第三章静态电磁场及其边值问题的解 1真空中静电场的基本方程 311场的基本方程 由亥姆霍兹定理,矢量场的散度和旋度决定其性质,因此,静电场的基本方 程即为电场的散度、旋度计算式 真空中静电场的散度高斯定理 1、真空中静电场的散度 可以证明,真空中静电场的散度为 V·E F处无电荷 p(F)/0F处电荷密度为p(F) 静电场高斯定理微分形式 说明:1)电场散度仅与电荷分布有关,其大小∝p(F) 2)对于真空中点电荷,有 V·E(F)=0(r≠0)或V·E(P)=q/50(r=0) 2、高斯定理 v·E()hv=p(F)/E0dh →fE()·=1[poF)=9 fE=2←高斯定理的积分形式 讨论:1)物理意义:静电场E穿过闭合面S的通量只与闭合面内所包围电荷量 有关(场与所有电荷有关); 2)静电荷是静电场的散度源,激发起扩散或汇集状的静电场; 3)无电荷处,源的散度为零,但电场不一定为零 二、真空中静电场的旋度环路定理 o d q grade R R 4TERA RB 当A点和B点重合时, E·d=0←静电场环路定理的积分形式
第三章 静态电磁场及其边值问题的解 3．1 真空中静电场的基本方程 3.1.1 场的基本方程 由亥姆霍兹定理，矢量场的散度和旋度决定其性质，因此，静电场的基本方 程即为电场的散度、旋度计算式。 一、真空中静电场的散度 高斯定理 1、真空中静电场的散度 可以证明，真空中静电场的散度为 • = （ ） 处电荷密度为 （ ） 处无电荷 r r r r E / 0 0 静电场高斯定理微分形式 说明：1）电场散度仅与电荷分布有关，其大小 (r) ； 2）对于真空中点电荷，有 • = E r r ( ) 0 ( 0) 0 或 • = = E r q r （ ） / ( 0) 2、高斯定理 • = 高斯定理的积分形式 • = = • = 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) / Q E r ds Q E r ds r dv E r dv r dv s s v v v 讨论：1）物理意义：静电场 E 穿过闭合面 S 的通量只与闭合面内所包围电荷量 有关（场与所有电荷有关）； 2）静电荷是静电场的散度源，激发起扩散或汇集状的静电场； 3）无电荷处，源的散度为零，但电场不一定为零。 二、真空中静电场的旋度 环路定理 = − = • • = A B R l R r l R R q R q dR R q e dl E dl B A 1 1 4 4 ˆ 4 0 2 0 2 0 当 A 点和 B 点重合时， • = 0 c E dl 静电场环路定理的积分形式
由斯托克斯公式,VxE=0 环路定理的微分形式 讨论:1)物理意义:在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周,静电 场力做功为零 静电场为保守场; 2)静电场旋度处处为零,静电场中不存在旋涡场,电力线不构成闭合回路。 三、真空中静电场性质小结 微分形式 积分形式 V·E=p(F)/co E( Eo XH= E()d=0 2、静电场性质:有源无旋场,是保守场 3、静电场的源:电荷 讨论:对于静电场,恒有 V×E=0,而V×(Vu)=0 →E()∝Vyw为标量辅助函数 静电场可以由一标量函数的梯度表示。 补充内容:利用高斯定理求解静电场 E(F)· p(v)dv 1、求解关键:高斯面的选择 2、高斯面的选择原则: 1)场点位于高斯面上 2)高斯面为闭合面 3)在整个或分段高斯面上,E或E·dB为恒定值 3、适用范围:呈对程分布的电荷系统。 312电位函数 电位函数与电位差 、电位函数 V×E →E可用一标量函数表示E=-V V×(Vq)≡0 讨论:1)电位函数为电场函数的辅助函数,是一标量函数 2)“”号表示电场指向电位减小最快的方向 3)在直角坐标系中
