第三章晶格振动和晶体的热学性质 在前面的讨论中,我们都把组成晶体的原子看成是固定在平衡位置上不动,实际晶 体中的粒子并非如此,而是会在平衡位置附近作微小的振动。由于晶体内原子间存在着 相互作用,原子的振动就不是孤立的,而要以波的形式在晶体中传播,形成所谓格波 因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统。这个系统的运动就叫晶格振动 晶格振动是固体中原子的热运动,是对晶体热能的主要贡献。因此,晶体的热学性 质,如比热、热膨胀和热传导等就与晶格振动密切有关。由于晶格振动造成对原子周期 排列的偏离,可视为一种动态缺陷,因此会对在晶体中运动的其它粒子,如电子和光子 产生影响,而与晶体的电学、光学性质乃至介电性质等有关。本章就介绍晶格振动的基 本特征并以此为基础来认识晶体的热学性质。 §3.1一维单原子链 晶格振动是很复杂的,为了抓住其主要特点,在不影响物理本质的前提下,我们从 简单的一维晶格开始,在由此得到了一些主要结论和处理方法的基础上,就可以推广到 维和三维晶格振动的情况。 3.1.1运动方程 一维晶格中最简单的是一维单式格子,即单原子链或一维布喇菲格子。如图3.1所 示,这种格子在一个长度为a的原胞中只包含一个质量为m的原子。我们用n来标记原子, n可取1,2,…,N。由于晶格振动,原子会离开它们的平衡位置,第n个原子离开平衡位 置的位移用xn表示,第n个原子和第n+1个原子间的相对位移为xn+1-xm (n+1a(n+2 图3.1一维单原子链的振动
第三章 晶格振动和晶体的热学性质 在前面的讨论中，我们都把组成晶体的原子看成是固定在平衡位置上不动，实际晶 体中的粒子并非如此，而是会在平衡位置附近作微小的振动。由于晶体内原子间存在着 相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波。 因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统。这个系统的运动就叫晶格振动。 晶格振动是固体中原子的热运动，是对晶体热能的主要贡献。因此，晶体的热学性 质，如比热、热膨胀和热传导等就与晶格振动密切有关。由于晶格振动造成对原子周期 排列的偏离，可视为一种动态缺陷，因此会对在晶体中运动的其它粒子，如电子和光子 产生影响，而与晶体的电学、光学性质乃至介电性质等有关。本章就介绍晶格振动的基 本特征并以此为基础来认识晶体的热学性质。 §3.1 一维单原子链 晶格振动是很复杂的，为了抓住其主要特点，在不影响物理本质的前提下，我们从 简单的一维晶格开始，在由此得到了一些主要结论和处理方法的基础上，就可以推广到 二维和三维晶格振动的情况。 3.1.1 运动方程 一维晶格中最简单的是一维单式格子，即单原子链或一维布喇菲格子。如图 3.1 所 示，这种格子在一个长度为a的原胞中只包含一个质量为m的原子。我们用n来标记原子， n可取 1, 2, …, N。由于晶格振动，原子会离开它们的平衡位置，第n个原子离开平衡位 置的位移用xn表示，第n个原子和第n+1 个原子间的相对位移为xn+1-xn。 图 3.1 一维单原子链的振动 1
为了简便地建立起晶格振动的运动方程,须作一些近似或者简化。第一个近似就是 简谐近似:设在平衡位置时,两个原子间的相互作用势能是u(a),令8=xn+1-xn,则产 生相对位移后,相互作用势能变成u(a+8),将(a+8)在平衡位置附近用泰勒级数展 开,可得 l(r)=l(a+)=l(a)+ d+1(du82+ dr d u d-u 式中首项为常数,可取为能量零点。由于在平衡时势能取极小值,第二(一阶)项 为零,简谐近似指势能展开式只取到二阶项即包含82的项。这显然只适用于微振动, 即δ很小的情况。此时,恢复力 d u d-u d dr 此处尸为恢复力常数 第二个近似是只考虑相邻原子之间的相互作用。则第n个原子所受到的总作用力为 f=f+f=B(m-x,)+B( n)=B(xn+1+ 第n个原子的运动方程就可写为 B(x Run 对于n=1,2…,N的每个原子,都有一个类似(34)式的运动方程,所以方程数目 和原子数目N相等。 3.12格波频率与波矢关系 设方程组(34)式有下列形式的解 这是一振幅为A,角频率为ω的简谐振动,式中qna是第n个原子振动的位相因子。当 第n和第n个原子的位相因子之差(qna-qma)为2π的整数倍,或nq-mq=2s (s为整数),即一维倒格子原胞或布里渊区大小的整数倍时
