第五章均匀平面波在无界空间中的传播 几个重要概念 理想媒质:导电率为零的媒质,也称无耗媒质。 平面波:波阵面为平面的电磁波 均匀平面波:等相面为平面,且在等相面上,电、磁场量的振幅、方向、相位处处相等 的电磁波 、亥姆霍兹方程的平面波解 无源区 0.J=0 均匀、各向同性理想媒质,V2E+k2E=0 OEOE OE +k2E=0 考虑沿z方向传播的均匀平面波 E→E(z)E,(2) H→H2()、H,(=) diE 则 k2E=0 d-e ,2+kE,=0 Ith =o d-H a2+kH,=0 二阶常微分方程,形式相同,解也相同。 其解:E2(x)=Ae+A1e一一解的复数形式 待定常数,由边界条件确定 E,(二,1)=Re(Ae+A2e)e"---瞬时表达式 +p)+E,m cos(at+ k=+,) 解的物理意义: 1)A EIm cos(ot-kz+u) 由图5.1.4可知,随时间t增加,波形向+z方向平移,故为表示向+方向传播的均匀 平面波函数,同理,e向-z方向传播的均匀平面波函数
第五章 均匀平面波在无界空间中的传播 几个重要概念 理想媒质：导电率为零的媒质，也称无耗媒质。 平面波：波阵面为平面的电磁波。 均匀平面波：等相面为平面，且在等相面上，电、磁场量的振幅、方向、相位处处相等 的电磁波。 一、亥姆霍兹方程的平面波解 无源区 = 0, J = 0 均匀、各向同性理想媒质， 0 2 2 E + k E = 0 2 2 2 2 2 2 2 + = + + k E z E y E x E 考虑沿 z 方向传播的均匀平面波， ( ) ( ) ( ) ( ) H H z H z E E z E z x y x y 、 、 则 0 2 2 2 + x = x k E dz d E 0 2 2 2 + y = y k E dz d E 0 2 2 2 + x = x k H dz d H 0 2 2 2 + y = y k H dz d H 二阶常微分方程，形式相同，解也相同。 其解： jkz jkz x E z A e A e 1 2 ( ) = + − ——解的复数形式 待定常数，由边界条件确定 cos( ) cos( ) ( , ) Re[( ) ] 1 1 2 2 1 2 = − + + + + = + − − − − E t k z E t k z E z t A e A e e m m jkz jkz j t x 瞬时表达式 解的物理意义： 1） cos( ) 1 1 − +1 − A e E t k z m jkz 由图 5.1.4 可知，随时间 t 增加,波形向+z 方向平移,故为表示向+z 方向传播的均匀 平面波函数,同理, jkz e 向-z 方向传播的均匀平面波函数
2)平面波解的物理意义 表示沿Z方向(+Z,-Z)传播的均匀平面波的合成波 传播特性 以+z方向传播的均匀平面波为例 E=ee ee-/(e-ooiE=eE cos(ot-kx+o) r=ex+e, y+e: k=ke 空间任意点矢径 k·F=kz=ke 沿+z方向传播的平面波 波的等相面是垂直于Z轴的平面且为常数。 1、频率:Q=2丌→∫= 周期:7=2x 波数k:k为2丌距离内包含的波长数(相位常数,波传播单位距离的相位变化) 波长:2=2x2 波矢量:k=KR:表示波传播方向的单位矢量。 3、相位速度(波速):波上任一固定点其相位为一恒定值,即o-kz= const dt k 关于相速的说明:1)相位速度仅与媒质特性有关; 2)真空中,y1=3×10(m/s)=光速 logo 4、场量E、H的关系 E=E H=V×(Enek“)=e V×e OB j×Ex
2) 平面波解的物理意义 表示沿 Z 方向(+Z,-Z)传播的均匀平面波的合成波. 二、传播特性 以+z 方向传播的均匀平面波为例 ˆ ˆ cos( ) ( ) = = − + − − E e E ee E e E t k x x xm j kz x xm 或 空间任意点矢径 k r k z ke r 沿 z方向传播的平面波 r e x e y e z k ke z x y z z • = = • + = + + = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 波的等相面是垂直于 Z 轴的平面且为常数。 