤φ≤2x, 00<2<00 单位矢量:已。,已:=x日=xe=已x ↑en、C2分别代表p、二增加的方向,相互垂直且满足右手螺旋法则 矢量表示:A=nA2+4+242 位置矢量:F=enP+2二 微分长度元:d=de2p)+d(e:=)=bn+l+e 面元 ds,=Addd, ds=dAd=, ds=pdpdo 体元 拉梅系数:b2=如=1=B=ph=2=1(第一次课完25 dp 说明:(1)圆柱坐标系与直角坐标系的变换关系 x=pcos p,y=psi , 3 =ex cosp+ey sin p,e =-er sn p+e cosp,e=e. 由于E。、不是常矢量,与φ有关,可得 -er cos p sn=-ee (2)圆柱坐标系下矢量运算 A=epA +e,A +e A. B=e, B +e,B,+e, B A±B=en(A,±B,)+e4(4±B)+e:(A±B) A·B=A,Bn+AB.+A2B A×B=A A B e, (A,Bz-A B0)+e(ABe-A. B)+e(A, Be-A.Be) 3、球面坐标系

2、圆柱坐标系 基本变量：  , ,z 0    , 0    2 , −  z   单位矢量：         e e e e e e e e e e e e z z z z ˆ , ˆ , ˆ ˆ = ˆ  ˆ ˆ = ˆ  ˆ ˆ = ˆ  ˆ z e ˆ 、e ˆ 、e ˆ    分别代表 、、z 增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则 矢量表示： z Az A = e ˆ A + e ˆ A + e ˆ      位置矢量： r e e zz = ˆ  + ˆ   微分长度元： dr d e d e z e d e d e dz z z = (ˆ ) + (ˆ ) = ˆ  + ˆ   + ˆ     面元： ds = ddz,ds = ddz,dsz = dd 体元： dv = dddz 拉梅系数： = = 1, = = , = = 1 dz dz h d d h d d h  z        （第一次课完 2.25） 说明：（1）圆柱坐标系与直角坐标系的变换关系 x y x y z z e e e e e e e e x y z z ˆ ˆ cos ˆ sin , ˆ ˆ sin ˆ cos , ˆ ˆ cos , sin , = + = − + = = = =           由于   e ˆ 、e ˆ 不是常矢量，与  有关，可得           e e e e e e e e x y x y ˆ cos ˆ sin ˆ ˆ ˆ sin ˆ cos ˆ ˆ = − − = −   = − + =   （2）圆柱坐标系下矢量运算 z z zBz A = e ˆ A + e ˆ A + e ˆ A B = e ˆ B + e ˆ B + e ˆ           z z z z z A B A B A B A B A B e A B e A B e A B • = + +  =  +  +                ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ                 e A B A B e A B A B e A B A B B B B A A A e e e A B Z z z z z z z z = − + − + −            =   3、球面坐标系

基本变量:r,6,90≤r<∞,0≤0≤x,0≤9≤2 单位矢量: 矢量表示:A=eA+0A+。A 位置矢量:F=re 微分长度元:d=d(,)=edr+rle,=e,h+ erde+ e rsin adq 面元 ds,=r sin adado, dsp =rsin drdo, ds, = rdrde 体元 dv=rsin Adrdedo 拉梅系数:b,=1b=P,b。=rSnb 说明:(1)球面坐标系与直角坐标系的变换关系 x=rsin coso, y=rsin sin ==rcos 8 e, =e sin 6sn +e sin Osin +e cos 6 eg=e, cos 8 cos o+e, cos esin -e sin 8 e=-e sin +e cos0 e =e 由于E,、e、E不是常矢量,与、g有关,可得 e sin e 0 Co-e, sn e-e, cos 6 (2)球面坐标系下矢量运算 A=e, A +egAo +eo, B=e, B,+eeBo+e Bo A±B=e,(A±B,)+e(A±B)+e(A±B。) B= A B+AgBe+A B A×B A BB. B e, (ABe-A, Be)+eo(A, B-A, B)+e,(A, Be-AgBr)

