第三章习题 3.1试求由五个原子组成的一维单原子晶格的格波频率,设原子质量 m=835×102kg,恢复力常数B=15Nm2。 32求证由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频谱分布函数可以表为 Plo 式中n=√4B/m是格波的最高频率,并求证它的振动模总数恰为N。 3.3设晶体由N个原子组成,试用德拜模型证明格波的频率分布函数为 9N 其中O,为格波的最高频率 34对双原子链,已知一种原子的质量m=835×102kg,另一种原子的质量 M=4m,力常数B=15Nm2,试求 (1)光学波的最高频率和最低频率O°和o°; (2)声学波的最高频率oa (3)相应的声子能量是多少eV (4)在300K可以激发多少频率为 nax Omn和Om的声子? (5)如果用电磁波来激发长光学波振动,试问电磁波的波长为多少? 3.5设有一维晶体,其原子的质量均为m,而最还邻原子间的力常数交替地等于B 和10B,且最近邻的距离为a/2。试画出色散关系曲线,并给出q=0和q=±na处的 36在一维双原子链中,如Mm>1,求证 12B SIn aVm*2M coS q
第三章 习 题 3.1 试求由五个原子组成的一维单原子晶格的格波频率，设原子质量 m = 8.35×10-27kg，恢复力常数β = 15Nm-1 。 3.2 求证由 N 个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频谱分布函数可以表为 2 1 22 )( 2 )( ωω π ωρ m −= N 式中 m = βω /4 m 是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为 N。 3.3 设晶体由 N 个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为 2 3 9 )( ω ω ωρ m N = 其中ω m 为格波的最高频率。 3.4 对双原子链，已知一种原子的质量m = 8.35×10-27kg，另一种原子的质量 M = 4m，力常数β = 15Nm-1，试求 （1）光学波的最高频率和最低频率 和 ； o ω max o ω min （2）声学波的最高频率 ； A ω max （3）相应的声子能量是多少 eV？ （4）在 300K 可以激发多少频率为 ， 和 的声子？ o ω max o ω min A ω max （5）如果用电磁波来激发长光学波振动，试问电磁波的波长为多少？ 3.5 设有一维晶体，其原子的质量均为 m，而最还邻原子间的力常数交替地等于β 和 10β，且最近邻的距离为 a/2。试画出色散关系曲线，并给出 q = 0 和 q = ±π/a 处的 ω(q)。 3.6 在一维双原子链中，如 M/m>>1，求证 qa M sin 2 1 β ω = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += qacos M m m 2 2 2 1 2β ω 1
37在一维双原子晶格振动的情况中,证明在布里渊区边界q=±处,声学支 格波中所有轻原子m静止,而光学支格波中所有重原子M静止,画出这时原子振动的 图像。 3.8设固体的熔点Tm对应原子的振幅为原子间距a的10%的振动,试推论,对于 维单原子链(原子质量为M)接近熔点时原子的振动频率为 2(50k 39证明用德拜近似,高温时晶格比热的更精确表示为 Cr=3Nk, 1- 3.10设晶格中每个振子的零点振动能为ho/2,试用德拜模型求三维晶格的零点 振动能。 3.11在德拜近似的基础上,讨论由一个N个原子组成的二维晶格的比热,证明在 低温下其比热正比于r 3.12设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势能为 l(r)= b为待定常数,平衡间距=3×10m,求线膨胀系数a。 313已知三维晶体在q≈0附近一支光学波的色散关系为 o(q)=0-(Aq2+Bq2+Cq2) 试求格波的频率密度风(o)
3.7 在一维双原子晶格振动的情况中，证明在布里渊区边界 a q 2 π ±= 处，声学支 格波中所有轻原子 m 静止，而光学支格波中所有重原子 M 静止，画出这时原子振动的 图像。 3.8 设固体的熔点Tm对应原子的振幅为原子间距a的 10%的振动，试推论，对于一 维单原子链（原子质量为M）接近熔点时原子的振动频率为 2 1 2 50 B ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = M Tk a m ω 3.9 证明用德拜近似，高温时晶格比热的更精确表示为 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= 2 20 1 13 T NkC D V B θ 3.10 设晶格中每个振子的零点振动能为hω 2/ ，试用德拜模型求三维晶格的零点 振动能。 3.11 在德拜近似的基础上，讨论由一个N个原子组成的二维晶格的比热，证明在 低温下其比热正比于T2 。 3.12 设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势能为 9 2 )( r b r e ru +−= b为待定常数，平衡间距r0 = 3×10-10 m，求线膨胀系数α。 3.13 已知三维晶体在 q≈0 附近一支光学波的色散关系为 ()( ) 222 q ωω 0 ++−= CqBqAq zyx 试求格波的频率密度ρ(ω)。 2