1、 频率： 2 = 2 f f = 周期： 1 2 = = f T 2、 波数 k ： k为2 距离内包含的波长数（相位常数，波传播单位距离的相位变化） 波长： k f 2 2 1 = = = 波矢量： k kk ˆ = k ˆ ：表示波传播方向的单位矢量。 3、 相位速度（波速）： 波上任一固定点其相位为一恒定值，即 t − kz = const ， 1 = = = dt k dz v p 关于相速的说明：1）相位速度仅与媒质特性有关； 2）真空中， = = 310 ( / ) = 光速 1 8 0 0 0 v m s p r p p v v = r =1 4、 场量 E 、 H 的关系 j B t B e E E e jk r xm = − = − = − • jk r xm y jk r xm jk E e z E j H E e e − • − • − − = = ( ) ˆ H k E ey E ˆ ˆ = =
同理可推得=xk H==kxE →E、H、k三者相互垂直,且满足右手螺旋关系 5、本征阻抗(波阻抗) 均匀平面电磁波中电场幅度和磁场幅度之比为一定值,将其定义为媒质的本征阻抗。 7 真空:no o 120r≈377() 10 36丌 结论:在自由空间中传播的电磁波,电场幅度与磁场幅度之比为377。 6、能量密度和能流密度 理想媒质中均匀平面波的电场能量等于磁场能量。 电磁波的能量密度:w=wn+n=EE2=h 电磁波的能流密度:S=E×H=E×k×E=团k 7 平均能流密度§。=RExF]=1k 复数形式 讨论 Eoe E=E0co(om-kF+9)--实数形式 般情况:k=enk=e2kx+e,k,+ek=,F=ex+e,y+e k·F=k2x+k,y+k二
同理可推得 E H k ˆ = 说明： = H k E E H k = = ˆ 1 ˆ E H k 、 、ˆ 三者相互垂直，且满足右手螺旋关系。 5、 本征阻抗（波阻抗） 均匀平面电磁波中电场幅度和磁场幅度之比为一定值，将其定义为媒质的本征阻抗。 = = () H E 真空： 120 377 ( ) 10 36 1 4 10 9 7 0 0 0 = = = − − 结论：在自由空间中传播的电磁波，电场幅度与磁场幅度之比为 377。 6、 能量密度和能流密度 e m m e w w w H E E w E = = = = = 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 2 1 2 1 理想媒质中均匀平面波的电场能量等于磁场能量。 电磁波的能量密度： 2 2 w = we +wm = E = H 电磁波的能流密度： S E H E k E E k ˆ 1 ˆ 1 2 = = = 平均能流密度： S E H E k av ˆ 2 1 Re[ ] 2 1 2 * = = 讨论： = − • + − − = − − − • + 实数形式 复数形式 cos( ) 0 0 E E t k r E E e jk r j 一般情况： k e k e k e k e k r e x e y e z n x x y y z z x y z = ˆ = ˆ + ˆ + ˆ , = ˆ + ˆ + ˆ k r k x k y k z = x + y + z •
E=E。-(x+4=)p 沿任意方向传播的电磁波 E= Eo cos[ot-(k x+k,y+k =)+o 传输特性总结 1)E、H、k三者相互垂直,且满足右手螺旋关系; 2)电场、磁场的振幅不随传播距离增加而改变 3)电场、磁场同频率,同相位 4)电磁波的相速与频率无关 5)电场能量密度等于磁场能量密度。 例5.1.1,5.1.4,5.1.3 5.2波的极化 极化的定义 波的极化:指空间某固定位置处电场矢量随时间变化的特性。 极化的描述:用电场强度矢量E终端端点在空间形成的轨迹表示 二、极化的分类 直线极化:电场仅在一个方向振动,即电场强度矢量端点的轨迹是一条直线。 圆极化:电场强度矢量端点的轨迹是一个圆 椭圆极化:电场强度矢量端点的轨迹是一个椭圆。 注意:电磁波的极化方式由辐射源(即天线)的性质决定 三、极化的判断 两个相互正交的线极化波叠加,可得到不同极化方式的合成波。 由电磁波电场场量或磁场场量两个正交分量间的幅度和相位关系,可以判断波的极化 方式 设均匀平面电磁波向+Z方向传播,则一般情况下其电场可以表示为 E=E.E.+、E 式中,E=Ecos(m-kz+9) E=Em cos(ot-k=+,) 由于空间任意点处电场随时间的变化规律相同,故选取二=0点作为分析点,即 E=Em cos(@t +o,) 合成波的电场 cos(at+ou) 场量表达式中,Em、Em、Q2、9,的取值将决定波的极化方式 1、当92-9,=0或x时, E=E,+,E,=VE2+E,2=√Em2+Em2cos(+g)一振幅随时间变化 电场与x轴的夹角为
