《电动力学》课程教学资源（习题解答）第二章 静电场（郭硕鸿）

电动力学习题解答参考 第二章静电场 1.一个半径为R的电介质球,极化强度P=K2,电容率为E。 (1)计算束缚电荷的体密度和面密度 (2)计算自由电荷体密度 (3)计算球外和球内的电势 (4)求该带电介质球产生的静电场总能量。 解:(1) pp P=-KV-=-K(V-r (P-PlR 又∵球外无极化电荷 P2=0an=nR=万K K/R (2)由公式D=EE =Ee+P D= V·D V·P E0) (3)对于球外电场,由高斯定理可得 rsin edrdedo (a-Eo)r EKR 0(E-E0 同理可得球内电场:E 球外电势外=「E你·F EKR For

电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 1 - 1.一个半径为 R 的电介质球 极化强度 P=K 2 r r 电容率为 (1)计算束缚电荷的体密度和面密度 (2)计算自由电荷体密度 (3)计算球外和球内的电势 (4)求该带电介质球产生的静电场总能量 解 (1) 2 2 2 2 ) / 1 1 ( r K r r r r K r r P = −∇ ⋅ P = −K∇ ⋅ = − ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − r r r r ρ P n P P R ( ) 2 1 r r r σ = − ⋅ − 又 球外无极化电荷 0 P2 = r K R r r p n P R n K R / 1 2 = ⋅ = ⋅ = r r r r σ (2) 由公式 D E r r = ε D E P r r r = ε 0 + 0 ε ε ε − = P D r r 2 0 0 ( )r K f D P ε ε ε ε ε ε ρ − ∇ ⋅ = − = ∇ ⋅ = r r ` (3)对于球外电场 由高斯定理可得 ∫ ⋅ = 0 ε Q E ds r r 外 0 2 2 0 0 2 sin ( ) 4 ε θ θ ϕ ε ε ε ε ρ π ∫∫∫ ∫ ⋅ − ∴ ⋅ = = r drd d r K dV E r f 外 r r ( )r 3 0 0 r r ε ε ε ε − ∴ KR E外 同理可得球内电场 2 0 r K r E r r ⋅ ε − ε 内 球外电势 外 外 ( )r dr 0 0 ε ε ε ε ϕ − ∴ ⋅ ∫ ∞ ∞ KR E r r

电动力学习题解答参考 第二章静电场 球内电势q于E外:+「EdF Ek K R E0(E-60)E-E0r (4)04=DnEn=1.6K,KF 20. sin@drdddp-2rER(A W=odV=什 1 82K 2TE RK r sin erdao 2 8(a K W=W内+W外=2msR(1+-))2 2.在均匀外电场中置入半径为R的导体球,试用分离变数法球下列两种情况的电势: (1)导体球上接有电池,使球与地保持电势差 (2)导体球上带总电荷Q 解:(1)当导体球上接有电池,与地保持电势差如时,以地为电势零点 本问题的定解条件如下 e coset Vq外=0(R>R0)且 (@0是未置入导体球 前坐标原点的电势) 根据有关的数理知识,可解得:9外=∑aR"+n)P(cosb) 由于州。=-ERc0升+q0即 外=a+a1Rcos6+∑anR"Pn(cos)+0+ cose+ 公FP(cosO)k EoRcoS8+ RR 故而有:a0=o,a1=-E0,an=O(n>1),b=0(n>1) E Rosa+

