电动力学习题参考 第六章狭义相对论 1.证明牛顿定律在伽利略交换下是协变的,麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。 证明:根据题意,不妨取如下两个参考系,并取分别固着于两参考系的直角坐标系,且令t =0时,两坐标系对应轴重合,计时开始后,∑系沿∑系的x轴以速度v作直线运动 根据伽利略变换,有: ▲ x'=x-vt Jy'=y z'=z t'=t 1)牛顿定律在伽利略变换下是协变的: 以牛顿第二定律为例:F=m 在Σ系下,:F=m dx dt2 x'=x-vt,y'=y, z'=z,t'=t F= [x'+, y', =]mdx'F dt'2 dt ,d2x' 可见,在∑系中,牛顿定律有相同的形式,F=m2 所以,牛顿定律在伽利略变换下是协变的。 2)麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的 以真空中的麦氏方程VE=-为例,设有一正电荷q位于O点,并随∑系运动, ot 在中,q是静止的,故E'=e,B=0 4E0 aB 于是,方程VE=成立。 将E'=q写 写成直角分量形式 4Eor 2 E'=4 x ey+ 4E0(x2+y2+z2) + x2+y2+z2) z e 2,2 (x"*+y + 2) -1
电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 1 - 1 证明牛顿定律在伽利略交换下是协变的 麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的 证明 根据题意 不妨取如下两个参考系 并取分别固着于两参考系的直角坐标系 且令 t 0 时 两坐标系对应轴重合 计时开始后 Σ′ 系沿Σ 系的 x 轴以速度 v 作直线运动 根据伽利略变换 有 ′ = ′ = ′ = ′ = − t t z z y y x x vt 1 牛顿定律在伽利略变换下是协变的 以牛顿第二定律为例 2 2 dt d x F m v v = 在Σ 系下 2 dt dx F m && v v = Q x′ = x − vt, y′ = y,z′ = z,t′ = t F dt d x m dt d x vt y z F m r v v = ′ ′ ′ = ′ ′ ′ + ′ ′ ∴ = 2 2 2 2 [ , , ] 可见 在Σ′ 系中 牛顿定律有相同的形式 2 2 dt d x F m ′ ′ ′ == ′ v v 所以 牛顿定律在伽利略变换下是协变的 2 麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的 以真空中的麦氏方程 t B E ∂ ∂ ∇ × = − v v 为例 设有一正电荷 q 位于O′点 并随Σ′ 系运动 在Σ′ 中 q 是静止的 故: r e r q E ′ ′ ′ = v v 2 4πε 0 , B′ = 0 v 于是 方程 t B E ∂ ′ ∂ ′ ∇′× ′ = − r v 成立 将 r e r q E ′ ′ ′ = v v 2 0 4πε 写成直角分量形式; + ′ + ′ + ′ ′ + ′ + ′ + ′ ′ ′ = x′ ey′ x y z y e x y z q x E v v v 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 0 ( ) ( ) [ 4πε ] ( ) 2 3 2 2 2 z e x y z z ′ ′ + ′ + ′ ′ + v z o x y z’ o’ x’ Σ Σ′ y’ r v r′ v v v
电动力学习题参考 第六章狭义相对论 由伽利略变换关系有 在∑中 E= 4760[(x-Vt)2+y+ [(x-v)+y2+ ⅴxE=-_9 [(y-) 4nEo[(x-vo+y+2 )e:] 可见V×E不恒为零。 又在Σ系中观察,q以速度vex运动,故产生电流J=qv 于是有磁场Bqy(R是场点到x轴的距离 2TR 于是V×E≠ 故麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。 2.设有两根互相平行的尺,在各自静止的参考系中的长度均为l,它们以相同的速率v相 对于某一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子,求站在一根尺子上测量另一根 尺子的长度。 解:根据相对论速度交换公式,可得Σ2系 Z 相对于∑的速度大小是: ∑ 在∑1系中测量∑2系中静长为l0的 尺子的长度为:
