第一章晶体结构 固体材料是由大量的原子(或离子、分子)组成的。一般固体材料每1cm3的体积 中有102~1023个原子。固体材料中的原子按一定规律排列。根据固体材料中原子排列的 方式可以将固体材料分为晶体、非晶体和准晶体。理想晶体中原子排列具有三维周期性 或称为长程有序;非晶体中原子的排列呈现近程有序、长程无序的特点;准晶体的特点 则介乎于晶体和非晶体之间。本章主要介绍理想晶体中原子排列的规律 §1.1晶体的宏观特性 不同原子构成的晶体具有不同的性质,即使是由同种原子构成的晶体,由于结构不 同,其性质也会有很大的差别。但不同的晶体之间,仍存在着某些共同的特征,这主要 表现在以下几个方面。 1.1.1长程有序 具有一定熔点的固体称为晶体。用X射线衍射方法对晶体进行研究表明,晶体内部 原子的排列是按照一定的规则排列的。这种至少在微米级范围内的规则排列称为长程有 序。长程有序是晶体材料具有的共同特征。在熔化过程中,晶体长程有序解体时对应着 定的熔点。晶体可分为单晶体和多晶体。在单晶体内部,原子都是规则地排列的;多 晶体是由许多小单晶(晶粒)构成的,在各晶粒内原子是有序排列,而不同晶粒内的原 子排列是不同的。 1.12自限性与解理性 晶体具有自发地形成封闭几何多面体的特性,称为晶体的自限性。晶体外形上的这 种特性是晶体内部原子有序排列的反映。一个理想完整的晶体,相应的晶面具有相同的 面积。晶体具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质,这种性质称为晶体的解理性,相应 的晶面称为解理面 1.1.3晶面角守恒 由于生长条件的不同,同一种晶体外形会有一定的差异。例如,岩盐(氯化钠)晶 体的外形可以是立方体或八面体,也可以是立方和八面混合体,如图1.1所示。虽然同 种晶体由于生长条件不同,其外型可能不同,但相应的两晶面之间的夹角却总是恒定 的。例如,图1.2所示的石英晶体的mm两面间的夹角总是60°0′,mR两面间的夹角
第一章 晶体结构 固体材料是由大量的原子（或离子、分子）组成的。一般固体材料每 1cm3 的体积 中有 1022~1023个原子。固体材料中的原子按一定规律排列。根据固体材料中原子排列的 方式可以将固体材料分为晶体、非晶体和准晶体。理想晶体中原子排列具有三维周期性， 或称为长程有序；非晶体中原子的排列呈现近程有序、长程无序的特点；准晶体的特点 则介乎于晶体和非晶体之间。本章主要介绍理想晶体中原子排列的规律。 §1.1 晶体的宏观特性 不同原子构成的晶体具有不同的性质，即使是由同种原子构成的晶体，由于结构不 同，其性质也会有很大的差别。但不同的晶体之间，仍存在着某些共同的特征，这主要 表现在以下几个方面。 1.1.1 长程有序 具有一定熔点的固体称为晶体。用 X 射线衍射方法对晶体进行研究表明，晶体内部 原子的排列是按照一定的规则排列的。这种至少在微米级范围内的规则排列称为长程有 序。长程有序是晶体材料具有的共同特征。在熔化过程中，晶体长程有序解体时对应着 一定的熔点。晶体可分为单晶体和多晶体。在单晶体内部，原子都是规则地排列的；多 晶体是由许多小单晶（晶粒）构成的，在各晶粒内原子是有序排列，而不同晶粒内的原 子排列是不同的。 1.1.2 自限性与解理性 晶体具有自发地形成封闭几何多面体的特性，称为晶体的自限性。晶体外形上的这 种特性是晶体内部原子有序排列的反映。一个理想完整的晶体，相应的晶面具有相同的 面积。晶体具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这种性质称为晶体的解理性，相应 的晶面称为解理面。 1.1.3 晶面角守恒 由于生长条件的不同，同一种晶体外形会有一定的差异。例如，岩盐（氯化钠）晶 体的外形可以是立方体或八面体，也可以是立方和八面混合体，如图 1.1 所示。虽然同 一种晶体由于生长条件不同，其外型可能不同，但相应的两晶面之间的夹角却总是恒定 的。例如，图 1.2 所示的石英晶体的 mm 两面间的夹角总是 60°0′，mR 两面间的夹角 1