电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 2 - r R ln ( ) dr dr r 0 0 0 ε ε ε ε ε ε ϕ − + − ⋅ ⋅ ∫ ∫ ∞ K K E E R R 球内电势 内 外 内 r r r r 4 2 0 2 2 0 2 0 r 2 r r r r 2 1 2 1 内 内 内 ε ε ε ε ε ε ε ε ω K K K D E r r r r ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∴ ∫ ∫∫∫ − ⋅ − ∴ ⋅ 2 0 2 2 2 0 2 r sin drd d 2 ) 2 ( ) r 1 d ε ε θ θ ϕ πε ε ε ε ω K R K W内 内 V ∫ ∫∫∫ − ⋅ ⋅ − = ⋅ 2 0 0 2 2 2 2 4 0 0 2 2 2 ( ) 2 r sin drd d r 1 2 ( ) 1 d ε ε ε πε θ θ ϕ ε ε ε ε ω K R RK W V 外 外 R 2 0 0 2 (1 )( ) ε ε ε ε πε − ∴ = + K W W内 W外 R 2 在均匀外电场中置入半径为 R0 的导体球 试用分离变数法球下列两种情况的电势 1 导体球上接有电池 使球与地保持电势差 ; φ 0 2 导体球上带总电荷 Q. 解 1 当导体球上接有电池 与地保持电势差φ 0时 以地为电势零点 本问题的定解条件如下 φ内 φ 0 R= R0 0 2 ∇ ϕ 外 R> R0 且     = = − = →∞ 0 0 0 0 cos ϕ φ ϕ θ ϕ R R R E R 外 外 ϕ 0 是未置入导体球 前坐标原点的电势 根据有关的数理知识 可解得 cos ) R a R n 1 n n n n n 0 ϕ 外 P θ b ∑ ∞ 由于 0 0 ϕ 外 E Rcosθ ϕ R = − →∞ 即 0 0 2 2 1 0 1 2 0 1 ϕ a + cosθ + (cosθ ) + + cosθ + (cosθ ) →∞ = − cosθ +ϕ ∞ = + ∞ = ∑ ∑ P E R R b R b R b a R a R P R n n n n n n n 外 n 故而有 , , 0( 1), 0( 1) a0 = ϕ 0 a1 = −E0 an = n > bn = n > ϕ ϕ θ cosθ b cos 2 0 1 0 0 R b R ∴ 外 E R +

电动力学习题解答参考 第二章静电场 又m=,即:9m=90-E5Ros9a+b+b cos=o Ro Ro 故而又有 Ro E 6+ b=0 得到:b=(-)R0,b1=E0R 最后,得定解问题的解为 外=- CoRcOS6+ (0-90)R0,ER3 COSO(R>Ro) R (2)当导体球上带总电荷Q时,定解问题存在的方式是 V=0(RRo) 60=有限 9外+=- CoRcoS+q(q是未置入导体球前坐标原点的电势) 中=中 dsO(r=r aR 解得满足边界条件的解是 o=∑aR"P(c0s)=0- ERose+∑nh(cos) 由于外R→的表达式中,只出现了P(cos)=cos顾项,故,bn=0(n>1) E rose 又有外R8是一个常数(导体球是静电平衡) 9ke=9- EoR coSE升+D。+ -L-cos0=C EoRo coSB b,=EoRS

电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 3 - 又 2 0 0 1 0 0 0 0 0 cos b , cos 0 0 ϕ = = φ ϕ = = ϕ − θ + θ = φ R b R 外 R R 即 外 R R E R 故而又有        − + = + = ∴ cos cos 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 θ θ ϕ φ R b E R R b 得到 2 0 0 0 0 1 0 0 b = (φ −ϕ )R ,b = E R 最后 得定解问题的解为 cos ( ) ( ) cos 0 3 0 0 0 0 0 0 0 R R R E R R R E R + > − = − + + θ φ ϕ ϕ 外 θ ϕ 2 当导体球上带总电荷 Q 时 定解问题存在的方式是              = ∂ ∂ − + ∇ > ∇ ϕ ϕ θ cosθ b cos 2 0 1 0 0 R b R ∴ 外 E R + 又有 外 R=R0 ϕ 是一个常数 导体球是静电平衡 C R b R ϕ R=R = ϕ − E R θ + cosθ = b cos 2 0 1 0 0 外 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 1 0 0 cos cos 0 b E R R b ∴−E R θ + θ = 即 =

电动力学习题解答参考 第二章静电场 外=90-E5R0sB+2+ER R R2 cose 又由边界条件-0 bo ATEO 内4E0R PoR Ro 3.均匀介质球的中心置一点电荷Q,球的电容率为E,球外为真空,试用分离变数法求 空间电势,把结果与使用高斯定理所得结果比较 提示:空间各点的电势是点电荷Q的电势4xR与球面上的极化电荷所产生的电势的 叠加,后者满足拉普拉斯方程。 高斯法 在球外,R>R0,由高斯定理有:E509E·d=Q=Q+QP=Q,(对于整个导体球 而言,束缚电荷Qp=0) E 4TEOR 积分后得 Q +C(C是积分常数) 又由于q外|R+=0.C=0 外-4rER (R>R0) 在球内,R<R0,由介质中的高斯定理:∮Dd=Q Q1 积分后得到:内4mP(2(C2是积分常数)