由斯托克斯公式， E = 0 环路定理的微分形式 讨论：1）物理意义：在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电 场力做功为零 静电场为保守场； 2）静电场旋度处处为零，静电场中不存在旋涡场，电力线不构成闭合回路。 三、真空中静电场性质小结 1、 微分形式 积分形式 • = • = = • = l s E r dl E r ds Q E E r ( ) 0 ( ) / 0 ( )/ 0 0 2、静电场性质：有源无旋场，是保守场 3、静电场的源：电荷 讨论：对于静电场，恒有 E 0 ，而 ( ) 0 E(r) 为标量辅助函数 静电场可以由一标量函数的梯度表示。 补充内容：利用高斯定理求解静电场 0 0 ( ) 1 ( ) Q E r ds v dv s v • = = 1、 求解关键：高斯面的选择 2、高斯面的选择原则： 1） 场点位于高斯面上 2）高斯面为闭合面 3） 在整个或分段高斯面上， E 或 E ds • 为恒定值。 3、 适用范围：呈对程分布的电荷系统。 3.1.2 电位函数 一、 电位函数与电位差 1、电位函数 ( ) 0 0 E E 可用一标量函数表示 E = − 讨论：1）电位函数为电场函数的辅助函数，是一标量函数 2）“-”号表示电场指向电位减小最快的方向 3）在直角坐标系中， x y z e z e y e x E ˆ ˆ ˆ − − = −
2、电位差(电压) 电位差反映了电场空间中不同位置处电场的变化量。 电位差的计算: △q 为φ增加最快的方向 →E=m →△qAB=q4-9 E…d=[E…d 电场空间中两点间电位差为 Ea 说明:1)意义:A、B两点间的电位差等于将单位点电荷从B点移动到A点过 程中电场力所做的功; 2)两点间的电位差有确定值,只与首尾两点位置有关,与路径无关。 3、电位参考点 电位函数不唯一,导致电场分布具有不确定性 设q’=g+c≠p→E=-Vq'=V(q+c)=-Vq 为使空间各点电位具有确定值,必须选定空间某一点作为参考点,且令参 考点的电位为零。由于空间各点与参考点的电位差为确定值,所以该点的电 位也就具有确定值 选择电位参考点的原 1)应使电位表达式有意义; 2)应使电位表达式最简单; 3)同一个问题只能有一个参考点 4)电位参考点的电位值一般为零。 二、电位函数的求解 点电荷的电位 Q E·d=(+ dh 4 选取Q点为电位参考点,则qo=0 pP ATEo 若参考点Q在无穷远处,即r 则
2、电位差（电压） 电位差反映了电场空间中不同位置处电场的变化量。 电位差的计算： ˆ ˆ ˆ l l l B B A B A B A A e l e E e d E dl l E dl E dl → = = − = − • = − = − • = • 为 增加最快的方向 电场空间中两点间电位差为： − = • A B B A E dl 说明：1）意义：A、B 两点间的电位差等于将单位点电荷从 B 点移动到 A 点过 程中电场力所做的功； 2）两点间的电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与路径无关。 3、电位参考点 电位函数不唯一，导致电场分布具有不确定性 设 = + c E = − = −( + c) = − 为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，且令参 考点的电位为零。由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电 位也就具有确定值。 选择电位参考点的原则： 1）应使电位表达式有意义； 2）应使电位表达式最简单； 3）同一个问题只能有一个参考点； 4）电位参考点的电位值一般为零。 二、 电位函数的求解 1、点电荷的电位 Q p q p ) 1 1 ( 4 ˆ 4 ( ) 0 2 0 p Q Q p r p p Q p Q p P Q r r q dr r q e E dl E dl = = − − = • = + • 选取 Q 点为电位参考点，则 Q = 0 = − p Q p r r q 1 1 4 0 若参考点 Q 在无穷远处，即 rQ → ，则