总是60°13′,mr两面间的夹角总是38°13′。这说明,属于同种晶体的两个对应晶 面之间的夹角恒定不变,这一规律称为晶面守恒定律 (a)立方体 (b)八面体 (c)立方和八面混合体 图1.1氯化钠晶体的若干外形 (a)理想石英晶体 (b)一种人造石英晶体 图12石英晶体的不同外形 1.14各向异性 晶体的物理性质在不同方向上存在着差异,这种现象称为晶体的各向异性。晶体的 晶面往往排列成带状,晶面间的交线(称为晶棱)互相平行,这些晶面的组合称为晶带 晶棱的共同方向称为该晶带的带轴。例如,图12中石英的m面构成一个晶带,晶带的 带轴是石英的一个晶轴,即c轴。由于各向异性,在不同带轴方向上,晶体的物理性质 是不同的。晶体的各向异性是晶体区别于非晶体的重要特性,因此对于一个给定的晶体, 其弹性常数、压力常数、介电常数、电阻率等一般不再是一个确定的常数,通常要用张 量来表述。 §12空间点阵 早在公元前4世纪就有人注意到石榴石晶体 的多角形和规则外形,17世纪又有人提出晶面角 恒的观点。18世纪Haiy根据对方解石解理面 的观察,认为晶体具有规律外形,是晶体内部原 子规则排列的表现。19世纪布喇菲( Bravais)提出 了空间点阵学说。认为晶体可以看成由相同的格 ·基元的重心 点在三维空间作周期性无限分布所构成的系统, 图1.3格点示意图
总是 60°13′，mr 两面间的夹角总是 38°13′。这说明，属于同种晶体的两个对应晶 面之间的夹角恒定不变，这一规律称为晶面守恒定律。 图 1.1 氯化钠晶体的若干外形 图 1.2 石英晶体的不同外形 1.1.4 各向异性 晶体的物理性质在不同方向上存在着差异，这种现象称为晶体的各向异性。晶体的 晶面往往排列成带状，晶面间的交线（称为晶棱）互相平行，这些晶面的组合称为晶带， 晶棱的共同方向称为该晶带的带轴。例如，图 1.2 中石英的 m 面构成一个晶带，晶带的 带轴是石英的一个晶轴，即 c 轴。由于各向异性，在不同带轴方向上，晶体的物理性质 是不同的。晶体的各向异性是晶体区别于非晶体的重要特性，因此对于一个给定的晶体， 其弹性常数、压力常数、介电常数、电阻率等一般不再是一个确定的常数，通常要用张 量来表述。 §1.2 空间点阵 早在公元前 4 世纪就有人注意到石榴石晶体 的多角形和规则外形，17 世纪又有人提出晶面角 守恒的观点。18 世纪 Haiiy 根据对方解石解理面 的观察，认为晶体具有规律外形，是晶体内部原 子规则排列的表现。19 世纪布喇菲（Bravais)提出 了空间点阵学说。认为晶体可以看成由相同的格 点在三维空间作周期性无限分布所构成的系统， 图 1.3 格点示意图 2
这些格点的总和称为点阵。20世纪X射线衍射技术从实验上证明了晶体内部的结构的 确可以用空间点阵描叙 1.格点与基元 如果晶体是由完全相同的一种原子所组成的,则格点代表原子或原子周围相应点的 位置。若晶体由多种原子组成,通常把由这几种原子构成晶体的基本结构单元称为基元。 格点代表基元的重心的位置。 2.晶体结构的周期性 由于晶体中所有的基元完全等同,所以,整个晶体的结构可以看做是由基元沿空间 三个不同方向,各按一定周期平移而构成 晶体结构=点阵+基元 3.原胞与晶胞 晶格具有三维周期性,因此可取一个以结点为顶点、边长分别为三个不同方向上的 平行六面体作为重复单元来反映晶格的周期性。这个体积最小的重复单元称为固体物理 原胞,简称为原胞。在同一晶格中原胞的选取不是唯一的,但它们的体积都是相等。 为了在反映周期性的同时,还要反映每种晶体的对称性,因而所选取的重复单元的体积 不一定最小。结点不仅可以在顶角上,通常还可以在体心或面心上。这种重复单元称为 布喇菲原胞或结晶学原胞,简称为晶胞。晶胞的体积一般为原胞的体积的若干倍。 4.简单格子与复式格子 如果晶体由一种原子组成,且基元中仅包含一个原子,则形成的晶格为简单格子或 称为布喇菲格子。如果晶体虽由一种原子组成,但基元中包含两个原子,或晶体由多种 原子组成,则每种原子都可构成一个布喇菲格子。而整个晶体可以看作是相互之间有一 定位移的布喇菲格子套构而成的晶格,称为复式格子。 §1.3晶格的周期性 1.3.1布喇菲格子的定义 布喇菲格子可以看成是矢量 R=n,a 的全部端点的集合,其中n,m2,n取整数,a1,a,a3是 三个不共面的矢量,称为布喇菲格子的基矢,Rn称为布喇 菲格子的格矢,其端点称为格点。 布喇菲格子的所有格点的周围环境是相同,在几何上 是完全等价的。图14所示的二维蜂房点阵,由于A,B 格点不等价而不属于布喇菲格子。如将A,B两点看作基 元,由它重复排列形成的网格构成布喇菲格子。 布喇菲格子是一个无限延展的理想点阵,它忽略了 图1.4二维蜂房点阵