电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 4 - ϕ ϕ cosθ cosθ 2 3 0 0 0 0 0 R E R R b 外 E R + + 又由边界条件 Q 外 ∫ ∂ ∂ − s 0 ds r φ ε 0 0 4πε Q ∴b = 0, 0 0 0 R 4 R R Q ∴ −ϕ πε ϕ 3 均匀介质球的中心置一点电荷Qf 球的电容率为ε 球外为真空 试用分离变数法求 空间电势 把结果与使用高斯定理所得结果比较 提示 空间各点的电势是点电荷Qf 的电势 R Q 4πε f 与球面上的极化电荷所产生的电势的 叠加 后者满足拉普拉斯方程 解 一. 高斯法 在球外 R > R0 ,由高斯定理有 Q Qf QP Qf E ⋅ ds = + = ∫ 总 r r 0 ε 对于整个导体球 而言 束缚电荷 = 0) QP 2 4 0R Q E f πε ∴ = r 积分后得 外 C C是积分常数 R Q .( 4 0 f + πε ϕ 又由于 →∞ = 0,∴C = 0 ϕ 外 R ( ) 4 0 0 R R R Qf ∴ = > πε ϕ 外 在球内 R < R0 ,由介质中的高斯定理 ∫ ⋅ = Q f D ds r r 又 2 4 , R Q D E E f πε = ε ∴ = r r r 积分后得到 内 f 2 .( 2是积分常数 4 C C R Q + πε ϕ

电动力学习题解答参考 第二章静电场 由于=甲&,故而有:Q ToRo 4TER (R 4eR Ro R<Ro IER 4IEoRo 4TERo

电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 5 - 由于 2 0 0 0 f 4 4 , 0 C R Q R Q f R=R = + πε πε ϕ 内 ϕ 外 故而有 ( ). 4 4 0 0 0 0 2 R R R Q R Q C f f ∴ = − ∴ 0 0 f 0 0 f f 0 0 f , 4 4 4 , 4 R R R R Q R Q R Q R R Q πε πε πε ϕ πε ϕ 内 外

电动力学习题解答参考 第二章静电场 4.均匀介质球(电容率为E1)的中心置一自由电偶极子P,球外充满了另一种介质(电 容率为E,,求空间各点的电势和极化电荷分布 提示:同上题,中“4m1R+p而φ满足拉普拉斯方程 2P cos 又 E1( 4IE Ro +∑14R 2P. cos0 ∑ B1 比较P(cosO)系数 2p 2 B +a A 及A1= 4z Ro Ro R 2(61-2)pf 2(E1-E2)P 得:A1 4m1(E1+252)R6 BI 4E1(E1+2E2) 比较P(cosO)的系数 241=-363,42=B Ro 及A2(1+--)=0 G, Ro 所以A2=0,B2=0。同理,A=B1=0,(=23…) 最后有 R 2(E-E) )P/-Rcos0 PrR 2(81-E2P. R R34ms(E1+2E2)R3 r 4TS, (& (RR)

电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 6 - 4 均匀介质球 电容率为 1 ε 的中心置一自由电偶极子 Pf r 球外充满了另一种介质 电 容率为 2 ε 求空间各点的电势和极化电荷分布 提示 同上题 ' 4 3 1 φ πε φ + ⋅ = R Pf R r r ,而φ'满足拉普拉斯方程 解 R ∂R ∂ = ∂ ∂ 内 φ 外 ε φ ε 1 2 又 内 = − +∑ ∂ ∂ l l 1 3 l 0 1 0 f 1 1 l 4 2 cos ( 0 A R P R P R R πε θ ε φ ε = − −∑ ∂ ∂ 外 2 l l 0 l 3 1 0 f 2 2 (l 1 4 2 cos ( 0 P R B R P R R πε θ ε φ ε 比较 Pl (cosθ )系数 B0 0 A0 0 3 0 1 3 1 0 2 1 3 1 0 2 3 1 1 0 , 2 4 2 4 2 R B A R B R A R f f + = − − 及 = ε πε ε ρ ε π ρ 得 4 ( 2 ) 2( ) , 4 ( 2 ) 2( ) 1 1 2 1 2 1 3 1 1 2 0 1 2 1 πε ε ε ε ε ρ πε ε ε ε ε ρ + − = + − = f f B R A 比较 P2 (cosθ )的系数 4 0 2 4 2 0 2 1 2 0 , 3 2 R B A R B ε A R = 及 ) 0 1 (1 1 0 2 + = R A ε 所以 A2 = 0, B2 = 0 同理 A = B = 0,(l = 2,3L) l l 最后有 ,( ) 4 ( 2 ) 2( ) 4 cos 4 ( 2 ) 2( ) 4 3 0 1 1 2 0 1 2 3 1 3 1 1 2 0 1 2 3 1 R R R R R R R R R f R f f f + ⋅ = + − ⋅ + ⋅ = + − + ⋅ π ε ε ρ πε ε ε ε ε ρ πε ρ θ πε ε ε ε ε ρ πε ρ φ r r r r r r r r 外