为了简便地建立起晶格振动的运动方程，须作一些近似或者简化。第一个近似就是 简谐近似：设在平衡位置时，两个原子间的相互作用势能是u（a），令δ= xn+1-xn，则产 生相对位移后，相互作用势能变成u ( a+δ)，将u (a+δ) 在平衡位置附近用泰勒级数展 开，可得 ⎟ ⎟ +L ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=+= 3 3 3 2 2 2 !3 1 2 1 δ )()()( δ δ δ a a a dr ud dr ud dr du auauru ⎟ ⎟ +L ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≈ 3 3 3 2 2 2 !3 1 2 1 δ δ a a dr ud dr ud （3.1） 式中首项为常数，可取为能量零点。由于在平衡时势能取极小值，第二（一阶）项 为零，简谐近似指势能展开式只取到二阶项即包含δ2 的项。这显然只适用于微振动， 即δ很小的情况。此时，恢复力 −= βδδ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=−= a dr ud dr du f 2 2 （3.2） 此处β为恢复力常数 a dr ud ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 β （3.3） 第二个近似是只考虑相邻原子之间的相互作用。则第 n 个原子所受到的总作用力为 = + 21 = β +1 − nn + β −1 − nn = β ()()( + nn −+ 11 − xxxxxxxfff n )2 第 n 个原子的运动方程就可写为 ( 11 )2 2 2 nn n n xxx dt xd m β −+ −+= （3.4） 对于 n = 1, 2…, N 的每个原子，都有一个类似（3.4）式的运动方程，所以方程数目 和原子数目 N 相等。 3.1.2 格波频率与波矢关系 设方程组（3.4）式有下列形式的解 qrti )( qnati )( n Aex Ae − n − = = ω ω （3.5） 这是一振幅为 A，角频率为ω的简谐振动，式中 qna 是第 n 个原子振动的位相因子。当 第 n′和第 n 个原子的位相因子之差（ ′ − qnaanq ）为 2π的整数倍，或 s a nqqn 2π ′ =− （s 为整数），即一维倒格子原胞或布里渊区大小的整数倍时， 2
(3.6) 这表明,当第n'原子和第n个原子的距离(ma-m)为2z的整数倍时,原子 因振动而产生的位移相等。显然,晶格中的原子振动是以角频率为ω的平面波形式存在 的,这种波叫格波。格波的波长λ=,若令n表示格波传播方向的单位矢量,则格 波的波午为4d 将(3.5)式代入运动方程(34)式中,可得 mo?(g)=2B[1-cos(ga)]=4B sin(g) 则频谱 In 可以看出频率与波矢的关系,即ω~q关系不是线性的,故(37)式也叫一维单式 格子的色散关系。 3.13晶格振动的色散关系 对研究晶格振动,色散关系很重要,有必要进行一些深入讨论: 1、色散关系的特点 色散关系有两个显著的特点,一是偶函数:o(q)=o(-q),二是周期函数,即 a(=o(q+--s 这表明,当二个波矢相差为倒格矢的整数倍时,它们对应的频率是一样的。色散关 系的上述二个性质对更为复杂的晶格振动也是适用的。它们实际上与晶格振动系统的对 称性有关,前者涉及时间反演对称性,后者与晶格的周期结构有关。由于色散关系的周 期性,可以把它约化到第一(或简约)布里渊区中来表示。图3.2就是一维单式格子的 色散曲线