这些格点的总和称为点阵。20 世纪 X 射线衍射技术从实验上证明了晶体内部的结构的 确可以用空间点阵描叙。 1. 格点与基元 如果晶体是由完全相同的一种原子所组成的，则格点代表原子或原子周围相应点的 位置。若晶体由多种原子组成，通常把由这几种原子构成晶体的基本结构单元称为基元。 格点代表基元的重心的位置。 2. 晶体结构的周期性 由于晶体中所有的基元完全等同，所以，整个晶体的结构可以看做是由基元沿空间 三个不同方向，各按一定周期平移而构成： 晶体结构=点阵+基元 3. 原胞与晶胞 晶格具有三维周期性，因此可取一个以结点为顶点、边长分别为三个不同方向上的 平行六面体作为重复单元来反映晶格的周期性。这个体积最小的重复单元称为固体物理 学原胞，简称为原胞。在同一晶格中原胞的选取不是唯一的，但它们的体积都是相等。 为了在反映周期性的同时，还要反映每种晶体的对称性，因而所选取的重复单元的体积 不一定最小。结点不仅可以在顶角上，通常还可以在体心或面心上。这种重复单元称为 布喇菲原胞或结晶学原胞，简称为晶胞。晶胞的体积一般为原胞的体积的若干倍。 4. 简单格子与复式格子 如果晶体由一种原子组成，且基元中仅包含一个原子，则形成的晶格为简单格子或 称为布喇菲格子。如果晶体虽由一种原子组成，但基元中包含两个原子，或晶体由多种 原子组成，则每种原子都可构成一个布喇菲格子。而整个晶体可以看作是相互之间有一 定位移的布喇菲格子套构而成的晶格，称为复式格子。 §1.3 晶格的周期性 1.3.1 布喇菲格子的定义 布喇菲格子可以看成是矢量 n = + + nnn aaaR 332211 （1.1） 的全部端点的集合，其中n1，n2，n3取整数，a1，a2，a3是 三个不共面的矢量，称为布喇菲格子的基矢，Rn称为布喇 菲格子的格矢，其端点称为格点。 布喇菲格子的所有格点的周围环境是相同，在几何上 是完全等价的。图 1.4 所示的二维蜂房点阵，由于 A，B 格点不等价而不属于布喇菲格子。如将 A，B 两点看作基 元，由它重复排列形成的网格构成布喇菲格子。 布喇菲格子是一个无限延展的理想点阵，它忽略了 图 1.4 二维蜂房点阵 3
实际晶体中表面、结构缺陷的存在,以及T≠0时原子瞬时位置相对于平衡位置小的偏 离。但它反映了晶体结构中原子周期性的规则排列,或所具的平移对称性,即平移任一 格矢Rn,晶体保持不变的特性,是实际晶体的一个理想的抽象。 13.2一维布喇菲格子 维布喇菲格子是由一种原子组成的无限周期性线列。所有相邻原子间的距离均为 a。为了能更好地反映周期性,重复单元取为一个原子加上原子周围长度a的区域,称 为原胞。在一维情况下,重复单元的长度矢量称为基矢,通常用以某原子为起点,相邻 原子为终点的有向线段a表示,如图1.5(b)表示。由于基矢两端各有一个与相邻原胞 所共有的原子,因此每个原胞只有一个原子,每个原子的周围情况都一样。一维布喇菲 格子的周期性可用数学式表述为 T(x+na=r(x) (1.1) 式中,a是周期,n是整数,r(x)代表晶格内任一点x处的一种物理性质。式(1)说 明,原胞中任一处x的物理性质,同另一原胞相应处的物理性质相同。例如,在图1.5 (a)中,距0点x处的情况同距3点x处的情况完全相同。 。 (b) 图1.5一维布喇菲格子 1.33一维复式格子 如果晶体基元中包含两种或两种以上的原子,则每个基元中,相应的同种原子各自 构成与格点相同的网络,这些网络之间有相对的位移,从而形成了所谓的复式格子。 设由A、B两种原子组成一维无限周期性线列,原子A形成一个布喇菲格子,原子 B也形成一个布喇菲格子。如这两个布喇菲格子具有相同的周期a,且两个布喇菲格子 互相之间错开距离b,如图1.6(a)所示。这个复式格子的原胞,既可以如图16(b) 所示,原胞的两端各有一个原子A,也可以如图16(c)所示,原胞的两端各有一个原 子B。这两种表示的基矢均为a,原胞中各含一个原子A和一个原子B。此外,对A B周围情况的表达也是一致的。一般地,对于由n种原子所构成的一维晶格,每个原胞 包含n个原子 需要注意的是,即使是由同一种原子构成的晶体,原子周围的情况也并不一定完全 相同。例如在图17(a)中,由A原子所组成的一维晶格,左右两边的间距不等,即A1周 围情况和A2周围情况不同。晶格的原胞如图1.7的(b)或(c)所示,每个原胞中包含 两个原子,A1和A2组成一个基元。对于一维复式格子,每个原胞内部及其周围的情况相 同,式(1.1)仍能概括这种晶格周围性的特征