电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 2 - 由伽利略变换关系有 在Σ 中 + − + + + − + + − = x y e x vt y z y e x vt y z q x vt E v v v 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 0 [( ) ] [( ) ) { 4πε z e x vt y z z v 2 3 2 2 2 [( − ) + + ) + − + − + + ∴∇ × = − x y z e x vt y z q E v v [( ) [( ) ] 3 4 2 3 2 2 2 πε 0 ( ) ( ) ] y z z x vt e x vt y e v v + − + + − − 可见 E v ∇ × 不恒为零 又在Σ 系中观察 q 以速度 v x e v 运动 故产生电流 x J qve v v = 于是有磁场 R qv B π µ 2 0 = R 是场点到 x 轴的距离 此时 有 = 0 ∂ ∂ t B v 于是 t B E ∂ ∂ ∇ × ≠ − v v 故麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的 2 设有两根互相平行的尺 在各自静止的参考系中的长度均为 0l 它们以相同的速率 v 相 对于某一参考系运动 但运动方向相反 且平行于尺子 求站在一根尺子上测量另一根 尺子的长度 解 根据相对论速度交换公式 可得 ′ Σ2 系 相对于 ′ Σ1 的速度大小是 2 2 1 2 c v v v + ′ = ∴在 ′ Σ1 系中测量 ′ Σ2 系中静长为 0l 的 尺子的长度为 O Z X ′ 2 x ′ 2 o ′ 2 z ′ 1 z v v ′ 1 o ′ 1 x ′ Σ2 ′ Σ1 v v
电动力学习题参考 第六章狭义相对论 代入v 即得l=10—C2,此即是在Σ1系中观测到的相对于∑2静止的尺子的长度。 3.静止长度为l的车厢,以速度ⅴ相对于地面s运行,车厢的后壁以速度uo向前推出 个小球,求地面观测者看到小球从后壁到前壁的时间。 解:根据题意,取地面为参考系S,车厢为参考系S 于是相对于地面参考系S, 车长:l=l 车速 球速:l 故在地面参考系S中观察,小球在此后,由车后壁到车前壁 l0(1+-"2) 4.一辆以速度ⅴ运动的列车上的观察者,在经过某一高大建筑物时,看见其避雷针上跳起 一脉冲电火花,电光迅速传播,先后照亮了铁路沿线上的两铁塔,求列车上观察者看到的 两铁塔被电光照亮的时间差。设建筑物及两铁塔都在一直线上,与列车前进方向一致,铁 塔到建筑物的地面距离已知都是l。 解:由题意,得右示意图。取地面为静止的参考系∑,列车为运动的参考系∑ 取ⅹ轴与x’轴平行同向,与列车车速方向一致,令t=0时刻为列车经过建筑物时,并 令此处为∑系与∑的原点,如图 在∑系中,光经过t=0的时间后,同时照亮左右两塔 Z(z) 左 但在∑系中,观察两塔的位置为 x右=lv-Bhb
电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 3 - 2 2 0 1 c v l l ′ = − 代入 2 2 1 2 c v v v + ′ = 即得 2 2 2 2 0 1 1 c v c v l l + − = 此即是在 ′ Σ1 系中观测到的相对于 ′ Σ2 静止的尺子的长度 3 静止长度为 0l 的车厢 以速度 v 相对于地面 s 运行 车厢的后壁以速度 0 u 向前推出一 个小球 求地面观测者看到小球从后壁到前壁的时间 解 根据题意 取地面为参考系 S 车厢为参考系 S′ 于是相对于地面参考系 S 车长 2 2 0 1 c v l = l − 车速 v 球速 2 0 0 1 c u v u v u + + = 故在地面参考系 S 中观察 小球在此后 由车后壁到车前壁 2 2 0 2 0 0 2 0 0 2 2 0 1 (1 ) 1 1 c v u c u v l v c u v u v c v l u v l t − + = − + + − = − ∆ = 4.