n anqti siqnati n = Aex = = xeAe − ′ −− ′ ω )( ω 2)( π （3.6） 这表明，当第 n′原子和第 n 个原子的距离（ ′ − naan ）为 q 2π 的整数倍时，原子 因振动而产生的位移相等。显然，晶格中的原子振动是以角频率为ω的平面波形式存在 的，这种波叫格波。格波的波长 q π λ 2 = ，若令 n 表示格波传播方向的单位矢量，则格 波的波矢为 nq λ 2π = 。 将（3.5）式代入运动方程（3.4）式中，可得 ) 2 (sin4)]cos(1[2)( 2 2 qa qm βω qa =−= β 则频谱 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 sin2)( qa m q β ω （3.7） 可以看出频率与波矢的关系，即ω~ q 关系不是线性的，故（3.7）式也叫一维单式 格子的色散关系。 3.1.3 晶格振动的色散关系 对研究晶格振动，色散关系很重要，有必要进行一些深入讨论： 1、 色散关系的特点 色散关系有两个显著的特点，一是偶函数：ω(q) =ω(-q)，二是周期函数，即 ) 2 ()( s a qq π ωω += （3.8） 这表明，当二个波矢相差为倒格矢的整数倍时，它们对应的频率是一样的。色散关 系的上述二个性质对更为复杂的晶格振动也是适用的。它们实际上与晶格振动系统的对 称性有关，前者涉及时间反演对称性，后者与晶格的周期结构有关。由于色散关系的周 期性，可以把它约化到第一（或简约）布里渊区中来表示。图 3.2 就是一维单式格子的 色散曲线。 3
图3.2单原子链的色散曲线 2、相速度和群速度 由于有色散关系,格波可用相速度和群速度来描述: 相速度:vp 群速度:vg-q 相速度是指特定频率为ω,波矢为q的波的传播速度;群速度则描述平均频率为ω 平均波矢为q的波包(波矢紧密相近的波群)速度,它表征能量和动量的传输速度。由 于格波的传播往往涉及能量和动量的传输。所以群速度在物理上更有意义 3、长波和短波近似 在布里渊区中心附近(q→0),由于q很小,我们有sin(9)≈9,这样 q)= (39) 此时频率与波矢为线性关系。波速vp=Yg=Nm a为与波矢无关的常数。由于q 取小值属于长波振动模,故上述线性关系为长波近似时的结果。这个结果可以这样理解, 由于长波近似下,格波的波长远大于原子间距,晶格就象一个连续介质,在连续介质中 传播的波为弹性波,其波速为声速,它是与波矢无关的常数,故单原子链中传播的长格 波叫声学波。 在短波近似(q→)时,频谱是非线性的。群速度就与波矢有关,即 在短波极限,即q=±一时 0 (3.11) 314周期边界条件玻恩一冯·卡门(Born- von Karman)条件 面所得的运动方程只适用于无限单原子链的情况。实际晶体总是有限的,因此有 边界。边界上的原子因所处的环境不同于晶体内的原子,振动的情况也会不同。但由于 边界上的原子数目远小于晶体内的原子数目,因此,边界上原子振动的情况,即边界条 件,对晶格振动的色散关系影响是很小的。从这个意义上讲,选取什么边界条件是无关
图 3.2 单原子链的色散曲线 2、相速度和群速度 由于有色散关系，格波可用相速度和群速度来描述： 相速度： q v p ω = ， 群速度： q vg ∂ ∂ = ω 相速度是指特定频率为ω，波矢为 q 的波的传播速度；群速度则描述平均频率为ω， 平均波矢为 q 的波包（波矢紧密相近的波群）速度，它表征能量和动量的传输速度。由 于格波的传播往往涉及能量和动量的传输。所以群速度在物理上更有意义。 3、长波和短波近似 在布里渊区中心附近（q→0），由于 qa 很小，我们有 2 ) 2 sin( qaqa ≈ ，这样 qa m q β ω )( = （3.9） 此时频率与波矢为线性关系。 波速 a m vv gp β == 为与波矢无关的常数。由于 q 取小值属于长波振动模，故上述线性关系为长波近似时的结果。这个结果可以这样理解， 由于长波近似下，格波的波长远大于原子间距，晶格就象一个连续介质，在连续介质中 传播的波为弹性波，其波速为声速，它是与波矢无关的常数，故单原子链中传播的长格 波叫声学波。 在短波近似 )|(| a q π → 时，频谱是非线性的。