实际晶体中表面、结构缺陷的存在，以及T≠0 时原子瞬时位置相对于平衡位置小的偏 离。但它反映了晶体结构中原子周期性的规则排列，或所具的平移对称性，即平移任一 格矢Rn，晶体保持不变的特性，是实际晶体的一个理想的抽象。 1.3.2 一维布喇菲格子 一维布喇菲格子是由一种原子组成的无限周期性线列。所有相邻原子间的距离均为 a。为了能更好地反映周期性，重复单元取为一个原子加上原子周围长度 a 的区域，称 为原胞。在一维情况下，重复单元的长度矢量称为基矢，通常用以某原子为起点，相邻 原子为终点的有向线段 a 表示，如图 1.5（b）表示。由于基矢两端各有一个与相邻原胞 所共有的原子，因此每个原胞只有一个原子，每个原子的周围情况都一样。一维布喇菲 格子的周期性可用数学式表述为： +Γ = Γ xnax )()( （1.1） 式中，a 是周期，n 是整数， 代表晶格内任一点 x 处的一种物理性质。式（1.1）说 明，原胞中任一处 x 的物理性质，同另一原胞相应处的物理性质相同。例如，在图 1.5 （a）中，距 0 点 x 处的情况同距 3 点 x 处的情况完全相同。 Γ x)( 图 1.5 一维布喇菲格子 1.3.3 一维复式格子 如果晶体基元中包含两种或两种以上的原子，则每个基元中，相应的同种原子各自 构成与格点相同的网络，这些网络之间有相对的位移，从而形成了所谓的复式格子。 设由 A、B 两种原子组成一维无限周期性线列，原子 A 形成一个布喇菲格子，原子 B 也形成一个布喇菲格子。如这两个布喇菲格子具有相同的周期 a，且两个布喇菲格子 互相之间错开距离 b，如图 1.6（a）所示。这个复式格子的原胞，既可以如图 1.6（b） 所示，原胞的两端各有一个原子 A，也可以如图 1.6（c）所示，原胞的两端各有一个原 子 B。这两种表示的基矢均为 a，原胞中各含一个原子 A 和一个原子 B。此外，对 A、 B 周围情况的表达也是一致的。一般地，对于由 n 种原子所构成的一维晶格，每个原胞 包含 n 个原子。 需要注意的是，即使是由同一种原子构成的晶体，原子周围的情况也并不一定完全 相同。例如在图 1.7（a）中，由A原子所组成的一维晶格，左右两边的间距不等，即A1周 围情况和A2周围情况不同。晶格的原胞如图 1.7 的（b）或（c）所示，每个原胞中包含 两个原子，A1和A2组成一个基元。对于一维复式格子，每个原胞内部及其周围的情况相 同，式（1.1）仍能概括这种晶格周围性的特征。 4
原胞 原胞 原子A 原子B (b) 图1.6一维复式格子 图1.7同种原子组成的复式格子 134三维情况的原胞 对任一三维晶格,习惯上常取三个不共面的最短格矢a1、a2、a3为基矢组成平行六 面体构成原胞,其体积为: 原则上,基矢的取法并不唯一,因此,原胞的取法也不唯一。但无论如何选取,原 胞均有相同的体积。对于布喇菲格子,原胞只包含一个原子;对于复式格子,原胞中的 包含的原子数目正是每个基元中原子的数目。 在三维情况下,晶格的周期性也可以用式(1.1)表述。设r为原胞中任一处的位矢 厂(∞代表晶格中任一物理量,则 T(r)=r(r+La,+l,a,+1a3) (1.2) 式中l1、l2和是整数,a1、a、a3是基矢。式(1.2)表明,原胞中任一处r的物理性质 同另一个原胞中相应处的物理性质相同 1.3.5三维布喇菲晶胞 布喇菲晶胞实际上是一种对称化晶胞,选取布喇菲晶胞的原则是: (1)选择的平行六面体应能代表整个空间点阵的对称性。 (2)平行六面体中有尽可能多的相等的棱和角 (3)平行六面体中有尽可能多的直角。 (4)在满足上述三条件下,选取体积最小的平行六面体。 结晶学中,属于立方晶系的布喇菲胞有简立方、体心立方和面心立方三种,如图1.9 所示。立方晶系的三个基矢长度相等,且互相垂直,即a=b=c、a⊥b、b⊥c、c⊥a 这些布喇菲原胞的基矢沿晶轴方向,取晶轴作为坐标轴,用i、j、k表示坐标系的单位 矢量。 1.简立方 原子位于边长为a的立方体的8个顶角上。每个原子为8个晶胞所共有,对一个晶 胞的贡献只有1/8:晶胞的8个顶点上的原子对一个晶胞的贡献恰好是一个原子,这种 布喇菲晶胞只包含一个原子,即对于简立方,原胞和晶胞是一致的。简立方原胞的基矢
图 1.6 一维复式格子 图 1.7 同种原子组成的复式格子 1.3.4 三维情况的原胞 对任一三维晶格，习惯上常取三个不共面的最短格矢a1、a2、a3为基矢组成平行六 面体构成原胞，其体积为： )( 221 Ω = ⋅ × aaa 原则上，基矢的取法并不唯一，因此，原胞的取法也不唯一。但无论如何选取，原 胞均有相同的体积。对于布喇菲格子，原胞只包含一个原子；对于复式格子，原胞中的 包含的原子数目正是每个基元中原子的数目。 在三维情况下，晶格的周期性也可以用式（1.1）表述。设 r 为原胞中任一处的位矢， Γ(x)代表晶格中任一物理量，则 ()( ) aaarr 332211 Γ = Γ + + + lll （1.2） 式中l1、l2和l3是整数，a1、a2、a3是基矢。