一辆以速度 v 运动的列车上的观察者 在经过某一高大建筑物时 看见其避雷针上跳起 一脉冲电火花 电光迅速传播 先后照亮了铁路沿线上的两铁塔 求列车上观察者看到的 两铁塔被电光照亮的时间差 设建筑物及两铁塔都在一直线上 与列车前进方向一致 铁 塔到建筑物的地面距离已知都是 0l 解 由题意 得右示意图 取地面为静止的参考系Σ 列车为运动的参考系Σ′ 取 x 轴与 x′ 轴平行同向 与列车车速方向一致 令t = 0 时刻为列车经过建筑物时 并 令此处为Σ 系与Σ′ 的原点 如图 在Σ 系中 光经过 c l t 0 = 的时间后 同时照亮左右两塔 但在Σ′ 系中 观察两塔的位置为 (1 ) 1 2 2 0 0 0 c v c v l x l v vl − − 右 ′ = − β = 左 c c 右 Z(z’) o o’ Σ′ v 0 x = −l x x’ 0 x = l
电动力学习题参考 第六章狭义相对论 x=-4y-Mb=- =右-01==(1 lo 时间差为: △t (1+-)-( 5.有一光源S与接收器R相对静止,距离为l,S一R装置浸在均匀无限的液体介质(静 止折射率n)中,试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器收到讯号所经历的时间。 (1)液体介质相对于S一R装置静止 (2)液体沿着S一R连线方向以速度ⅴ运动 (3)液体垂直于S-R连线方向以速度v运动 解:1)液体介质相对于S一R装置静止时: 2)液体沿着S一R连线方向以速度ⅴ运动: 取固着于介质的参考系∑,Σ系沿x轴以速度v运动,在∑’系中测得光速在 各个方向上均是 C 由速度变换关系得在∑系中,沿介质运动方向的光速 (1+一) R接收到讯号的时间为△t2 3)液体垂直于S一R连线方向以速度v运动 同(2)中取相对于S-R装置静止的参考系为∑系,相对于介质静止的系为∑′ 系,如下建立坐标
电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 4 - (1 ) 1 2 2 0 0 0 c v c v l x l v vl + − 左 ′ = − − β = − (1 ) 1 2 2 0 c v c v l d x o − − ∴ 右 ′ = 右 ′ − ′ = (1 ) 1 2 2 0 c v c v l d x o + − 左 ′ = 左 ′ ′ = 时间差为 2 2 2 0 2 2 0 1 2 (1 ) (1 ) 1 1 c v c vl c v c v c c v l c d c d t − = + − − − = ′ − ′ ∆ = 左 右 5. 有一光源 S 与接收器 R 相对静止 距离为 l S R 装置浸在均匀无限的液体介质 静 止折射率 n 中 试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器收到讯号所经历的时间 1 液体介质相对于 S R 装置静止 2 液体沿着 S R 连线方向以速度 v 运动 3 液体垂直于 S R 连线方向以速度 v 运动 解 1 液体介质相对于 S R 装置静止时 c nl t 0 ∆ 1 = 2 液体沿着 S R 连线方向以速度 v 运动 取固着于介质的参考系Σ′ Σ′ 系沿 x 轴以速度 v 运动 在Σ′ 系中测得光速在 各个方向上均是 n c 由速度变换关系得在Σ 系中 沿介质运动方向的光速 cn v v n c v + + ′ = 1 ∴R 接收到讯号的时间为 v n c l cn v t + + ∆ = 0 2 (1 ) 3 液体垂直于 S R 连线方向以速度 v 运动 同 2 中取相对于 S-R 装置静止的参考系为Σ 系 相对于介质静止的系为Σ′ 系 如下建立坐标
电动力学习题参考 第六章狭义相对论 1 R 可见,u'=- 在∑系中,测得y方向上的速度: (-v) 6.在坐标系∑中有两个物体都以速度u沿x轴运动,在∑系看来,它们一直保持距离1不 变。今有一观察者以速度v沿ⅹ轴运动,他看到这两个物体的距离是多少? 解:根据题意,Σ′系,取固着于观察者上的参考系 又取固着于A,B两物体的参考系为∑”系 在∑中,AB以速度u沿x轴运动,相距为,在∑”系中,A,B静止相距为l,有: I=lo l 又Σ系相对于Σ以速度v沿ⅹ轴运动,∑”系相对于∑系以速度u沿ⅹ轴运动 由速度合成公式,∑”系相对于∑系以速度 沿x轴运动 在∑系中看到两物体相距: 7.一把直尺相对于Σ系静止,直尺与ⅹ轴交角θ,今有一观察者以速度ⅴ沿ⅹ轴运动,他 看到直尺与x轴交角O′有何变化?