电动力学习题解答参考 第二章静电场 球面上的极化电荷密度 dp=Bn-Pn,从2指向1,如果取外法线方向,则 Up=PB外n-P球n=(E2-60)中外)-(E1-60)V)n -(E2-E aR 6p cos 6(60-62)rcos62(s1-E E1+2E (E1-E 4r(E1+262)R3 4x(E1+2E2)R 65(50-62)+681E=(+2" 4ms1(E1+2E2)R3 求极化偶极子 P=ql可以看成两个点电荷相距,对每一个点电荷运用高斯定理,就得到在每个 点电荷旁边有极化电荷 qp=(20-11-9p=(20-1(-q),两者合起来就是极化偶极子 1) 5空心导体球壳地内外半径为R1和R2,球中心置一偶极子P,球壳上带电Q,求空间各点 电势和电荷分布。 V23=0.d→2=0 中2=C,2 P.r 1,,0为有限值 B ∑+1P(cosb, 2=C,4r=R=C 478 +∑4es)--8+fasA

电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 7 - 球面上的极化电荷密度 P P n P n n r , σ = 1 − 2 从 2 指向 1 如果取外法线方向 则 p P n P n n n [( ) )] [( ) )] σ = 外 − 球 = ε 2 − ε 0 ∇φ 外 − ε 1 − ε 0 ∇φ内 0 ( ) ( ) 2 0 1 0 R R R R 外 内 ∂ ∂ + − ∂ ∂ = − − φ ε ε φ ε ε cos ] 4 ( 2 ) 2( ) 2( 2 ) 4 ( 2 ) 6( ) cos ( )[ 4 ( 2 ) 6 cos ( ) 3 1 1 2 0 1 2 1 2 3 1 2 0 0 2 1 0 3 1 2 0 2 0 ρ θ πε ε ε ε ε ε ε π ε ε ε ε ρ θ ε ε π ε ε ρ θ ε ε f f f R R + R − − + − + − − − + − = − ρ θ πε ε ε ε ε ε ρ θ πε ε ε ε ε ε ε ε ε cos 2 ( 2 ) 3 ( ) cos 4 ( 2 ) 6 ( ) 6 ( ) 3 1 1 2 0 0 1 2 3 1 1 2 0 1 0 2 2 1 0 f f R + R − = − + − + − = 求极化偶极子 P ql f r r = 可以看成两个点电荷相距 l 对每一个点电荷运用高斯定理 就得到在每个 点电荷旁边有极化电荷 ( 1) , ( 1)( ) 1 0 1 0 P f P f q = − q −q = − −q ε ε ε ε 两者合起来就是极化偶极子 PP Pf r r ( 1) 1 0 = − ε ε 5.空心导体球壳地内外半径为 R1和 R2 球中心置一偶极子 P r 球壳上带电 Q 求空间各点 电势和电荷分布 解          + ⋅ = = = ∞ ∇ = = → → →∞ 3 1 ' 1 ' 0为有限值 0 1 2 2 0 3 3 2 , 4 , 0, 0 r r r r P r C φ φ πε φ φ φ φ φ r r          = ∂ ∂ + ∂ ∂ + − ⋅ = = = = ∑ ∫ ∫ ∑ = = = + − 0 3 1 3 0 1 2 2 3 1 3 2 1 1 2 (cos ) 4 , (cos ), ε φ φ θ πε φ φ φ φ θ φ Q dS r dS r A r P r P r C C P C r B l r R r R l l f r R l l r R l r r R2 R1 φ 3 φ 1 φ 2