P()=.9 点电荷在空间产生的电位 说明:若电荷分布在有限区域,一般选择无穷远点为电位参考点 、无限长线电荷的电位 P E=- Pi →9。-9o (nro -.) E07 电位参考点不能位于无穷远点,否则表达式无意义,根据表达式最简原则, 选取r=1柱面为电位参考点,即=1,得 无限长线电流在空间产生的电位 3、分布电荷在空间产生的电位 体电荷:o()= 4 R 面电荷:(F)= ds +c 4 R 线电荷:F)=1Pa+c 4 R 说明:若参考点在无穷远处,则c=0。 综上所述,电位是一标量 电位是一相对量,与参考点的选取有关 电位差是绝对的 引入电位函数的意义:简化电场的求解—一间接求解法 在某些情况下,直接求解电场强度很困难,但求解电位函数则相对简单,因 此可以通过先求解电位函数,再由关系E=-V得到电场解 三、电位的微分方程 1、方程的建立 有源区
r q r 4 0 ( ) = 点电荷在空间产生的电位 说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点。 2、无限长线电荷的电位 E p Q p (ln ln ) 2 ˆ 2 0 0 Q p l r p Q l e r r r E = − = − 电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义，根据表达式最简原则， 选取 r = 1 柱面为电位参考点，即 rQ = 1 ，得 p l p ln r 2 0 = − 无限长线电流在空间产生的电位 3、分布电荷在空间产生的电位 体电荷： + = v dv c R r r ( ) 4 1 ( ) 0 面电荷： + = s s ds c R r r ( ) 4 1 ( ) 0 线电荷： + = l l dl c R r r ( ) 4 1 ( ) 0 说明：若参考点在无穷远处，则 c = 0。 综上所述，电位是一标量 电位是一相对量，与参考点的选取有关 电位差是绝对的 引入电位函数的意义：简化电场的求解——间接求解法 在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，因 此可以通过先求解电位函数，再由关系 E = − 得到电场解。 三、电位的微分方程 1、方程的建立 有源区
V·E= 50}→-VV E=-V 即 电位的泊松方程 无源区p=0 电位的拉普拉斯方程 (不同坐标系下方程的表示略) 电位的边界条件 △→0 q19-q2=E·d→0 P 而D=EE=-Vq 有 若P,=0有 91-92 3.13电容 、电容 孤立导体的电容 定义:孤立导体所带电量与其电位之比,即 电容C只与导体几何性质和周围介质有关,与q和ρ无关 例:空气中半径为a的孤立导体球 ec=g 4丌E.a 2、两个带等量异号电荷导体的电容(双导体电容) Q
0 0 E E • = − • = = − 即 2 0 = − 电位的泊松方程 无源区 = 0 2 = 0 电位的拉普拉斯方程 （不同坐标系下方程的表示略） 电位的边界条件 1 → • l 0 1 2 − = • → E dl 0 2 • D D D E 1 2 n n s − = = = − 而 有 1 2 1 2 s n n − = − 若 0 s = 有 2 1 2 1 1 2 0 n n = − = 3.1.3 电容 一、电容 1、孤立导体的电容 定义：孤立导体所带电量与其电位之比，即 U Q C = 电容 C 只与导体几何性质和周围介质有关，与 q 和 无关； 例： 空气中半径为 a 的孤立导体球 a Q C a Q 0 0 4 4 = = = 2、两个带等量异号电荷导体的电容（双导体电容） 1 − 2 = Q C