电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 5 - 可见 u v ′ x = − 2 2 2 v n c u′ y = − t ∴在Σ 系中 测得 y 方向上的速度 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 1 1 1 c v v n c c v v c v v n c c u v c v u u x y y − − = − ⋅ + − − = ′ + ′ − = 2 2 2 2 2 0 3 1 v n c c v l t − − ∴∆ = 6. 在坐标系Σ 中有两个物体都以速度 u 沿 x 轴运动 在Σ 系看来 它们一直保持距离 l 不 变 今有一观察者以速度 v 沿 x 轴运动 他看到这两个物体的距离是多少 解 根据题意 Σ′ 系 取固着于观察者上的参考系 又取固着于 A B 两物体的参考系为Σ′′系 在Σ 中 A,B 以速度 u 沿 x 轴运动 相距为 l 在Σ′′系中 A B 静止相距为 0l 有 2 2 0 1 c u l = l − 2 2 0 1 c u l l − ∴ = 又Σ′ 系相对于Σ 以速度 v 沿 x 轴运动 Σ′′系相对于Σ 系以速度 u 沿 x 轴运动 由速度合成公式 Σ′′系相对于Σ′ 系以速度 2 1 c uv u v v − − ′ = 沿 x 轴运动 ∴在Σ′ 系中看到两物体相距 2 2 2 2 2 0 1 1 1 c uv c v l c v l l − − = ′ ′ = − 7. 一把直尺相对于Σ 系静止 直尺与 x 轴交角θ 今有一观察者以速度 v 沿 x 轴运动 他 看到直尺与 x 轴交角θ ′有何变化 y y’ o x’ o’ s x u y v ′ R u v x ′ =− v n c
电动力学习题参考 第六章狭义相对论 解:取固着于观察者上的参考系为∑ 在2系中:1x=lcos6,=lsin6 在∑系中,l=1 =Icos 0 l,=l=Sine 8两个惯性系∑和∑中各放置若干时钟,同一惯性系的诸时钟同步,∑相对于∑以速度 ⅴ沿x轴运动,设两系原点相遇时,t0=0=0,问处于∑系中某点(x,y,z)处的时钟 与∑系中何处时钟相遇时,指示的时刻相同?读数是多少? 解:根据变换关系,得 (4) 设∑系中P(x,y,=,1)处的时钟与∑′系中Q(x',y’,x,)处时钟相遇时,指示时间相同: 在(4)式中,有t=t,解得:x=(1 2)代入(1)式, 得 相遇时:t=t -(1+ 即为时钟指示的时刻。 9.火箭由静止状态加速到v=√0.999,设瞬时惯性系上加速度为=20m:s2,问按
电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 6 - 解 取固着于观察者上的参考系为Σ′ 在Σ 系中 l x = l cosθ l y = lsinθ 在Σ′ 系中 2 2 2 2 1 cos 1 c v l c v l l x = x − = − ′ θ l y = l y = lsinθ ′ 2 2 1 c v tg l l tg x y − = ′ ′ ∴ ′ = θ θ 8. 两个惯性系Σ 和Σ′ 中各放置若干时钟 同一惯性系的诸时钟同步 Σ′ 相对于Σ 以速度 v 沿 x 轴运动 设两系原点相遇时 0 0 0 =′ t = t 问处于Σ 系中某点 x y z 处的时钟 与Σ′ 系中何处时钟相遇时 指示的时刻相同 读数是多少 解 根据变换关系 得 − − ′ = ′ = ′ = − − ′ = (4) 1 (3) (2) (1) 1 2 2 2 2 2 LL LLLL LLLL LL c v x c v t t z z y y c v x vt x 设Σ 系中 P(x, y,z,t) 处的时钟与Σ′ 系中Q(x′, y′,z′,t′)处时钟相遇时 指示时间相同 ∴在 4 式中 有t = t′ 解得 (1 1 ) 2 2 2 c v t v c x = − − 代入 1 式 得 x c v t v c x′ = − (1− 1− ) = − 2 2 2 相遇时 (1 1 ) (1 1 2 2 2 2 2 c v v x c v v c x t t = + − − − = ′ = 即为时钟指示的时刻 9 火箭由静止状态加速到v = 0.9999c 设瞬时惯性系上加速度为 2 20 − v = m ⋅s & v 问按 y o y’ o’ z z’ x x’ Σ v Σ′ P Q
电动力学习题参考 第六章狭义相对论 照静止系的时钟和按火箭内的时钟加速火箭各需要多少时间? 解:1)在静止系中,加速火箭 令静止系为∑系,瞬时惯性系为Σ系,且其相对于Σ系的速度为u,可知v,ν,同向 并令此方向为x轴方向 由ⅹ轴向上的速度合成有: (y是火箭相对于∑′系的速度) 在Σ系中,加速度为a===(1 a (a'如 dt 本题中a'=20m·s-2,而∑’系相对于火箭瞬时静止,∴l=V,v=0 a(1-7)为 得 100√099 =475年 10.一平面镜以速度ⅴ自左向右运动,一束频率为Oo,与水平线成b0夹角的平面光波自 左向右入射到镜面上,求反射光波的频率O及反射角,垂直入射的情况如何? 解:1)平面镜水平放置,取相对于平面镜静止的参考系为∑’系,取静止系为∑系,并令 入射光线在平面xoy内 在∑系中,有: 入射光线:ka= k cosco,kn= k sine0,ke=0,1=O 由变换关系,得Σ′系中的入射光线