电动力学习题解答参考 第二章静电场 8+2P2 C P cose 4IEAR2+A+A,R, cose 即:A0 Bo C,(A1R1+ )cosb=0,B1=0(=123…),A=0(=234…) R2 d9 2P cos cos 4AR+24B=2 t A cose+ ao3 ∑(--1)-m2P se+ R1 03 BRBR Bo 4TB f.- sin aedo cos ORf sin dedo=0+0=0 4 故 ds +fdi=47B=g Ao 4TER3 最后有: P 4TEor 4IEoR: 4TEo R2 ,(rR 内二4(<< 电荷分布 在r=R1的面上 E ag, -P cose -P cose P/ cose 4TR 在r=R2面上 8

电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 8 -        + + + = + + + = A A R C R P P C R B R B R B f L L θ πε θ θ cos 4 cos cos 0 1 1 2 0 1 3 2 2 2 2 2 1 2 0 即 ) cos 0, 0( 1.2.3 ), 0( 2.3.4 ) 4 ,( 2 1 1 1 2 0 0 = = + = B = l = L A = l = L R P C A R R B A l l f θ πε ∑ ∑ = − − = − − + ∂ ∂ = − + = − + + ∂ ∂ + − L L θ φ θ πε θ πε φ θ ( 1) 2 cos cos 2 cos 4 2 cos 3 1 1 2 1 0 2 3 3 1 0 1 1 3 1 0 1 1 R B R B P r B l r A R P lA R P R P r l l l f L l l f 又 则 ∫∫ ∫ = = = = ∂ ∂ − 2 0 1 2 0 2 1 1 0 2 1 3 0 4 4 B R B dS R R B dS R B dS r π π φ cos sin 0 0 0 4 cos sin 2 2 0 0 2 3 1 0 1 2 0 0 2 3 1 0 1 1 = + = − = − + ∂ ∂ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ π π π π θ θ θ ϕ πε θ θ θ ϕ πε φ R d d R P R d d R P dS r f f 故 ∫ ∫ = = ∂ ∂ + ∂ ∂ − 0 0 3 1 4 ε π φ φ Q B r dS r 3 0 1 1 0 2 0 0 0 4 , 4 , 4 R P A R Q A Q B f πε πε πε − = = = 最后有            = + < ⋅ − ⋅ = ,( ) 4 ,( ) 4 ,( ) 4 4 4 1 2 0 2 2 2 0 3 1 0 2 3 0 1 2 0 1 R r R R Q r R r Q r R R Q R P r r P r f πε φ πε φ πε πε πε φ r r r r 电荷分布 在 r R1的面上 3 1 3 1 3 1 1 0 4 cos 4 cos 2 cos 1 R P R P R P r f f f P π θ π θ π φ θ σ ε = − − + − = ∂ ∂ = 在 r R2面上 2 2 3 0 4 2 R Q r P π φ σ ε = ∂ ∂ = −

电动力学习题解答参考 第二章静电场 6.在均匀外电场E0中置入一带均匀自由电荷p的绝缘介质球E,求空间各点的电势。 =∑(4r+2m)P(c 解:{中 中 V2p=0 的是由高斯定理解得的,pr的作用加上E0的共同作用 s,p,,0有限 B p=一E rose+ ∑crP(cosb) 三中外(r=R0) E。 R cose B0,B1 P Ro R Ro P,Ro +c +C, Ro cos0+C2Ro 2 即R02+co B R TORo B R R R+∑cRb=P(cos)] P Ro+ aC, Cos+ 2ac, roP2 B,P Eo 9