基本变量： r , , 0  r  , 0    , 0   2 单位矢量：         e e e e e e e e e e e e r r r r ˆ , ˆ , ˆ ˆ = ˆ  ˆ ˆ = ˆ  ˆ ˆ = ˆ  ˆ 矢量表示：   A A e A e A e r r = ˆ + ˆ + ˆ  位置矢量： r r = re ˆ  微分长度元： dr = d(re ˆ r ) = e ˆ rdr + rde ˆ r = e ˆ rdr + e ˆ  rd + e ˆ  rsin d  面元： dsr = r sin dd,ds = rsin drd,ds = rdrd 2 体元： dv r sin drdd 2 = 拉梅系数： hr = 1,h = r,h = rsin  说明：（1）球面坐标系与直角坐标系的变换关系 z z x y x y z r x y z e e e e e e e e e e e e e x r y r z r ˆ ˆ ˆ ˆ sin ˆ cos ˆ ˆ cos cos ˆ cos sin ˆ sin ˆ ˆ sin sin ˆ sin sin ˆ cos sin cos , sin sin , cos = = − + = + − = + + = = =                    由于   e e e r ˆ 、 ˆ 、 ˆ 不是常矢量，与 、 有关，可得                   ˆ sin ˆ cos ˆ 0 ˆ ˆ cos ˆ ˆ ˆ ˆ sin ˆ ˆ ˆ e e e e e e e e e e e e r r r r = − −   =   =   = −   =   =   （2）球面坐标系下矢量运算       B A e A e A e A B e B e B e r r r r = ˆ + ˆ + ˆ = ˆ + ˆ + ˆ             A B A B A B A B A B e A B e A B e A B r r r r r • = + +  =  +  +      ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ r r r r r r r r e A B A B e A B A B e A B A B B B B A A A e e e A B                 = − + − + −            =  

12标量场的梯度 等值面(线) 1、由场值相等的点构成的面(线),即为等值面(线),等位面、等高线等 即若标量函数为u=u(x,y,=),则等值面方程为 2、特点:标量场中有无穷多个互不相交的等值面。 1)等值面族--常数C可取不同值 2)等值面族充满场所在的空间 3)等值面互不相交一-函数是单值的 二、方向导数 在实际应用中,不仅需要宏观上了解场在空间的数值,还要知道在不同 方向上场变化的情况。方向导数表征标量场空间中,某点处场沿各个方向变 化的规律。 取等位面u和u+△n如图 l(M)-(M) Z+△Z 定义 意义 >0标量场a在M处沿l方向增加率 al <0标量场u在M处沿l方向减小率 0场u在M处沿l方向为等值面方向(无改变)。 4、计算: Ou dy au dz dl 直角坐标系 ∩∩ cosa cos B cosy←--l方向的方向余旋 三、梯度 1、定义 h(x,y,2) al e1为场量u变化率最大的方向上的单位矢量。由方向导数的定义可知,沿等

1.2 标量场的梯度 一、等值面（线） 1、由场值相等的点构成的面（线），即为等值面（线），等位面、等高线等 即若标量函数为 u = u(x, y,z) ，则等值面方程为 2、特点：标量场中有无穷多个互不相交的等值面。      − − − − ）等值面互不相交 函数 是单值的 ）等值面族充满场所在的空间 等值面族 常数 可取不同值 u C 3 2 1) 二、方向导数 在实际应用中，不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还要知道在不同 方向上场变化的情况。方向导数表征标量场空间中，某点处场沿各个方向变 化的规律。 取等位面 u 和 u u + 如图， 1、定义： l u M u M lin l u l M  − =    → ( ) ( ) 0 0 0 2、意义： 0 0    l M u 标量场 u 在 M0 处沿 l 方向增加率； 0 0    l M u 标量场 u 在 M0 处沿 l 方向减小率； 0 0 =   l M u 场 u 在 M0 处沿 l 方向为等值面方向（无改变）。 4、计算： 直角坐标系： l方向的方向余旋 dl dz z u dl dy y u dl dx x u l u  − −      +   +   =   cos cos  cos 三、梯度 1、定义 max ( , , ) ˆ l e l u gradu x y z •   = l e ˆ 为场量 u 变化率最大的方向上的单位矢量。由方向导数的定义可知，沿等 u u +N M ˆ n e ˆ l e M0 u

值面法线e的方向导数最大,故grdh= 2、特性 (1)标量场的梯度为矢量,且是坐标位置的函数; (2)标量场的梯度的幅值表示标量场的最大增加率: (3)标量场的梯度的方向垂直于等值面,为标量场增加最快的方向; (4)标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影。 3、计算 由梯度的定义及标量场方向导数的概念可推知 au 直角坐标系: V:哈密顿算符 圆柱坐标系:V=(e、010+2) p og 球面坐标系:y,10+e rae 0 a 5、梯度的重要性质 V×Vu≡0 例1.31