= − + + + = − + + + cos[ ( ) ] 0 ( ) 0 E E t k x k y k z E E e x y z j k x k y k z j x y z 沿任意方向传播的电磁波 传输特性总结： 1） E H k 、 、 ˆ 三者相互垂直，且满足右手螺旋关系； 2）电场、磁场的振幅不随传播距离增加而改变； 3）电场、磁场同频率，同相位； 4）电磁波的相速与频率无关； 5）电场能量密度等于磁场能量密度。 例 5.1.1 ，5.1.4 ，5.1.3 5.2 波的极化 一、极化的定义 波的极化：指空间某固定位置处电场矢量随时间变化的特性。 极化的描述：用电场强度矢量 E 终端端点在空间形成的轨迹表示。 二、极化的分类 直线极化：电场仅在一个方向振动，即电场强度矢量端点的轨迹是一条直线。 圆极化：电场强度矢量端点的轨迹是一个圆。 椭圆极化：电场强度矢量端点的轨迹是一个椭圆。 注意：电磁波的极化方式由辐射源（即天线）的性质决定。 三、极化的判断 两个相互正交的线极化波叠加，可得到不同极化方式的合成波。 由电磁波电场场量或磁场场量两个正交分量间的幅度和相位关系，可以判断波的极化 方式。 设均匀平面电磁波向+Z 方向传播，则一般情况下其电场可以表示为 x x yEy E = e ˆ E + e ˆ 式中， cos( ) cos( ) y ym y x xm x E E t kz E E t kz = − + = − + 由于空间任意点处电场随时间的变化规律相同，故选取 z = 0 点作为分析点，即 cos( ) cos( ) y ym y x xm x E E t E E t = + = + 合成波的电场 场量表达式中， Exm、Eym、 x、 y 的取值将决定波的极化方式。 1、 当 x − y = 0 或 时， ˆ ˆ cos( ) 2 2 2 2 E = exEx + eyEy = Ex + Ey = Exm + Eym t + ---振幅随时间变化 电场与 x 轴的夹角为：
E E cig Irate 结论:当91-9,=0或z时,电磁波为线极化波。 且E=E时 E q2) E,= E coS(o+q2土)=干EmSm(ot+q2) 合成电场的模及其X轴的夹角为 E=√E2+E,2=|园= = const E 9)(,-9,=%2 +(q,-, 合成电场矢量终端形成轨迹为一圆,电场矢量与X轴夹角随时间变化而改变 当9,-9n=x且En=E时,可以判断出电场矢量终端运动方向与电磁 波传播方向满足左手螺旋关系一一左旋圆极化波。 当q,-,= 且E=E时,电场矢量终端运动方向与电磁波传播 方向满足右手螺旋关系一一右旋圆极化波 说明:上述结论适用于沿+Z方向传播的均匀平面波。 3、其他情形 若令91=0,0,=9则 Er=Emm cos(ot) E,=Eym cos(ot-p)=Eym( cos at cos o+ sin ot sn p) 消去t, EE EE E →(-)2+(2x)2-22·cosg=sin2g EE
− = − = = − = = = ( ) ( 0) x y xm ym x y xm ym x y const E E arctg const E E arctg E E arctg 结论：当 x − y = 0 或 时，电磁波为线极化波。 2、 当 y − x = 且 Exm = Eym 2 时， ) sin( ) 2 cos( cos( ) y ym x ym x x xm x E E t E t E E t = + = + = + 合成电场的模及其 X 轴的夹角为： + − = − − + − = = = = + = = ) 2 ( ) 2 ( ) ( 2 2 2 x y x x y x x y x y xm t t E E arctg E E E E E const 合成电场矢量终端形成轨迹为一圆，电场矢量与 X 轴夹角随时间变化而改变。 