C只与导体几何性质、导体间距和导体周围介质有关; 例:平行板电容器电容(导体球、圆柱等) C=-9=2,s=2s=sS ed d 二、部分电容 若电容器由多个导体构成,则电容器之间、导体与地之间均存在电容 单个导体上的电量q=Cg 2、两个导体,且考虑大地的影响,相当三个导体,其中一个导体上的电量 为q1=C12(1-92)+C1g 导体间的电容导体与大地间的电容 3、N个导体,导体i上的电量与它其他导体之间的电位差(包括大地)有关, 即N个导体组成的导体系统,其中第i个导体的电位与自身的电荷和其他导体 的电荷关系为 g=∑P9112x共有N个方程 其中P为常数,称为电位系数,与系统中所有导体的形状、位置及周围介质 有关 由以上N个方程可解出 9=∑91=12N(共有N个方程 当{=j时〃称为电容系数,1≠j时B称为感应系数,且 Bi=Bji 引入C=,C=∑方程q9=∑9,可写为 4+c(9-0)+c,(9-9) 其比值 与导体i的电与导体i、j的 q2-0 位成正比 电位差成正比 q-9
C 只与导体几何性质、导体间距和导体周围介质有关； 例： 平行板电容器电容（导体球、圆柱等） d s d s Ed Q s C s s s 0 0 1 2 = = = − = 二、部分电容 若电容器由多个导体构成，则电容器之间、导体与地之间均存在电容 1、单个导体上的电量 q = C 2、 两个导体，且考虑大地的影响，相当三个导体，其中一个导体上的电量 为 1 12 1 2 11 1 q = C ( − ) +C 导体间的电容 导体与大地间的电容 3、 N 个导体，导体 i 上的电量与它其他导体之间的电位差（包括大地）有关， 即 N 个导体组成的导体系统，其中第 i 个导体的电位与自身的电荷和其他导体 的电荷关系为 共有 N 个方程 其中 ij p 为常数，称为电位系数，与系统中所有导体的形状、位置及周围介质 有关。 由以上 N 个方程可解出 （共有 N 个方程） 当 i j = 时 jj 称为电容系数， i j 时 ij 称为感应系数，且 ( ) ij = ji i j 引入 方程 可写为 其比值 1 N i ij j j p q = = i N =1,2... 1 N i ij j j q = = i N =1,2... 1 N i ij j j q = = ( ) ( ) 1 0 N i ii i ij i j j j i q C C = = − + − 与导体i、j的 电位差成正比 ij q 与导体i 的电 位成正比 ii q 0 ii ii i q C = − ij ij i j q C = − C C 12 21 = 2 C11 C22 1 1 , N ij ij ii ij j C C = = − =
q1=C11+Cn2(1-2)+C13(q1-3)+…+C1N(1-9y) q2=C292+C21(02-q1)+C23(q2-g3)+…+C2(2-) (q3=C393+C31(3-91)+C32(3-2)+…+C3(3-qx) qx=CNx+CM1(x-91)+CN2(q3-2)+…+CN-1(x-9-1) C.导体与地之间电容一一导体自电容 C导体之间的电容—一导体互电容 314电场能量 、空间总电场能量 1、分布电荷总能量 空间电荷分布p(GF),在空间中产生的电位为a(F),空间总电场能量为: P(ro(r)dv 说明:1)此公式只适用于静电场能量求解 2)pq不表示能量密度 3)p(7)为空间中自由电荷分布; 4)积分范围为整个空间,但可退化到电荷分布区域。 2、带电导体系统总能量 若电量为q的电荷分布在导体上,导体电位为o(),空间总静电场能量为 W 导体所带电量 N个导体,W=∑q9—1导体电位 电场能量密度 w=p(o(Jdi',/ v·Do(Mh fIDolods +ID.Edu
？（ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 3 3 3 3 3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 1 = + − + − + + − − − = + − + − + + − = + − + − + + − = + − + − + + − N NN N N N N N NN N N N N N N N N q C C C C q C C C C q C C C C q C C C C Cii 导体与地之间电容——导体自电容 Cij 导体之间的电容——导体互电容 Cij = C ji ） 3.1.4 电场能量 一、空间总电场能量 1、分布电荷总能量 空间电荷分布 (r) ，在空间中产生的电位为 (r) ，空间总电场能量为： = v We (r) (r)dv 2 1 说明：1）此公式只适用于静电场能量求解； 2） 2 1 不表示能量密度； 3） (r) 为空间中自由电荷分布； 4）积分范围为整个空间，但可退化到电荷分布区域。 