群速度就与波矢有关，即 vg = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 cos qa a m β （3.10） 在短波极限，即 a q π ±= 时， a m β ω π ω 2)( max ==± vg = 0 （3.11） 3.1.4 周期边界条件[玻恩—冯·卡门（Born-von Karman）条件] 上面所得的运动方程只适用于无限单原子链的情况。实际晶体总是有限的，因此有 边界。边界上的原子因所处的环境不同于晶体内的原子，振动的情况也会不同。但由于 边界上的原子数目远小于晶体内的原子数目，因此，边界上原子振动的情况，即边界条 件，对晶格振动的色散关系影响是很小的。从这个意义上讲，选取什么边界条件是无关 4
紧要的。常见的边界条件有两种:一是固定边界条件,即假定两端的原子固定不动。和 机械波一样,固定边界条件得到的解为驻波解。用驻波来表示格波,人们感到不甚习惯, 于是采用玻恩和冯·卡门提出的周期边界条件。这种边界条件假定我们研究的长度为 Na的有限晶体,是无限长的单原子链中的一个周期,因此各周期内相对应原子的运动 情况是一样的,即晶体中第i个原子,和t周期中的tN+i个原子运动情况是一样的。这 样,根据周期边界条件,我们有 (3.12) 亦即 Aei(ot-ga)= deilol-q(N+l)a (3.13) 这样 上式要成立,必须有 l为整数。 (3.14) 上式表明,描述有限晶格振动状态的波矢q不能取连续值而只能取一些分立的值, 也就是说,波矢q是量子化的,这是加上周期边界条件所得的第一个结论。由于q只能 取分立的值,则在有限的波矢空间,比如简约布里渊区内,q的取值是有限的。在简约 布里渊区内 <q≤ 不难算出,l应限制在 N 即l只能取从一N/2到N/2之间包括零在内的N个整数。N为原胞数,因此 的取值数目等于晶体中的原胞数。这是周期边界所得的第二个结论。从上面还可以看出 周期边界条件所得的解是行波解。 §32一维双原子链 除少数元素晶体,大多数晶体的原胞中都含 有不止一个原子,这就是复式格子。为充分认识 复式格子晶格振动的特征,我们下面研究最简单d22)82m23=3+22 的复式格子一维双原子链的晶格振动。 321运动方程 0-omm-o n o w o-ron'oD
紧要的。常见的边界条件有两种：一是固定边界条件，即假定两端的原子固定不动。和 机械波一样，固定边界条件得到的解为驻波解。用驻波来表示格波，人们感到不甚习惯， 于是采用玻恩和冯·卡门提出的周期边界条件。这种边界条件假定我们研究的长度为 Na 的有限晶体，是无限长的单原子链中的一个周期，因此各周期内相对应原子的运动 情况是一样的，即晶体中第 i 个原子，和 t 周期中的 t N+i 个原子运动情况是一样的。这 样，根据周期边界条件，我们有 1 = N+1 xx （3.12） 亦即 qati )( aNqti ])1([ Ae Ae − +− = ω ω （3.13） 这样 =1 iqNa e 上式要成立，必须有 l Na q 2π = ， l 为整数。 （3.14） 上式表明，描述有限晶格振动状态的波矢 q 不能取连续值而只能取一些分立的值， 也就是说，波矢 q 是量子化的，这是加上周期边界条件所得的第一个结论。由于 q 只能 取分立的值，则在有限的波矢空间，比如简约布里渊区内，q 的取值是有限的。在简约 布里渊区内 a q a π π ≤<− 不难算出，l 应限制在 22 N l N ≤<− 即 l 只能取从－N / 2 到 N / 2 之间包括零在内的 N 个整数。N 为原胞数，因此，q 的取值数目等于晶体中的原胞数。这是周期边界所得的第二个结论。从上面还可以看出， 周期边界条件所得的解是行波解。 §3.2 一维双原子链 除少数元素晶体，大多数晶体的原胞中都含 有不止一个原子，这就是复式格子。为充分认识 复式格子晶格振动的特征，我们下面研究最简单 的复式格子一维双原子链的晶格振动。 3.2.1 运动方程 5