电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 7 - 照静止系的时钟和按火箭内的时钟加速火箭各需要多少时间 解 1 在静止系中 加速火箭 令静止系为Σ 系 瞬时惯性系为Σ′ 系 且其相对于Σ 系的速度为 u 可知v v u v & v v , , 同向 并令此方向为 x 轴方向 由 x 轴向上的速度合成有 2 1 c uv v u v + ′ + = v′是火箭相对于Σ′ 系的速度 ∴在Σ 系中 加速度为 3 2 2 3 2 2 (1 ) (1 ) c uv a c u dt dv a ′ + ′ = = − ) dt dv a ′ ′ ′ = 本题中 2 20 − a′ = m ⋅s 而Σ′ 系相对于火箭瞬时静止 ∴u = v,v′ = 0 2 3 2 2 (1 ) c v a dt dv ∴a = = ′ − ∫ ∫ = ′ − ∴ c t a dt c v dv 0 0.9999 0 2 3 2 2 (1 ) 得 47.5 100 0.9999 = ′ = a c t 年 10 一平面镜以速度 v 自左向右运动 一束频率为ω0 与水平线成θ 0 夹角的平面光波自 左向右入射到镜面上 求反射光波的频率ω 及反射角θ 垂直入射的情况如何 解 1 平面镜水平放置 取相对于平面镜静止的参考系为Σ′ 系 取静止系为 Σ 系 并令 入射光线在平面 xoy 内 在Σ 系中 有 入射光线 0 0 0 kix = k cosθ , kiy = k sinθ , kiz = 0,ωi = ω 由变换关系 得Σ′ 系中的入射光线
电动力学习题参考 第六章狭义相对论 k. =v(k cos0 ksin e @,=v(Oo-wk cos8o) 在Σ系中,平面镜静止,由反射定律可得,反射光线满足 krr =v(k cos8o-2O0); kry =ksin Bo k Bo) 代入逆变换关系,得∑系中的反射光线满足 kr=v(kcos80-200)+2v(Oo-wk cosBo)]=k cosco k=ksin 8o k=0 @,=vvv(k cos8o--Oo)+v(oo -vk cos.)] 在Σ系中观察到:入射角=-0=反射角,O,=0.=0 若垂直入射,日0 ,以上结论不变。 2 3)镜面垂直于运动方向放置,同1)选择参考系,并建立相应坐标系 在Σ系中,入射光线满足:k=-kcos6,kn=- ksin e0,k=0.0,=o 由变换关系,得∑系中的入射光线 Oo =一kSln k=0 @,=voo-v(k cos0o)]=v(o,+vk cos8o) 在Σ系中,平面镜静止,由反射定律可得,反射光线满足: krr =-v(k cos00-200)=v(kcos00+2@o), ky =-ksin8o k2=0,0,=v(oo+wkcos8o) 代入逆变换关系,得∑系中的反射光线满足 8
电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 8 - = − ′ =′ = − ′ = − ′ ( cos ) 0 sin ( cos ) 0 0 0 0 2 0 ω ν ω θ θ ν θ ω vk k k k c v k k i iz iy ix 在Σ′ 系中 平面镜静止 由反射定律可得 反射光线满足 0; ( cos ) ( cos ); sin 0 0 0 2 0 0 ω ν ω θ ν θ ω θ k vk k k c v k k rz r rx ry = − ′ =′ =′ = − ′ 代入逆变换关系 得Σ 系中的反射光线满足 0 2 0 2 0 0 0 ν[ν ( cosθ ω ) ν (ω vk cosθ )] k cosθ c v c v k k rx = − + − = 0 kry = k sinθ = 0 rz k 0 2 0 0 0 0 ω =ν[ ν ( cosθ − ω ) +ν (ω − vk cosθ )] = ω c v v k r ∴在Σ 系中观察到 入射角 − 0 = 2 θ π 反射角 ωi = ω r = ω0 若垂直入射 2 0 π θ = 以上结论不变 3 镜面垂直于运动方向放置 同 1 选择参考系 并建立相应坐标系 在Σ 系中 入射光线满足 0 0 0 kix = −k cosθ , kiy = −k sinθ , kiz = 0,ωi = ω 由变换关系 得Σ′ 系中的入射光线 = − − = + ′ =′ = − ′ = − − ′ [ ( cos )] ( cos ) 0 sin ( cos ) 0 0 0 0 0 0 2 0 ω ν ω θ ν ω θ θ ν θ ω v k vk k k k c v k k i iz iy ix 在Σ′ 系中 平面镜静止 由反射定律可得 反射光线满足 0; ( cos ) ( cos ) ( cos ); sin 0 0 0 2 0 0 2 0 0 ω ν ω θ ν θ ω ν θ ω θ k vk k k c v k c v k k rz r rx ry = + ′ =′ = − ′ = − − − = + ′ 代入逆变换关系 得Σ 系中的反射光线满足