2、带电导体系统总能量 若电量为 q 的电荷分布在导体上，导体电位为 (r) ，空间总静电场能量为 We q 2 1 = i 导体所带电量 N 个导体， = i We qii 2 1 i 导体电位 二、 电场能量密度 = • + • = • − • = = • s v v v v e D ds D Edv D D dv W r r dv D r dv 2 1 [ ] 2 1 [ ] 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1
D∝=2dsxr→[D·q [D·]·ds→0 W D(F)·E(Fd =-D·E=-EE 电场能量密度 例3.16P10 三、静电力(虚位移法) W 虚功原理如下:设空间一定位形结构的带电体系,静电 能为W。假想该电荷体系的空间位形结构在静电力作 用下发生小的虚位移δ,静电力作的虚功为: δA=F8l(力为广义力) 该虚功等于电荷体系能量的减少 6A=△W=W一W △W=W-W 若系统与外界电源相连,外界电源供给的能量为dW, 则该系统的能量关系为aW,=Fg+dW 导体表面 1、恒电荷系统(带电系统电荷保持不变) 结合导体系能量表达式,静电力为 F=-vw 2v山2手E=∑手础 f 可得到单位导体表面积受到的静电力是 P 导体表面 含受力面元本身的电荷在内 其中到额为系统总电荷在导体表面处产生的电场 3、恒电位系统(导体电位保持不变) 外界电源供给的能量dm=)=∑9 系统的能量增量a=∑山为外界电源供给的能量的一半,另一半 则用于电场力做功,可得F=VH常量 例3.1.7
第一项： 2 2 1 1 1 , [ ] D ds r D ds r r r • , [ ] 0 s r D ds → • → 1 ( ) ( ) 2 e e v v = • = W D r E r dV w dV 1 1 2 2 2 w D E E e = • = 电场能量密度 例 3.1.6 P102 三、静电力(虚位移法) 虚功原理如下：设空间一定位形结构的带电体系，静电 能为 。假想该电荷体系的空间位形结构在静电力作 用下发生小的虚位移 ，静电力作的虚功为： (力为广义力) 该虚功等于电荷体系能量的减少 若系统与外界电源相连，外界电源供给的能量为 s dW ， 则该系统的能量关系为 s i i e dW F dg dW = + 1、恒电荷系统 （带电系统电荷保持不变） 结合导体系能量表达式，静电力为 可得到单位导体表面积受到的静电力是 含受力面元本身的电荷在内 其中 为系统总电荷在导体表面处产生的电场。 3、恒电位系统（导体电位保持不变） 外界电源供给的能量 1 1 ( ) N N s i i i i i i dW d q dq = = = = 系统的能量增量 1 1 2 N e i i i dW dq = = 为外界电源供给的能量的一半，另一半 则用于电场力做功，可得 F We = = 常量 例 3.1.7 δA= F l δ 1 1 d d d 2 2 | i i i e q c i si si s s s W s s s = = − = − = = F E f 1 2 = s | f E 导体表面 E|导体表面 1 2 = s | f E 导体表面 δl δl We We e e e We =We −We A W W W = = − We