值面法线 ˆ n e 的方向导数最大，故 ˆ n u gradu e l  =  2、特性 （1） 标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数； （2） 标量场的梯度的幅值表示标量场的最大增加率； （3） 标量场的梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向； （4） 标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影。 3、计算 由梯度的定义及标量场方向导数的概念可推知 直角坐标系： e u u z e y e x e z u e y u e x u gradu x y z x y z =    +   +   =   +   +   = ( ˆ ˆ ˆ ) ˆ ˆ ˆ  ：哈密顿算符 圆柱坐标系： ˆ ) 1 (ˆ ˆ z e e ez   +   +    =      球面坐标系： ) sin 1 ˆ 1 (ˆ ˆ        +   +    = r e r e r er 5、梯度的重要性质   u 0 例 1.3.1

、3矢量场的通量散度 、矢量线(力线) 1、力线:矢量在空间的形象描述 2、特点:矢量线的疏密程度表征矢量场的大小 矢量线上每点的切线方向代表该处矢量场的方向。 3、微分方程:力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同 在场中找一点M(x,y,z),矢径F=1x+y+e:二 微分元d=e,dx+e,dy+e:d在点M处与矢量线相切,即在点M处 d与F()共线,即d×F(GF)=0 直角坐标系=如=在 F Fy F 例1.4.1(略) 、矢量场的通量 为了克服矢量线不能定量描述矢量场 大小的问题,引入通量的概念 若矢量场F()分布于空间,在空间中 存在任意曲面S,则定义 =F(F)·d 为矢量F(F)沿曲面S的通量,若S为闭合曲面, 则 物理意义:表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和 讨论:(1)面元矢量d定义:面积很小的有向曲面 d=ends:面元面积,为微分量,其值可认为无限小 e:面元法线方向,垂直面元平面 en的确定方法: 对非闭合曲面:由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定 对闭合曲面:闭合面外法线方向。 (2)v=F()·d=F·d=5 Cosas (3)物理意义:

1、3 矢量场的通量 散度 一、矢量线（力线） 1、力线：矢量在空间的形象描述 2、特点：矢量线的疏密程度表征矢量场的大小 矢量线上每点的切线方向代表该处矢量场的方向。 3、微分方程：力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同 在场中找一点 M (x, y,z) ，矢径 r e x e y e z x y z = ˆ + ˆ + ˆ  微分元 dr e dx e dy e dz x y z = ˆ + ˆ + ˆ  在点 M 处与矢量线相切，即在点 M 处 dr F(r)   与 共线， 即 dr  F(r) = 0   直角坐标系 x y Fz dz F dy F dx = = 例 1．4．1（略） 二、矢量场的通量 为了克服矢量线不能定量描述矢量场 大小的问题，引入通量的概念。 若矢量场 F(r)   分布于空间，在空间中 存在任意曲面 S，则定义  = • s F r ds     ( ) 为矢量 F(r)   沿曲面 S 的通量，若 S 为闭合曲面， 则 F r ds s    = •   ( ) 物理意义：表示穿入和穿出闭合面 S 的通量的代数和。 讨论：（1）面元矢量 ds  定义：面积很小的有向曲面 ds e ds n = ˆ  ：面元面积，为微分量，其值可认为无限小 n e ˆ ：面元法线方向，垂直面元平面 n e ˆ 的确定方法： 对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定； 对闭合曲面：闭合面外法线方向。 （2）    = • = • = s s n s  F(r) ds F e ˆ ds F cosds      （3）物理意义：

若v>0,穿出多于穿入,闭合面内有发出矢量线的正源 若v0,正源dwF(F)=p<0,负源vF(P)=p=0,无源 若dvF()=0.处处成立,则该矢量场为无源场。 3、散度的计算 直角坐标系: divE(r) aFaFaF =(e+e,+e2)(eF+e,F,+e2F) 圆柱坐标系 V·F(F)1o(F)1aFF rp p a ar