式（1.2）表明，原胞中任一处r的物理性质， 同另一个原胞中相应处的物理性质相同。 1.3.5 三维布喇菲晶胞 布喇菲晶胞实际上是一种对称化晶胞，选取布喇菲晶胞的原则是： （1）选择的平行六面体应能代表整个空间点阵的对称性。 （2）平行六面体中有尽可能多的相等的棱和角。 （3）平行六面体中有尽可能多的直角。 （4）在满足上述三条件下，选取体积最小的平行六面体。 结晶学中，属于立方晶系的布喇菲胞有简立方、体心立方和面心立方三种，如图 1.9 所示。立方晶系的三个基矢长度相等，且互相垂直，即 = = cba , ⊥ ba 、b⊥ c、c a。 这些布喇菲原胞的基矢沿晶轴方向，取晶轴作为坐标轴，用 i、j、k 表示坐标系的单位 矢量。 ⊥ 1. 简立方 原子位于边长为 a 的立方体的 8 个顶角上。每个原子为 8 个晶胞所共有，对一个晶 胞的贡献只有 1/8；晶胞的 8 个顶点上的原子对一个晶胞的贡献恰好是一个原子，这种 布喇菲晶胞只包含一个原子，即对于简立方，原胞和晶胞是一致的。简立方原胞的基矢 5
由图18(a)可知,简立方晶胞的基矢为:a1=a,a2=b,a3=c 体心立方 除立方体顶角上有原子外,还有一个原子在立方体的中心,故称为体心立方。将体 立方沿体对角线平移,可知顶角和体心上原子周围的情况相同。由于晶胞中包含两个 原子,而固体物理要求布喇菲原胞中只包含一个原子,因此原胞采用如图19(a)的方 法选取 a)简立方 b)体心立方 e)面心立方 图1.8立方晶系布喇菲原胞 按此取法,基矢a1、a2、a3为 a1=(-a+b+c)=(-i+j+k) (14) (a-b+c)=(i-j+k) (a+b 原胞的体积为 这里,a是晶胞的边长,又称晶格常数。因为晶胞包含两个原子或对应两个格点,原胞 包含一个原子或对应一个格点,因而原胞体积为晶胞体积的一半 (a)体心立方 (b)面心立方 图19固体物理学的原胞选取示例图 3.面心立方 这种结构除顶角上有原子外,在立方体的六个面的中心处还有6个原子,故称为面 心立方。沿面的对角线平移面心立方结构,可以证明面心处原子与顶角处原子周围的情
为： === aaa kajaia1 2 3 ,, （1.3） 由图 1.8（a）可知，简立方晶胞的基矢为：a1= a，a2 = b，a3 = c。 2. 体心立方 除立方体顶角上有原子外，还有一个原子在立方体的中心，故称为体心立方。将体 心立方沿体对角线平移，可知顶角和体心上原子周围的情况相同。由于晶胞中包含两个 原子，而固体物理要求布喇菲原胞中只包含一个原子，因此原胞采用如图 1.9（a）的方 法选取。 图 1.8 立方晶系布喇菲原胞 按此取法，基矢a1、a2、a3为 )( 2 )( 2 1 )( 2 )( 2 1 )( 2 )( 2 1 3 2 1 kjicbaa kjicbaa kjicbaa −+=−+= +−=+−= ++−=++−= a a a （1.4） 原胞的体积为 3 321 2 1 Ω )( =×⋅= aaaa 这里，a 是晶胞的边长，又称晶格常数。因为晶胞包含两个原子或对应两个格点，原胞 包含一个原子或对应一个格点，因而原胞体积为晶胞体积的一半。 图 1.9 固体物理学的原胞选取示例图 3. 面心立方 这种结构除顶角上有原子外，在立方体的六个面的中心处还有 6 个原子，故称为面 心立方。沿面的对角线平移面心立方结构，可以证明面心处原子与顶角处原子周围的情 6
况相同。每个面为两个相邻的晶胞所共有,因此面心立方的晶胞具有4个原子。面心立 方结构的固体物理学原胞取法如图1.10(b)所示,原来面心立方的6个面心原子和2 个顶角原子构成了所取原胞的8个顶角原子,其基矢为 a1=(b (+k) a2=-(c+a)=(k+i) (1.5) a3=(a+b)=(i+j 所取原胞的体积s=a1(a2×a3)=a3,原胞中只包含一个原子 数学上可以证明,符合上述四个条件的布喇菲晶胞共有14种,它们代表了空间点 阵类型,同时又是按空间格子方式组成了晶胞,故也称为14种空间点阵,或14种布喇 菲格子,如图1.10所示。平行六面体的三个棱可以选为坐标轴,基矢分别标为a、b、c, 个轴之间的夹角为a、B、y。若以基矢的长度及轴的夹角来划分这些布喇菲晶胞, 又可归为7种晶系,如表1.1。 图1.10布喇菲晶胞 此外,也可以按每个晶胞的平均结点数和结点的位置来分类。平均结点数为1的称 为初基胞或简单胞,记作P。平均结点数大于或等于2的称为非初基胞,后者除了角顶