电动力学习题参考 第六章狭义相对论 kr =v(k cos 80+0o)+v(o+vk cos Bo) p,=vlv(kcos80+200)+voo+wk cos) 其中,k=.并令B= 反射光满足:反射角:1gO== sIn V-L(B+Cos 80)+P(1+Bcos 8o) 反射光频率:O=v2a(1+ Bcos)+B(B+cosO 如果垂直入射,0=0,于是,Σ系中会观察到:61=,=0 反射光频率:O=vo0(1+B)2 1l.在洛仑兹变换中,若定义快度y为 tanh y=B 1)证明洛仑兹变换矩阵可写为 00 ish 00 ishy 00 ch 2)对应的速度合成公式B= B+B” 可用快度表示为y=y+y 1+BB r00 iBr 0100 证明:1)ar 0010 9
电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 9 - [ ( cos ) ( cos )] ν ν θ 0 2 ω0 2 ν ω0 θ 0 vk c v c v k k rx = + + + 0 kry = −k sinθ = 0 rz k [ ( cos ) ( cos )] ω ν ν θ 0 2 ω0 ν ω0 θ 0 vk c v v k r = + + + 其中 . 0 c k ω = 并令 c v β = ∴反射光满足 反射角 [( cos ) (1 cos )] sin 0 0 2 0 ν β θ β β θ θ θ + + + = = rx ry k k tg 反射光频率 [(1 cos ) ( cos )] 0 0 0 2 ω =ν ω + β θ + β β + θ 如果垂直入射 0 θ 0 = 于是 Σ 系中会观察到 = = 0 θ i θ r 反射光频率 2 0 2 ω =ν ω (1+ β ) 11. 在洛仑兹变换中 若定义快度 y 为 tanh y = β 1 证明洛仑兹变换矩阵可写为 − = ishy chy chy ishy a 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 µν 2 对应的速度合成公式 β β β β β + ′ ′′ ′ + ′′ = 1 可用快度表示为 y = y′ + y′′ 证明 1 − = βγ γ γ βγ µν 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 i i a
电动力学习题参考 第六章狭义相对论 其中y=1 h -By-()-边yyh)-( (chy)--(shy)= 2 r=ch 又By=thy·chy=shy hy 00 ishy 0100 ishy 00 chy 2)速度合成公式:B=f+B 1+B可写为:m=物+b 1+thy'thy 由定义mhy2y,hy 2y 1+ thy'thy”e”=m(y+y thy=th(y+y),y=y+y 12.电偶极子P以速度节作匀速运动,求它产生得电磁势和场q,A,E,B 解:选随动坐标系∑,B⊥ 1 P. R 在∑系中,P产生的电磁势d4AnR,=0
电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 10 - 其中 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 chy shy chy chy thy shy c − = − = − = − = − = ω β γ 1 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 = − − + − = x −x x −x e e e e Q chy shy ∴γ = chy 又 βγ = thy ⋅ chy = shy − ∴ = ishy chy chy ishy a 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 µν 2 速度合成公式 β β β β β + ′ ′′ ′ + ′′ = 1 可写为 thy thy thy thy thy + ′ ′′ ′ + ′′ = 1 由定义 1 1 , 1 1 2 2 2 2 + − ′′ = + − ′ ′′ ′′ ′ ′ y y y y e e thy e e thy 得 ( ) 1 1 1 2( ) 2( ) th y y e e thy thy thy thy y y y y = ′ + ′′ + − = + ′ ′′ ′ + ′′ ′+ ′′ ′+ ′′ ∴thy = th( y′ + y′′), y = y′ + y′′ 12. 电偶极子 P0 v 以速度v v 作匀速运动 求它产生得电磁势和场 A E B v v v ϕ, , , 解 选随动坐标系Σ′ P v v v 0 ⊥ 在Σ′ 系中 P0 v 产生的电磁势 ~ , 0 ~ 4 1 3 0 0 = ⋅ ′ = A R P R v v v πε ϕ