电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 9 - 6 在均匀外电场 E0 r 中置入一带均匀自由电荷 ρ f 的绝缘介质球ε 求空间各点的电势 解          ∇ = + ∑ + + 0 6 1 ( ) (cos ) 2 ' 2 ' 1 φ ρ φ ε φ φ θ r P r B A r f l l l l l 内 外 φ内是由高斯定理解得的 ρ f 的作用加上 E0 r 的共同作用 0 ' 0 φ 外 r→∞ = −E r cosθ ,φ r→ 有限        + + ∑ ∑ + (cos ) 6 1 cos (cos ) 2 0 1 ρ θ ε φ φ θ θ l l f e l l l r c r P P r B E r 内 外 ) : R0 φ内 φ 外 r = + + + 2 + 3 0 2 2 0 1 0 0 0 0 cos P R B R B R B E R θ + + + 2 + 2 1 0 2 0 2 0 cos 6 1 0 ρ f R c c R θ c R P ε 即 0 0 0 2 0 6 R B R c f + = ε ρ 2 1 0 0 1 0 0 c R R B E R + = 2 3 2 0 0 2 c R R B = r ∂r ∂ = ∂ ∂ 内 φ 外 ε φ ε 0 ∑ + = − + − − ∂ ∂ ( cos ( 1) ) 2 0 0 0 l l l R B P E l r ε θ φ 外  ] = + + +L   = + ∂ ∂ ∑ − 0 1 2 0 2 1 0 0 cos 2 3 (cos ) 3 R lc R P R c c R P r f l l l f ε θ ε ρ θ ε φ内 ρ

电动力学习题解答参考 第二章静电场 E.E. coS B- 0 Do-L60D1 cos 0-580D2p+ Ro Ro R 28 B Ro Bo E R ACrO 解方程得:B1=-p C0=-R6D/(,+) B=_ 0+Er3 38.E 8+28 及:2C2R0=-3E0R0C2即C2(2ER0+3E0B0)=0C2=B2=0 同理:C1=B1=0 l=2.3 RoPr ER 38 Er 中外=一E0rCOs6± 6,r>R 得 (E+2Eo)r Rp(+-) 3E0E0 -cosorσ2及 σ2>>σ1两种情况的电流分布特点 先求空间电势: r= R Vp外 因为n=6外n(r=R0)(稳恒电流认为表面无电流堆积,即流入n=流出n) 并且δ r cos (Jb=02E0) →有限可以理解为在恒流时r→0的小封闭曲面流入=流出

电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 10 - − − − − 4 2 +LL 0 0 2 3 0 0 1 2 0 0 0 0 0 3 cos 2 cos P R B R B R B E ε θ ε ε ε θ 即 2 0 0 0 0 3 R B R ρ f ε = − 3 0 0 1 1 0 0 2 R B C E ε ε = −ε − 2 0 0 4 2 LL 3 2 R B C R ε ε = − 解方程得 f R B ρ ε 0 3 0 0 3 = − ) 6 1 3 1 ( 0 2 0 0 ε ε C = −R ρ f + 3 0 0 0 3 0 0 0 1 2 3 E R E R B + + = − ε ε ε 0 0 0 1 2 3 ε ε ε + = − E C 及 2 C2R0 3 0R0C2 ε = − ε 即 C2 (2εR0 + 3ε 0R0 ) = 0 C2 = B2 = 0 同理 = = 0 Cl Bl l = 2,3LL 得        + ± + − 0 2 0 0 0 2 0 2 2 0 0 3 0 0 0 2 3 0 0 0 3 0 0 cos , 2 3 6 1 3 1 ( 6 cos , ( 2 ) 3 cos 3 cos r r R E r R r R r E R r E R r R E r f f f θ ε ε ε ε ε ρ ε ρ φ θ ε ε ε θ ε ρ φ θ 内 外 7 在一个很大的电解槽中充满电导率为σ 2 的液体 使其中流着均匀的电流δ f 0 今在液 体中置入一个电导率为 σ 1 的小球 求稳衡时电流和电荷分布 讨论 σ 1 >> σ 2 及 σ 2 >> σ 1两种情况的电流分布特点 先求空间电势     ∇ ∇ 0 0 2 2 外 内 φ φ φ内 φ 外 R0 r = 因为 ( ) R0 r δ 内n δ 外n = 稳恒电流认为表面无电流堆积 即流入n = 流出n 故 r 2r 2 2 2 1 2 内 φ 外 σ φ σ = 并且δ →∞ = δ 0 外 r 即 φ 外 r→∞ = −E0 r cosθ ( ) 0 2E0 j f = σ φ内 r→∞有限 可以理解为在恒流时r → 0 的小封闭曲面流入 流出