当 2 y x xm ym E E − = = 且 时，可以判断出电场矢量终端运动方向与电磁 波传播方向满足左手螺旋关系——左旋圆极化波。 当 y − x = − 且 Exm = Eym 2 时，电场矢量终端运动方向与电磁波传播 方向满足右手螺旋关系——右旋圆极化波。 说明：上述结论适用于沿+Z 方向传播的均匀平面波。 3、 其他情形 若令 x = 0, y = 则 E E cos(t) E E cos(t ) E (cost cos sin tsin ) x = xm y = ym − = ym + 消去 t, 2 2 2 2 cos 1 ( ) sin ( ) ( ) 2 cos sin y x x ym xm xm y y x x ym xm xm ym E E E E E E E E E E E E E E = + − + − • =
结论:两个频率相同、传播方向相同的正交电场分量的振幅和相位是任意的,则其合 成波为椭圆极化波 说明:圆极化波和线极化波可看作是椭圆极化波的特殊情况。例5.2.1、5.2.2书P203 5.3导电媒质中的均匀平面波 导电媒质中的波动方程及其解 1、导电媒质中的波动方程 在均匀的导电媒质区域中,麦氏方程为 方程可以改写为 JO(E+E=joe →V·E=-V·(V×H)=0在均匀媒质中,即使J≠0,但ρ=0 引入E后,麦氏方程为 EV×E=-io V·H=0 V·E=0 推得导电媒质中的波动方程为 V2E+02E:E=0v2E+k:2E=0 V2H+OuE H=0 VH+k2H=0 k2=02uE。=O2E-j0H→复波数 2、波动方程的解 比较损耗媒质与理想媒质中的波动方程可知:方程形式完全相同,差别仅在 于,损耗媒质中波动方程对应于沿+轴方向传播的均匀平面波为 E=e,Eme,式中,k。=Vo3AE 令y=jB 损耗媒质中波动方程的解可写为 =ee -j(B-ja)= E 写成实数形式(瞬时形式),得E(-,1)=, E cos(o-B2) 3、导电媒质中的平面波的传播特性 波的振幅和传播因子 传播因子:e为均匀平面波(行波) 振幅:Ee随着波传播(z增加),振幅不断减小;
结论：两个频率相同、传播方向相同的正交电场分量的振幅和相位是任意的，则其合 成波为椭圆极化波。 说明：圆极化波和线极化波可看作是椭圆极化波的特殊情况。例 5.2.1、5.2.2 书 P203 5.3 导电媒质中的均匀平面波 一、导电媒质中的波动方程及其解 1、 导电媒质中的波动方程 在均匀的导电媒质区域中，麦氏方程为 H E j E = + 方程可以改写为 ( ) 0 0 0 1 ( ) • = • = = = + = H 在均匀媒质中，即使J ，但 j E E j E j H j c c 引入 c 后，麦氏方程为 • = 0 • = 0 = = − H E H j cE E j H 推得导电媒质中的波动方程为： + = + = + = + = 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 H k H E k E H H E E c c c c kc = c = − j H →复波数 2 2 2 2、 波动方程的解 比较损耗媒质与理想媒质中的波动方程可知：方程形式完全相同，差别仅在 于 ，损耗媒质中波动方程对应于沿+Z 轴方向传播的均匀平面波为: c c jk z x xm E e E e k c 2 = ˆ ,式中， = 令 = j 损耗媒质中波动方程的解可写为 j z z x xm j j z x xm E e E e e E e e − − − − = ˆ = ˆ ( ) 写成实数形式(瞬时形式),得 E(z,t) e ˆ E e cos( t z) z x xm = − − 3、 导电媒质中的平面波的传播特性 波的振幅和传播因子 传播因子： j z e − 为均匀平面波（行波）; 振幅： z xm E e − 随着波传播（z 增加）,振幅不断减小;