图3.3为一维双原子链示意图。相邻原子间的距离为a,相邻同种原子(即等效点) 可的距离则为2a,因此,该晶格常数为2a。质 图3-3一维双原子链 量为m的小原子用奇数表示,质量为M的大原子 用偶数表示,原子间的力常数均为B。类同于式(34),我们得到如下运动方程 β( 2x2n1) (3.15) M d B(x2n+3+x2 式(3.15)的试探解仍为角频率为o的简谐振动 B 由于两种原子不同,它们的振幅也不一样,我们分别以A和B表示。将式(3.16) 代入方程(3.15),可以得到 A= B(eqa 2BA (3.17) Mo b= B(e+e- )A-2BB 化简并移项,可得如下以A、B为未知数的线性齐次方程: (2B-mO)A-(2B cos qa)B=0 (3.18) (2Bcos ga)A+(2B-MOB=0 欲使A、B有非零的解,其系数行列式应为零,即 B 2B cos qa 0 (3.19) 2B cos qa 2B-Mo21 由此解得两个ω2值。设M>m,则有 (m+M)-[m+M+2mM cos(2qa)]2 M m7(m+0+1m++2mM0 根据式(3,20)可画出两支格波的频谱或色散曲线(见图34)。和单原子链一样, 这两支色散关系都是偶函数和周期函数(以倒原胞或布里渊区大小为周期,此处即为 丌/a)。如前所述,这些性质是由晶格振动系统的对称性决定的,因此适用于更为复杂 的晶格振动情况,如原胞内有更多的原子以及二维和三维晶格的情况
图 3.3 为一维双原子链示意图。相邻原子间的距离为 a，相邻同种原子（即等效点） 之间的距离则为 2a，因此，该晶格常数为 2a。质 量为 m 的小原子用奇数表示，质量为 M 的大原子 用偶数表示，原子间的力常数均为β。类同于式（3.4），我们得到如下运动方程: 图 3-3 一维双原子链 ( )2 ( )2 2 221232 22 2 2 222 12 12 2 + + + + + + + −+= −+= n n n n n n n n xxx dt xd M xxx dt xd m β β （3.15） 式（3.15）的试探解仍为角频率为ω的简谐振动 ])2([ 22 ])12([ 12 aznqti n anqti n Bex Aex +− + +− + = = ω ω （3.16） 由于两种原子不同，它们的振幅也不一样，我们分别以 A 和 B 表示。将式（3.16） 代入方程（3.15），可以得到 BAeeBM ABeeAm iqa iqa iqa iqa βω β βω β 2)( 2)( 2 2 −+=− −+=− − − （3.17） 化简并移项，可得如下以 A、B 为未知数的线性齐次方程： 0)2()cos2( 0)cos2()2( 2 2 − =−+ −− = BMAqa Am Bqa β ωβ βωβ （3.18） 欲使 A、B 有非零的解，其系数行列式应为零，即 0 cos2 2 2 cos2 2 2 = − − − − β ωβ ωβ β qa M m qa （3.19） 由此解得两个ω2 值。设M > m，则有 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ++++ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ++−+ 2 1 2 22 2 2 1 2 22 1 [)( )]2cos(2 [)( )]2cos(2 mMMmMm qa mM mMMmMm qa mM β ω β ω （3.20） 根据式（3.20）可画出两支格波的频谱或色散曲线（见图 3.4）。和单原子链一样， 这两支色散关系都是偶函数和周期函数（以倒原胞或布里渊区大小为周期，此处即为 π / a ）。如前所述，这些性质是由晶格振动系统的对称性决定的，因此适用于更为复杂 的晶格振动情况，如原胞内有更多的原子以及二维和三维晶格的情况。 6
