(2)任意的两个整数a,b,要么a≡b(modm),要么 a≠ b(modm)。 如果a≡b(modm),由(1)知C。=C 如果a≠ b(mod n),用反证法。假设C∩C≠p,即存在 整数c,使得C∈C且c∈C,于是存在整数k,k2,使得 C=a+km及C=b+km,由这两个等式很容易得 a=b+(k2-km,即a≡b(modm),与条件4≠b(modm) 矛盾。因此C∩C=p (3)对于模m而言,集合{0,1,2,…,m-1}中任意两个元素 互不同余,所以由集合CC12C2,…C是m个两两互不相 交的集合,且任意一个整数,必属于其中一个集合,即它们 构成整数集合Z的一个划分。任意m+1个整数,必有两个数 属于C,C,C,…,C中的同一个集合,由(1)知它们对模 m同余 定义1每一个这样的集合C称为模m的同余类或剩余类, 个剩余类中的任意一个元素叫做该类中的代表元或剩余 一组数a,a,…a称为是模m的完全剩余系,如果对于任意 的整数a有且仅有一个整数a(1≤i≤s)与a在同一个剩余类 中 由定理1(3)知,模m的完全剩余系是存在的,且S=m以 及给定的m个整数是模m的完全剩余系的充分必要条件是 它们两两对模m不同余。事实上,一组模m的完全剩余系就（2）任意 的两 个整 数 a,b ，要么 a  b(modm) ，要么 a  b(modm)。 如果 a  b(modm) ，由（1）知 C a = Cb ； 如果 a  b(mod m) ，用反证法。假设 C a Cb =  ，即存在 整数 c ，使得 C a c 且 Cb c ，于是存在整数 1 2 k ,k ，使得 c = a + k1m 及 c = b + k2m ，由这两个等式很容易得 a = b + (k2 − k1 )m ，即 a  b(modm) ，与条件 a  b(mod m) 矛盾。因此 C a Cb =。 （3）对于模 m 而言，集合 {0,1,2,  ,m −1} 中任意两个元素 互不同余，所以由集合 0 1 2 1 , , , , C C C  C m− 是 m 个两两互不相 交的集合，且任意一个整数，必属于其中一个集合，即它们 构成整数集合  的一个划分。任意 m +1 个整数，必有两个数 属于 0 1 2 1 , , , , C C C  C m− 中的同一个集合，由（1）知它们对模 m 同余。 定义 1 每一个这样的集合 C a 称为模 m 的同余类或剩余类， 一个剩余类中的任意一个元素叫做该类中的代表元或剩余。 一组数 a a a s , , , 1 2  称为是模 m 的完全剩余系，如果对于任意 的整数 a 有且仅有一个整数 a (1 i s) i   与 a 在同一个剩余类 中。 由定理 1（3）知，模 m 的完全剩余系是存在的，且 s = m 以 及给定的 m 个整数是模 m 的完全剩余系的充分必要条件是 它们两两对模 m 不同余。事实上，一组模 m 的完全剩余系就