振幅因子和相位因子 α:只影响波的振幅,故称为振幅因子 只影响波的相位,故称为相位因子,其意义与k相同,即为损耗媒质中 的波数。 由k的表示,可得 2aB=ouo B= +(+ 相位速度(波速): O1 c 在理想媒质中,vp 在损耗媒质中,=0与波的频率有关。 色散效应:波的传播速度(相速)随频率改变而改变的现象。具有色散效应的波 称为色散波。 结论:导电媒质(损耗媒质)中的电磁波为色散波。 4、场量E、H的关系 可以推知,在导电媒质中,场量E、H之间的关系与在理想介质中场量间关系相 E=n2H×k k为波传播方向 nc 为导电媒质本征阻抗 讨论:1)E、Hk三者相互垂直,且满足右手螺旋关系; 2)n =nele n -)2] o8
振幅因子和相位因子： ：只影响波的振幅，故称为振幅因子； ：只影响波的相位，故称为相位因子，其意义与 k 相同，即为损耗媒质中 的波数。 由 c k 的表示，可得 [ 1 ( ) 1] 2 [ 1 ( ) 1] 2 2 2 2 2 2 2 = + + = + − = − = 相位速度（波速）： 在理想媒质中， f c k v p = = = 1 ； 在损耗媒质中， v p = 与波的频率有关。 色散效应:波的传播速度（相速）随频率改变而改变的现象。具有色散效应的波 称为色散波。 结论：导电媒质（损耗媒质）中的电磁波为色散波。 4、 场量 E H 、 的关系 可以推知，在导电媒质中，场量 E H 、 之间的关系与在理想介质中场量间关系相 同，即 E H k k c ˆ ˆ = 为波传播方向 C C c H k E = = ˆ 1 为导电媒质本征阻抗 讨论：1） E H k 、 、 ˆ 三者相互垂直，且满足右手螺旋关系； 2） j arctg c c c e j 2 1 = − = = 2 2 1/ 4 1 ( ) [1 ( ) ] − = + c
在导电媒质中,电场和磁场在空间中不同相。电场相位超前磁场相位αrc!g 2 5、能量密度与能流密度 平均电场能量密度:W=Re[E,E·E]= 平均磁场能量密度: N on y Relph.H*=uMm -2a-EF2me-2c[1+()1 o8 结论:导电媒质中均匀平面波的磁场能量大于电场能量。 电磁波的平均能流密度:sl E×H*]=k cOS 无界导电媒质中均匀平面电磁波的传输特性总结: 1)均匀平面电磁波为横电磁波(TEM波),E、H、k三者满足右手螺旋关系 2)电磁波的幅度随传播距离的增加而呈指数规律减少; 3)电磁场不同相,电场相位超前于磁场相位; 4)电磁波是色散波,波的相速与频率有关; 5)磁场能量大于电场能量。 二、媒质导电性对场的影响 对电磁波而言,媒质的导电性的强弱由一—决定, >>1良导体 1,则a=1o=√,V2ou=ma ne 重要性质:在良导体中,电场相位超前磁场相位 2、趋肤效应与趋肤深度
在导电媒质中，电场和磁场在空间中不同相。电场相位超前磁场相位 arctg 2 1 。 5、 能量密度与能流密度 平均电场能量密度： z weav cE E E xme 2 2 4 Re[ *] 4 1 − = • = 平均磁场能量密度： [1 ( ) ] 4 4 Re[ *] 4 1 2 2 2 2 2 2 = • = = + − − z xm z c xm mav e E e E w H H 结论：导电媒质中均匀平面波的磁场能量大于电场能量。 电磁波的平均能流密度 ： cos 2 ˆ Re[ *] 2 1 2 2 z c m av e E S E H k − = = 无界导电媒质中均匀平面电磁波的传输特性总结： 1）均匀平面电磁波为横电磁波（TEM 波）， E H k 、 、 ˆ 三者满足右手螺旋关系； 2）电磁波的幅度随传播距离的增加而呈指数规律减少； 3）电磁场不同相，电场相位超前于磁场相位； 4）电磁波是色散波，波的相速与频率有关； 5）磁场能量大于电场能量。 二、媒质导电性对场的影响 对电磁波而言，媒质的导电性的强弱由 决定， 半导体 弱导体 良导体 1 1 1 媒质导电性的强弱是一个相对的概念，它与电磁波的频率有关。 1、 良导体中的电磁波 良导体 1 ，则 = f 2 1 ， = f 2 1 4 1 1 j c e j j j = − = − = 重要性质：在良导体中，电场相位超前磁场相位 4 。 2、 趋肤效应与趋肤深度