3.22两支格波的特征 色散关系中频率较低的一支叫声学支或声频支,它很像 单原子链中的声学支;频率较高的一支则叫光学支。这两支 在一些特征点,如布里渊区中心(q=0)和边界 光频支 (q=±r/2a)的频率值可由式(320)算出,并标在图 (第)2 34中。可以看出,两支格波间有一频率禁带,即频率在 1(器 2B/M和√2B/m之间的格波是不能在晶体中传播的 当M=m时,频率禁带消失,这时双原子链的色散关系会回-2 到单原子链的情况 现将周期边界条件也应用于双原子链,设一维双原子链图34双原子镇的色散关系 有N个原胞,则: x2n+1=x2(n+N+ (3.21) 可得 e24=1即q=xl,1为整数 由于q限制在 <q≤,可得 N 可见在一维单式格子加上周期边界条件所得的两个结论,即q的取值应是分立的和 在简约布里渊区的范围内,q的取值数目等于原胞数,在一维双原子链同样适用。事实 上,上述两点结论在更复杂的晶格(原胞内含有更多的原子数)以及二维和三维的情况 均适用。 从上面分析可以看出,格波的支数等于原胞内的原子数也即自由度数(一维时, 个原子只有一个自由度),而波矢空间每个q都会在每支格波上对应一个频率,这样, 对晶格振动,我们可得如下结论 晶格振动的波矢数=晶体的原胞数 晶体中格波的支数=原胞内的自由度数 晶格振动的模式数=晶体的自由度数 上述结论也可推广到m维(如二维或三维)复式晶格情况,只不过,由于m维时 有m个互相正交的振动方向,所以每个原子有m个自由度:这样如果一个m维复式晶 格原胞数为N,每个原胞含P个不等效的原子,则:晶格振动波矢数为N,格波支数为 mp,这其中,m支为声学支,m(p-1)支为光学支,晶格振动的模式数则为mpN 323声学波和光学波
3.2.2 两支格波的特征 色散关系中频率较低的一支叫声学支或声频支，它很像 单原子链中的声学支；频率较高的一支则叫光学支。这两支 在一些特征点，如布里渊区中心（ q = 0 ）和边界 （ ±= π 2/ aq ）的频率值可由式（3.20）算出，并标在图 3.4 中。可以看出，两支格波间有一频率禁带，即频率在 2β M/ 和 β /2 m 之间的格波是不能在晶体中传播的； 当 M = m 时，频率禁带消失，这时双原子链的色散关系会回 到单原子链的情况。 图 3.4 双原子链的色散关系 现将周期边界条件也应用于双原子链，设一维双原子链 有 N 个原胞，则： + 212 ++ 1)( = n Nn xx （3.21） 可得 1 2 = qNai e 即 l Na q π = ，l 为整数。 由于 q 限制在 , 22 a q a π π ≤<− 可得 22 N l N ≤<− 可见在一维单式格子加上周期边界条件所得的两个结论，即 q 的取值应是分立的和 在简约布里渊区的范围内，q 的取值数目等于原胞数，在一维双原子链同样适用。事实 上，上述两点结论在更复杂的晶格（原胞内含有更多的原子数）以及二维和三维的情况 均适用。 从上面分析可以看出，格波的支数等于原胞内的原子数也即自由度数（一维时，一 个原子只有一个自由度），而波矢空间每个 q 都会在每支格波上对应一个频率，这样， 对晶格振动，我们可得如下结论： 晶格振动的波矢数=晶体的原胞数 晶体中格波的支数=原胞内的自由度数 晶格振动的模式数=晶体的自由度数 上述结论也可推广到 m 维（如二维或三维）复式晶格情况，只不过，由于 m 维时 有 m 个互相正交的振动方向，所以每个原子有 m 个自由度；这样如果一个 m 维复式晶 格原胞数为 N，每个原胞含 p 个不等效的原子，则：晶格振动波矢数为 N，格波支数为 mp，这其中，m 支为声学支，m (p-1)支为光学支，晶格振动的模式数则为 mpN。 3.2.3 声学波和光学波 7
前面我们发现对复式晶格,格波可分为声学波和光学波。声学波和光学波的命名不 仅由于它们的频率,主要是依据它们在长波极限下的性质。下面就讨论长声学波和长光 学波的基本特性。 长声学波 声学支a1的色散关系(320)式可改写为 a=D(m+M)-(m+M3-2mM/(-os2yoy Mm 4mM =-2(m+M){1-[l- (m+M)2sin(qa)7 /2 (3.22) 在长波近似时,q→0, singa≈qa,则 2B 这与连续介质弹性波的情况 q 是类似的。比较式(3.23)和(3.24),可得长声学波的波速为 (3.25) Vm+M 而对连续介质,弹性波的速度为 式中K为弹性模量,p为介质密度,对于一维复式格子,K=Ba,线密度p=(m+ M)/2a,因此 B 2B (327) V(m+M)/2a VM+m 式(327)和(325)完全一样,可见长声学波就是连续介质的弹性波,声学波因 而由此命名。除了热激发外,长声学波可用超声波激发。 对声学波a1,由式(3.18)可以得到 2B( (3.28) 从图34可知,∞3<2B:2B ,由于波矢被限定在简约布里渊区内,故 coSa M 所以