况相同。每个面为两个相邻的晶胞所共有，因此面心立方的晶胞具有 4 个原子。面心立 方结构的固体物理学原胞取法如图 1.10（b）所示，原来面心立方的 6 个面心原子和 2 个顶角原子构成了所取原胞的 8 个顶角原子，其基矢为 )( 2 )( 2 1 )( 2 )( 2 1 )( 2 )( 2 1 3 2 1 jibaa ikaca kjcba +=+= +=+= +=+= a a a （1.5） 所取原胞的体积 321 3 4 1 Ω aaa )( =×⋅= a ，原胞中只包含一个原子。 数学上可以证明，符合上述四个条件的布喇菲晶胞共有 14 种，它们代表了空间点 阵类型，同时又是按空间格子方式组成了晶胞，故也称为 14 种空间点阵，或 14 种布喇 菲格子，如图 1.10 所示。平行六面体的三个棱可以选为坐标轴，基矢分别标为 a、b、c， 三个轴之间的夹角为α、β、γ。若以基矢的长度及轴的夹角来划分这些布喇菲晶胞， 又可归为 7 种晶系，如表 1.1。 图 1.10 布喇菲晶胞 此外，也可以按每个晶胞的平均结点数和结点的位置来分类。平均结点数为 1 的称 为初基胞或简单胞，记作 P。平均结点数大于或等于 2 的称为非初基胞，后者除了角顶 7
处有结点外还可以有多余的结点。处于六面体中心的称为体心胞,记作I:如果六面体 的四边形中心各有一个点,称为面心胞,记作F;只有上、下层中心各一个结点称为底 心胞;如果底心面相应的轴是c轴,则记作C;相应的轴是b轴,记作B:相应的轴是 a轴,则记作A。三角(棱形)晶系的晶胞虽然是个简单胞,但由于它的特殊性仍列为 类,记作R。在标记晶体结构类别时,经常采用P、I、F、R、C(或A,或B)等布 喇菲点阵符号( Bravais lattice notation,简写为BLN)。 由于选取布喇菲晶胞时尽量考虑了对称性,所以在计算一些结晶学参数时可以简化 公式,分析计算也较方便,它已是人们历来惯用的体系,现在绝大多数的晶体结构数据 就是按这个体系整理出来的 表1.17大晶系、14种布喇菲晶胞 基矢长度与夹角关系 布喇菲晶胞类型 三斜 a≠b≠c,a≠B≠y≠90° 简单三斜(图1.10,1) P 简单单斜(图1.10,2) 单斜a≠b≠c,a=y=90°B≠90 底心单斜(图1.10,3) 简单正交(图1.10,4) 底心正交(图1.10.5) 正交 a≠b≠c,a=B=y=90 体心正交(图1.10,6) 面心正交(图1.10,7) 简单四方(图1.0,10) P 四方 cF=b≠c,a=B=y=90° 体心四方(图1.10,11) 六方 简单六方(图1.10,8) P y=120° 三方 =b=c,a=B=y≠90 简单菱形(图1.10,9) 简单立方(图1.10,12) 7 立方 ab=c =90° 体心 心立方(图1.10,13) 面心立方(图1.10,14) F 在能带计算中也常选用另外一种原胞,即维格纳一赛茨( Wigner-Seitz)原胞,简称 WS原胞。wS原胞是以晶格中某一格点为中心 作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面,这些 平面所围成的以该点为中心的凸多面体即为该点 的WS原胞。图1.11给出一个二维布喇菲格子的 WS原胞示意图。由于WS原胞的构造中不涉及对 基矢的任何特殊选择,因此,它与相应的布喇菲 晶胞有完全相同的对称性,又称对称化原胞。 图1.11一个格点的wS原胞
处有结点外还可以有多余的结点。处于六面体中心的称为体心胞，记作 I；如果六面体 的四边形中心各有一个点，称为面心胞，记作 F；只有上、下层中心各一个结点称为底 心胞；如果底心面相应的轴是 c 轴，则记作 C；相应的轴是 b 轴，记作 B；相应的轴是 a 轴，则记作 A。三角（棱形）晶系的晶胞虽然是个简单胞，但由于它的特殊性仍列为 一类，记作 R。在标记晶体结构类别时，经常采用 P、I、F、R、C（或 A，或 B）等布 喇菲点阵符号（Bravais Lattice Notation, 简写为 BLN）。 由于选取布喇菲晶胞时尽量考虑了对称性，所以在计算一些结晶学参数时可以简化 公式，分析计算也较方便，它已是人们历来惯用的体系，现在绝大多数的晶体结构数据 就是按这个体系整理出来的。 