在良导体中,衰减因子a≈√0,对于一般的高频电磁波(GHz),当媒质导电 率较大时,α往往很大,电磁波在此导电媒质中传播很小的距离后,电磁场的振幅 将衰减到很小 因此,电磁波只能存在于良导体表层附近,其在良导体内激励的高频电流也只存 在于导体表层附近,这种现象称为趋肤效应 趋肤深度(穿透深度):δ电磁波穿入良导体中,当波的幅度下降为表面处振幅的 1/e时,波在良导体中传播的距离。 6表征良导体中趋肤效应的强弱。 =l/e→o=1/a 良导体中:δ=-≈ 表面电阻:n2(1+,/0 =R+Jx R 厚度为δ的导体单位面积的电阻 弱导体中电磁波 B≈0、 在弱导电媒质中,仍存在能量损耗,波的相位常数近似等于理想媒质中波的相位 常数 例5.3.1 5.4色散和相速 相速 表示波的恒定相位点推进的速度,即为白波传播的速度 6(k为波速) 理想媒质:B=k=0√AE此时,相速是与频率无关的常数 损耗媒质:由于相位常数β为与频率有关的常数,相速也与频率相关——即损耗媒质 为色散媒质 群速 单一频率的电磁波波不载有任何有用信息,只有由多个频率的正弦波叠加而成 的电磁波才能携带有用信息 群速:合成信号包络传播的速度,它代表信号能量的传播速度
在良导体中，衰减因子 f ，对于一般的高频电磁波（GHz）,当媒质导电 率较大时, 往往很大,电磁波在此导电媒质中传播很小的距离后,电磁场的振幅 将衰减到很小. 因此, 电磁波只能存在于良导体表层附近,其在良导体内激励的高频电流也只存 在于导体表层附近,这种现象称为趋肤效应. 趋肤深度（穿透深度）： 电磁波穿入良导体中，当波的幅度下降为表面处振幅的 1/ e 时，波在良导体中传播的距离。 表征良导体中趋肤效应的强弱。 f e e 1 = 1/ = 1/ = − 良导体中： 2 1 1 = = 表面电阻： c s s R jx f + j = + (1 ) 1 = = f Rs 厚度为 的导体单位面积的电阻 3、 弱导体中电磁波 1 ， 2 ， k 在弱导电媒质中，仍存在能量损耗，波的相位常数近似等于理想媒质中波的相位 常数。 例 5.3.1 5.4 色散和相速 一、相速 表示波的恒定相位点推进的速度，即为白波传播的速度。 v p = （ k 为波速） 理想媒质： = k = 此时，相速是与频率无关的常数 损耗媒质：由于相位常数 为与频率有关的常数，相速也与频率相关——即损耗媒质 为色散媒质。 二、 群速 单一频率的电磁波波不载有任何有用信息，只有由多个频率的正弦波叠加而成 的电磁波才能携带有用信息。 群速：合成信号包络传播的速度，它代表信号能量的传播速度—— g v
设两个振幅均为A_,角频率分别为+△o和O-△O的同向行波在空间中合成 调制波,若△a0时,v>"n反常色散 P<0时,Vg<v 正常色散。 do 例5.2.25.3.1
设两个振幅均为 Am ，角频率分别为 + 和 − 的同向行波在空间中合成一 调制波，若 ，由于频率不同，则由 = 知两行波波数不同，设分别为 1 = + ， 2 = − ，则行波表达式为 j t j k z m E A e e ( ) ( ) 1 + − + = j t j k z m E A e e ( ) ( ) 2 − − − = 合成波为 ( ) 实数形式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 cos( ) [ ] j t kz m j t k j t kz j t kz m j t j k z m j t j k k z m A t k z e A e e e E E E A e e A e e − − − − − + − + − − − = − = + = + = + 合成波振幅，包络为以频率 传播的低频行波。 行波因子，表示向+z 方向传播的行波。 包络传播相位速度（群速）为：（由 t − z = 常数 ） d dv v v v v d dv v v d dv v d d v d d dt dz v p p p g g p p p p p p g − = = + = + = = = 1 ( ) 讨论： 1、 = 0 d dv p 时， g p v = v ，在理想媒质中相速等于群速，波无色散； 2、 0 d dv p 时， g p v v 反常色散； 3、 0 d dv p 时， g p v v 正常色散。 例 5.2.2 5.3.1