前面我们发现对复式晶格，格波可分为声学波和光学波。声学波和光学波的命名不 仅由于它们的频率，主要是依据它们在长波极限下的性质。下面就讨论长声学波和长光 学波的基本特性。 1、长声学波 声学支ω1的色散关系（3.20）式可改写为 })]2cos(1(2)[(){( 2 2 2/1 1 mMMmMm qa Mm −−+−+= β ω = })](sin )( 4 1[1){( 2/12 2 qa Mm mM Mm mM + −−+ β （3.22） 在长波近似时，q→0，sinqa≈qa，则 aq + Mm = β ω 2 1 （3.23） 这与连续介质弹性波的情况 ω= vq （3.24） 是类似的。比较式（3.23）和（3.24），可得长声学波的波速为 Mm av + = 2β （3.25） 而对连续介质，弹性波的速度为 ρ K v = （3.26） 式中 K 为弹性模量，ρ为介质密度，对于一维复式格子，K =βa，线密度ρ =（m + M）/2a，因此 mM a aMm a v + = + = β 2β 2/)( （3.27） 式（3.27）和（3.25）完全一样，可见长声学波就是连续介质的弹性波，声学波因 而由此命名。除了热激发外，长声学波可用超声波激发。 对声学波ω1，由式（3.18）可以得到 2 1 1 2 )(cos2 ωβ β m qa B A − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ （3.28） 从图 3.4 可知， mM β β ω2 22 1 0， 所以 8
这表明对于声学波,相邻原子的振动方向相同。在长波极限,即q=0时,有 (3.30) B 这就代表原胞质心的平动。在m(m=1,2,3)维晶体,质心只能沿m个独立的方 向运动,所以声学支只有m支 2.长光学波 由式(3.18)可得出对光学波振动o2的原胞中两原子的振幅之比为 A 2B-Mo (3.31) 2B 从图34可知,02>20,而ca>0,故得 B (3.32) 所以光学波中相邻两个原子的振动方向是相反的。对长波近似(q→0),cosq≈1 n2≈2(M+m,所以 M (3.33) 在长波极限(q=0)时,Am+BM=0,则原胞的质心保持不动。对离子晶体 原胞内相邻两原子带有不同电荷,不同的振动方向会导致极化和电偶极矩变化,所以光 学波可用光波的电磁场来激发,这是这种格波叫光学波的原因。长光学纵波也叫极化波。 §3.3晶格振动的量子化和声子 前面我们从经典力学出发,用简谐近似和最近邻作用近似研究了一维晶格振动的动 力学问题。其结果为:晶格振动是一种集体运动形式,即表现为不同模式的格波。各种 格波是前述运动方程的一个特解。 331格波的量子理论 以单原子为例,在式(35)中,因振幅依赖于波矢q,故写成4,再将e“包括进去, 则可写成4q(t):于是第n个原子在时刻的位移可表为
0 1 ⎟ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ B A （3.29） 这表明对于声学波，相邻原子的振动方向相同。在长波极限，即 q = 0 时，有： 1 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ B A （3.30） 这就代表原胞质心的平动。在 m（m = 1, 2, 3）维晶体，质心只能沿 m 个独立的方 向运动，所以声学支只有 m 支。 2. 长光学波 由式（3.18）可得出对光学波振动ω2的原胞中两原子的振幅之比为 qa M B A cos2 2 2 2 2 β − ωβ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ （3.31） 从图 3.4 可知， M β ω2 2 2 > ，而 cosq a > 0，故得 0 2 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ B A （3.32） 所以光学波中相邻两个原子的振动方向是相反的。