表 1.1 7 大晶系、14 种布喇菲晶胞 序号 晶系 基矢长度与夹角关系 布喇菲晶胞类型 符号 1 三斜 a≠b≠c，α≠β≠γ≠90° 简单三斜（图 1.10,1） P 2 单斜 a≠b≠c，α=γ=90°β≠90° 简单单斜（图 1.10,2） 底心单斜（图 1.10,3） P C 3 正交 a≠b≠c，α=β=γ=90° 简单正交（图 1.10,4） 底心正交（图 1.10,5） 体心正交（图 1.10,6） 面心正交（图 1.10,7） P C I F 4 四方 a=b≠c，α=β=γ=90° 简单四方（图 1.10,10） 体心四方（图 1.10,11） P I 5 六方 a=b≠c，α=β= 90° γ=120° 简单六方（图 1.10,8） P 6 三方 a=b=c，α=β=γ≠90° 简单菱形（图 1.10,9） R 7 立方 a=b=c，α=β=γ=90° 简单立方（图 1.10,12） 体心立方（图 1.10,13） 面心立方（图 1.10,14） P I F 在能带计算中也常选用另外一种原胞，即维格纳一赛茨（Wigner-Seitz）原胞，简称 WS 原胞。WS 原胞是以晶格中某一格点为中心， 作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面，这些 平面所围成的以该点为中心的凸多面体即为该点 的 WS 原胞。图 1.11 给出一个二维布喇菲格子的 WS 原胞示意图。由于 WS 原胞的构造中不涉及对 基矢的任何特殊选择，因此，它与相应的布喇菲 图 1.11 一个格点的 WS 原胞 晶胞有完全相同的对称性，又称对称化原胞。 8
§14密堆积与配位数 14.1密堆积 原子在晶体中的平衡位置处结合能最低,因此原子在晶体中的排列应该采取尽可能 的紧密方式。晶体中原子排列的紧密程度,可以用原子周围最近邻的原子数来表述,这 个数称为配位数。显然,原子排列的愈紧密,配位数愈大。 142密堆积结构 把全同小球平铺在平面上,使任一个球都和6个球相切,每三个相切的球的中心构 成一等边三角形,且每个球的周围有6个空隙,这样构成的平面,称为密排面。第二层 也是同样的密排面,但要注意的是由于在每个球周围同一平面上只有相间的3个空隙的 中心,第二层的小球要放在第一层相间的3个空隙里,这会构成又一个等边三角形。第 层的每个球和第一层相应位置的三个球紧密相切。第三层也为密排面,但第三层的堆 法有两种,从而决定了密堆积结构也有两种: 1.六方密堆积 如果把第三层的球放在第二层的3个相间的空隙内,并且沿竖直方向观察使第三层 球与第一层球平行吻合,如图1.12(a)所示。第四层与第二层也满足平行吻合。这样 每两层为一组规则地堆积下去,即按照 ABABAB…排列,形成了垂直方向具有6度 旋转反演轴的晶体结构。这种结构称为六方密堆积。Be,Cd,Mg,Ni,Zn等金属具有 这种结构。 2.立方密堆积 如果把第三层放在第二层3个相间的空隙内,但第三层的球是放在第二层的其他3 个没有被第一层占据的空隙上面,如图1.12(b)所示。而第四层的球则完全按第一层 排列,即与第一层平行吻合。这样每三层为一组规则地堆积下去,即按照 ABCABCABO…排列,形成面心立方结构,这种结构称为立方密堆积。Ag,Au,Co Cu,Ni,Pd,Pt等金属具有这种结构。 (a)六角密积 b)立方密积 (a)六方密堆积 (b)立方密堆积 图1.12密堆
§1.4 密堆积与配位数 1.4.1 密堆积 原子在晶体中的平衡位置处结合能最低，因此原子在晶体中的排列应该采取尽可能 的紧密方式。晶体中原子排列的紧密程度，可以用原子周围最近邻的原子数来表述，这 个数称为配位数。显然，原子排列的愈紧密，配位数愈大。 1.4.2 密堆积结构 把全同小球平铺在平面上，使任一个球都和 6 个球相切，每三个相切的球的中心构 成一等边三角形，且每个球的周围有 6 个空隙，这样构成的平面，称为密排面。第二层 也是同样的密排面，但要注意的是由于在每个球周围同一平面上只有相间的 3 个空隙的 中心，第二层的小球要放在第一层相间的 3 个空隙里，这会构成又一个等边三角形。第 二层的每个球和第一层相应位置的三个球紧密相切。第三层也为密排面，但第三层的堆 法有两种，从而决定了密堆积结构也有两种： 1. 六方密堆积 如果把第三层的球放在第二层的 3 个相间的空隙内，并且沿竖直方向观察使第三层 球与第一层球平行吻合，如图 1.12（a）所示。第四层与第二层也满足平行吻合。这样 每两层为一组规则地堆积下去，即按照 ABABAB……排列，形成了垂直方向具有 6 度 旋转反演轴的晶体结构。这种结构称为六方密堆积。Be，Cd，Mg，Ni，Zn 等金属具有 这种结构。 2. 立方密堆积 如果把第三层放在第二层 3 个相间的空隙内，但第三层的球是放在第二层的其他 3 个没有被第一层占据的空隙上面，如图 1.12（b）所示。而第四层的球则完全按第一层 排列，即与第一层平行吻合。这样每三层为一组规则地堆积下去，即按照 ABCABCABC……排列，形成面心立方结构，这种结构称为立方密堆积。Ag，Au，Co， Cu，Ni，Pd，Pt 等金属具有这种结构。 （a）六方密堆积 （b）立方密堆积 图 1.12 密堆积 9