32恒定电场分析(恒定电流空间中存在的电场) 恒定电场基本方程 基本量E、J 基本方程:有源无旋场VxE=0→「E·d=0 恒定电场空间中电荷分布不变9P=0由电流连续性方程, v·J+2)M=0=vh=0=f=0 J(r)=y(r),有V·(E)=0→V·E=0 均匀导电媒质,y=常数 由 V×E=0→E=-Vq (E)=0=,E=0 V2o=0 二、欧姆定律 体积元:电导率y,电场E 由欧姆定律=2→J·=5→=yE R →J=yE→E=J/y 单位矢量 讨论:1)在理想导体(y→∞)内,恒定电场为0; 2)恒定电场可以存在于非理想导体内; 3)在导电媒质内,恒定电场E和J的方向同。 三、焦耳定律 在导电媒质中,电场力使电荷运动,所以电场力要做功,设电荷量p△ 运动速度为v,则电场力在时间M所做的功为△ △w=F·d=pNVE·v△t 功率dP=W=。E△ 电场力做功,将电场能量转化为电荷运动机械能,最终以热量形式损耗掉
3.2 恒定电场分析（恒定电流空间中存在的电场） 一、恒定电场基本方程 基本量 E J 、 基本方程： 有源无旋场 = 0 • = 0 c E E dl 恒定电场空间中电荷分布不变 = 0 t 由电流连续性方程， = • = • = • + v v s dv Jdv J ds t ( J ) 0 0 0 • J = 0 J (r) E(r) = ，有 • ( E) = 0 • E = 0 均匀导电媒质， =常数 由 0 ( ) 0 0 0 2 = • = • = = = − E E E E 二、欧姆定律 体积元：电导率 ，电场 E 由欧姆定律 ˆ ˆ / U E dl I J ds J s E l R dl ds • = • = • = • ˆ ( ) s l ˆ = = = J E E J / 单位矢量 讨论：1）在理想导体 ( → ) 内，恒定电场为 0； 2）恒定电场可以存在于非理想导体内； 3）在导电媒质内，恒定电场 E 和 J 的方向同。 三、焦耳定律 在导电媒质中，电场力使电荷运动，所以电场力要做功，设电荷量 V ， 运动速度为 v ，则电场力在时间 t 所做的功为 w w = F • dl = VE • vt 功率 J E V t w dP = • = 电场力做功，将电场能量转化为电荷运动机械能，最终以热量形式损耗掉
导电媒质中单位体积功率损耗为 △P =J·E=2——焦耳定律的微分形式 体积为Ⅴ的导电媒质内的损耗功率为 P=E·J-—焦耳定律的积分形式 四、恒定电场边界条件 J的边界条件 E的边界条件 5E·d=0→E×=E2×分=En=E 电位边界条件 02=1an Y2 an=0 1-92 讨论:想8=gB2g互 g62y2 若y2→∞,则a→>0 △在理想导体表面上,E和了都垂直于边界面。 静电场和性质的比较: 相同点: 不同点 场性质相同,均为保守场; 1、源不同; 2、场不随时间改变 2、存在区域不同,静电场只能 3、均不能存在于理想导体内部。 存在于导体外,恒定电场可 以存在于非理想导体内 静电场 恒定电场 静电比拟 5Dd=0 J·ds=0 DeJ E·d=0 「E·dl=0 EAE E(>y J=yE CeG 33恒定磁场分析 331真空中恒定磁场基本方程
导电媒质中单位体积功率损耗为 2 J E E V P p = • = = ——焦耳定律的微分形式 体积为 V 的导电媒质内的损耗功率为 = • v P E Jdv ——焦耳定律的积分形式 四、恒定电场边界条件 J 的边界条件 n n s J ds J J n J J 1 2 0 1 2 • = 0 ( − ) • ˆ = = E 的边界条件 t t l E dl E1 n E2 n E1 E2 • = 0 ˆ = ˆ = 电位边界条件 − = = 1 2 0 1 1 2 2 n n 讨论： 2 1 2 1 2 2 1 1 = = tg tg tg tg 若 2 → ，则 1 →0 在理想导体表面上， E 和 J 都垂直于边界面。 静电场和性质的比较： 相同点： 不同点： 1、场性质相同，均为保守场； 1、源不同； 2、场不随时间改变； 2、存在区域不同，静电场只能 3、均不能存在于理想导体内部。 存在于导体外，恒定电场可 以存在于非理想导体内 。 静电场 恒定电场 静电比拟 D E E dl D ds l s = • = • = 0 0 J E E dl J ds l s = • = • = 0 0 C G E E D J 3.3 恒定磁场分析 3.3.1 真空中恒定磁场基本方程