对长波近似（q→0），cosqa≈1, , 2 )(2 2 Mm + mM ≈ β ω 所以 m M B A⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ~ 2 （3.33） 在长波极限（q = 0）时， + BMAm = 0 ，则原胞的质心保持不动。对离子晶体， 原胞内相邻两原子带有不同电荷，不同的振动方向会导致极化和电偶极矩变化，所以光 学波可用光波的电磁场来激发，这是这种格波叫光学波的原因。长光学纵波也叫极化波。 §3.3 晶格振动的量子化和声子 前面我们从经典力学出发，用简谐近似和最近邻作用近似研究了一维晶格振动的动 力学问题。其结果为：晶格振动是一种集体运动形式，即表现为不同模式的格波。各种 格波是前述运动方程的一个特解。 3.3.1 格波的量子理论 以单原子为例，在式（3.5）中，因振幅依赖于波矢q，故写成Aq，再将e iωt 包括进去， 则可写成Aq (t)；于是第n个原子在t时刻的位移可表为： 9
xn()=∑4(t)e q的取值仍受周期边界条件限制,这样可得单原子链振动时的总哈密顿量 H=T+U= B n+1-x (3.35) 在上式的势能函数中包含有依赖于两个原子坐标的交叉项,这给理论处理带来困 难。我们希望通过坐标变换,去除交叉项,将总哈密顿量看成各个独立(正交)的哈密 顿量的总和。为此,引进简正坐标Qq,对x进行坐标变换(简正变换): ∑Q()e Nm q 将此式代入(3.35)并经适当运算,可以得到 H=T+U 2 ∑1QP+∑叫2QP 式(337)中的是格波可能有的频率。若令广义动量P=Q,则晶格振动的总 哈密顿量可写成: H=∑H4=∑(PP+o2lQ) (3.38) 各个H为一个简谐振子的哈密顿量。由于据周期边界条件,q可取N个分立值,故上 式为N个独立简谱振子哈密顿量之和。这样,式(3.38)可写为 H=∑H1=∑(PF+c21gP (3.39) 根据量子力学,晶格振动系统的总能量为 ∑6=∑(n+ho (340) 显然,这些能量是量子化的。 上述方法也可推广到三维晶格,设每个原胞中含p个原子,此时,系统总能量为 E=∑61=∑(n+)h (3.41) 3.32声子
iqna q n n etAtx − =Σ )()( （3.34） q 的取值仍受周期边界条件限制，这样可得单原子链振动时的总哈密顿量： =+= + ∑∑ + − n nn n n mx xx 2 UTH 2 1 )( 2 2 1 · β （3.35） 在上式的势能函数中包含有依赖于两个原子坐标的交叉项，这给理论处理带来困 难。我们希望通过坐标变换，去除交叉项，将总哈密顿量看成各个独立（正交）的哈密 顿量的总和。为此，引进简正坐标Qq，对xn进行坐标变换（简正变换）： iqna q q n etQ mN tx − = Σ )( 1 )( （3.36） 将此式代入（3.35）并经适当运算，可以得到 =+= ∑ ∑ + q q UTH Qq Qqq 2 22 || 2 1 || 2 1 ω （3.37） · 式（3.37）中的ωq是格波可能有的频率。若令广义动量 = QP qq ，则晶格振动的总 哈密顿量可写成： · == ∑∑ + q q qq q HH q QP )|||(| 2 1 222 ω （3.38） 各个Hq为一个简谐振子的哈密顿量。由于据周期边界条件，q可取N个分立值，故上 式为N个独立简谱振子哈密顿量之和。这样，式（3.38）可写为： )|||(| 2 1 222 1 1 iii N i N i HH i == ∑∑ +ω QP = = （3.39） 根据量子力学，晶格振动系统的总能量为 h ,2 ,1 ,0,) L 2 1 ( 1 1 ∑ ∑ +== = = = i i N i N i E ε i ni ω n （3.40） 显然，这些能量是量子化的。 上述方法也可推广到三维晶格，设每个原胞中含 p 个原子，此时，系统总能量为 ∑∑= = +== pN i i i pN i E i n 3 1 3 1 ) 2 1 ε ( hω （3.41） 3.3.2 声子 10