若   0 ，穿出多于穿入，闭合面内有发出矢量线的正源； 若   0 ，穿出少于穿入，闭合面内有汇集矢量线的负源（沟）； 若  = 0 ，穿出等于穿入，闭合面内无源，或正负源代数和相等。 三、矢量场的散度（场中每一点的通量特性） 1、散度的定义 在场空间 F(r)   中任意点 M 处作一个闭合曲面，所围的面积为 V 则定义场矢量 F(r)   在 M 点的散度为 V F r ds divF r lin s v  • =   →      ( ) ( ) 0 2、 物理意义 （1） 矢量场的散度是一个标量点函数，是空间坐标的函数。 （2）散度值表征了空间中通量源的密度。矢量场的散度表征了矢量场的通量 源的分布特性。 讨论： 若 divF(r) =   0,   则该矢量场称为有源场，  为源密度      0 0 divF(r) =   0,正源   divF(r) =   0,负源   divF(r) =  = 0,无源   若 divF(r) = 0,   处处成立，则该矢量场为无源场。 3、散度的计算 直角坐标系： ( ) (ˆ ˆ ˆ ) (ˆ ˆ ˆ ) ( ) F r e F e F e F z e y e x e z F y F x F divF r x y z x x y y z z x y z     =  • • + +   +   +   =   +   +   = 圆柱坐标系： z F F r F F r z   +   +   • =       1  1 ( ) ( )    A

球面坐标系: V·F()=(rF)+ (sin 8Fe)+ rsin a0 rsin0 a 任意正交坐标系 V·F(F)= (F1h2h2)+-(F2hh)+-(F3h1h2)] h, h,h3 四、散度定理(矢量场的高斯定理) V·F()h=F()·d 矢量场F(F)的散度在体积Ⅴ内的积分等于矢量场穿过包围该体积的边界 面S的通量。 应用:将一个封闭面积分变换成等价的体积分,或反之。(第二次课完227) 例:矢量场的散度与坐标的选择无关。 矢量场A(F)=F,计算A(F)穿过一个球心在原点,半径为a的球面的通量; 并计算此矢量场的散度·r(F) 解:A(r)}=F=,x()+,y()+e2(F)位置矢量场表示空间任何一点处矢量场 的大小和方向与该点的位置矢量F成比例, 其中x()=A,(),y(F)=4,(F),()=A()表示F=F处矢量场的三个分量分 别为x,y,z。 取球坐标,F()=Er,r=a的球面上各点的矢量为r(a)=,a,其大小处处 相等,而球面上的面元矢量d=e,ds,所以 通量f(a)5=5as)==4m 散度1)直角坐标 V·F(F) ·(ex+ey+e=) ax ay az 2)球坐标 V·F()=-(r2r)=2(r3)= 即矢量场的散度与坐标的选择无关

球面坐标系：          +   +    • = F r F r r F r r F r r sin 1 (sin ) sin 1 ( ) 1 ( ) 2 2   任意正交坐标系：  ( ) ( ) ( )  1 ( ) 3 1 2 3 2 1 3 2 1 2 3 1 2 3 1 F h h q F h h q F h h h h h q F r   +   +    • =   四、 散度定理（矢量场的高斯定理） F r dv F r ds v s      • = •   ( ) ( ) 矢量场 F(r)   的散度在体积 V 内的积分等于矢量场穿过包围该体积的边界 面 S 的通量。 应用：将一个封闭面积分变换成等价的体积分，或反之。（第二次课完 2.27） 例：矢量场的散度与坐标的选择无关。 矢量场 A r r    ( ) = ，计算 A(r)   穿过一个球心在原点，半径为 a 的球面的通量; 并计算此矢量场的散度 r(r)    • 。 解： A(r) r e ˆ x(r) e ˆ y(r) e ˆ (r) x y z       = = + + 位置矢量场,表示空间任何一点处矢量场 的大小和方向与该点的位置矢量 r  成比例， 其中 x(r) A (r), y(r) A (r),z(r) A (r) x y z       = = = 表示 r r   = 处矢量场的三个分量分 别为 x, y,z 。 取球坐标， r r e r r a ( ) = ˆ r , =   的球面上各点的矢量为 r a e ar ( ) = ˆ  ，其大小处处 相等，而球面上的面元矢量 ds e ds r = ˆ  ，所以 通量 r a ds ads e e a ds a s r r s s ( ) = (ˆ • ˆ ) = = 4      y 散度 1)直角坐标 x 3 ( ) ˆ ˆ ˆ (ˆ ˆ ˆ ) =   +   +   = • + +           +   +    • = z z y y x x e x e y e z z e y e x r r ex y z x y z   2）球坐标 ( ) 3 1 ( ) 1 ( ) 3 2 2 =   =    • = r r r r r r r r r   即 矢量场的散度与坐标的选择无关