14.3最大配位数 无论是六方密堆积还是立方密堆积,每个球在同一层内与6个球相切,又与上下层 3个球相切,所以每个球最近邻的球数是12,即晶体结构中最大的配位数为12 如果晶体不是由同一种原子构成,那么相应小球的体积不等,从而不可能形成密积 结构,因此配位数一定小于12。考虑到周期性和对称性的特点,晶体不可能具有配位数 11、10,9,7。所以晶体中最高的配位数是12,以下的配位数依次是8、6、4、3、2。 144致密度 致密度n,或堆积因子( packing factor)是指晶胞中所有原子的体积与晶胞体积之 比;通常用下式表示 晶胞中原子的体积之和 晶胞体积 例:试计算简立方晶胞的致密度n。 解:设简立方晶胞的边长为a,则堆垛成简立方晶胞的原子半径最大为 由于简立方晶胞中只有一个原子。 4x()x=05236 §1.5几种典型的晶体结构 1.51立方晶系的布喇菲晶胞 由同种原子组成的具有体心立方和面心立方结构的晶体在自然界中广泛存在。它们 的晶体结构已在上节讨论过,这里不再重复。属于体心立方结构的晶体有Li,Na,K, Rh,Cs,Cr,Mo,W等;属于面心立方结构的晶体有Cn,Ag,Au,A,Ni,Pb等。 1.52立方晶系的复式格子 1.氯化钠(Na)结构 这是一种晶格为面心立方的复式格子晶体结构,即其相应的布喇菲格子也是面心立 方。如图1.13所示,互相穿套的两个面心立方子晶格分别由氯离子和钠离子组成,彼此 沿立方体边错开a/2的距离而穿套,a为立方体边长。原胞基矢就是面心立方的基矢 原胞内包含两个异号离子CI与Na,例如图中位于面心的A与位于体心的A′。但不要将 这种结构误视为原胞边长a/2的简立方,因为氯离子与钠离子是不等价的 2.氯化铯(CsC1)结构 氯化铯晶体的原胞形状是一个立方体,如图1.14所示。与简立方的区别在于,如果 立方体顶角为氯离子的话,则在立方体的中心的位置上存在一个铯离子。氯离子和铯离
1.4.3 最大配位数 无论是六方密堆积还是立方密堆积，每个球在同一层内与 6 个球相切，又与上下层 3 个球相切，所以每个球最近邻的球数是 12，即晶体结构中最大的配位数为 12。 如果晶体不是由同一种原子构成，那么相应小球的体积不等，从而不可能形成密积 结构，因此配位数一定小于 12。考虑到周期性和对称性的特点，晶体不可能具有配位数 11、10，9，7。所以晶体中最高的配位数是 12，以下的配位数依次是 8、6、4、3、2。 1.4.4 致密度 致密度η，或堆积因子（packing factor）是指晶胞中所有原子的体积与晶胞体积之 比；通常用下式表示： 晶胞体积 晶胞中原子的体积之和 η = 例：试计算简立方晶胞的致密度η。 解：设简立方晶胞的边长为 a，则堆垛成简立方晶胞的原子半径最大为 2 a 。 由于简立方晶胞中只有一个原子。 5236.0 6 ) 2 ( 3 4 3 3 ∴ ≈== π π η a a §1.5 几种典型的晶体结构 1.5.1 立方晶系的布喇菲晶胞 由同种原子组成的具有体心立方和面心立方结构的晶体在自然界中广泛存在。它们 的晶体结构已在上节讨论过，这里不再重复。属于体心立方结构的晶体有 Li，Na，K， Rh，Cs，Cr，Mo，W 等；属于面心立方结构的晶体有 Cn，Ag，Au，Al，Ni，Pb 等。 1.5.2 立方晶系的复式格子 1. 氯化钠（NaCl）结构 这是一种晶格为面心立方的复式格子晶体结构，即其相应的布喇菲格子也是面心立 方。如图 1.13 所示，互相穿套的两个面心立方子晶格分别由氯离子和钠离子组成，彼此 沿立方体边错开a / 2 的距离而穿套，a为立方体边长。原胞基矢就是面心立方的基矢， 原胞内包含两个异号离子Cl- 与Na+ ，例如图中位于面心的A与位于体心的A′。但不要将 这种结构误视为原胞边长a / 2 的简立方，因为氯离子与钠离子是不等价的。 2. 氯化铯（CsCl）结构 氯化铯晶体的原胞形状是一个立方体，如图 1.14 所示。与简立方的区别在于，如果 立方体顶角为氯离子的话，则在立方体的中心的位置上存在一个铯离子。氯离子和铯离 10