《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 §2.3数列极限存在的条件 教学内容：第二章数列极限一一§2.3数列极限存在的条件 教学目标：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。 教学要求：(1)掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限： (②)初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判 断某些数列的敛散性 教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用. 教学难点：相关定理的应用. 教学方法：讲练结合. 教学过程： 引言 在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存 在性问题)：若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）·这是极限理论的两基本 问题.在实际应用中，解决了数列{a,}极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困难，但 由于当n充分大时，a,能充分接近其极限a,故可用a,作为a的近似值. 本节将重点讨论极限的存在性问题。 为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办 法是直接从数列本身的特征来作出判断。 从收敛数列的有界性可知：若{a}收敛，则{a,}为有界数列：但反之不一定对，即{a,}有 界不足以保证{a}收敛.例如{-1}但直观看来，若{a}有界，又{a}随n的增大（减少）而 增大（减少），它就有可能与其上界（或下界）非常接近，从而有可能存在极限（或收敛）· 为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称一一单调数列 一、单调数列 定义若数列{a.}的各项满足不等式an≤a(a≥a),则称{a.}为递增（递减）数列.递 增和递减数列统称为单调数列. 《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 1 §2.3 数列极限存在的条件 教学内容：第二章 数列极限 ——§2.3 数列极限存在的条件 教学目标：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具. 教学要求：(1) 掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限； (2) 初步理解 Cauchy 准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用 Cauchy 准则判 断某些数列的敛散性. 教学重点：单调有界定理、Cauchy 收敛准则及其应用. 教学难点：相关定理的应用. 教学方法：讲练结合. 教学过程： 引言 在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存 在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）.这是极限理论的两基本 问题.在实际应用中，解决了数列 an 极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困难，但 由于当 n 充分大时， n a 能充分接近其极限 a，故可用 n a 作为 a 的近似值. 本节将重点讨论极限的存在性问题. 为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办 法是直接从数列本身的特征来作出判断. 从收敛数列的有界性可知：若 an 收敛，则 an 为有界数列；但反之不一定对，即 an 有 界不足以保证 an 收敛.例如 ( 1)  n − .但直观看来，若 an 有界，又 an 随 n 的增大（减少）而 增大（减少），它就有可能与其上界（或下界）非常接近，从而有可能存在极限（或收敛）. 为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称——单调数列. 一、单调数列 定义 若数列 an 的各项满足不等式 1 1 ( ) n n n a a a a   + + ，则称 an 为递增（递减）数列.递 增和递减数列统称为单调数列．