《数学分析》上厨教案 第二章数列极限 海南大学数学系 :得为适减数列：为递指数列：以不是单调数列 、n 二、单调有界定理 问题(1)单调数列一定收敛吗？；(2)收敛数列一定单调吗？ 一个数列{a},如果仅是单调的或有界的，不足以保证其收敛，但若既单调又有界，就可以 了.此即下面的极限存在的判断方法. 定理（单调有界定理）在实数系中，有界且单调数列必有极限 几何解释单调数列a,只可能向一个方向移动，故仅有两种可能：(1)点0，沿数轴移向 无穷远：(2)a,无限趋于某一个定点4，即4→4n→四). 证明不妨设a,}单调增加有上界，把a,}看作集合，有确界原理，spa,}=“存在 即：(1)n,a.≤“：(2)e>0,3n∈N使an>H-e, 由于a,}单调增加，故当n>n时有4-6<a≤an≤1<1+￡ 即当”>%时la,-4水E亦即血a.=从. 例1a>0,证明数列 a=a,a,=a+a,a=a+a+后，a,=a+a++后 收敛，并求其极限 证明从该数列的构造，显见它是单调增加的，下面来证它是有界的. 易见a.2a>0,且4=a+a,4=a+a,a,=a+a, 从而a后=a+a-l<a+a。两端除以a,得 n,a,之后一a≤a,<1+后故a有界即得极限存在《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 2 例如： 1 n       为递减数列；   2 n 为递增数列； ( 1)n n   −     不是单调数列. 二、单调有界定理 问题 （1）单调数列一定收敛吗？；（2）收敛数列一定单调吗？ 一个数列 an ，如果仅是单调的或有界的，不足以保证其收敛，但若既单调又有界，就可以 了.此即下面的极限存在的判断方法. 定理（单调有界定理） 在实数系中，有界且单调数列必有极限. 几何解释 单调数列 { }n a 只可能向一个方向移动，故仅有两种可能：（1）点 n a 沿数轴移向 无穷远；（2） n a 无限趋于某一个定点 A ，即 a → A(n → ) n . 证明 不妨设 { }n a 单调增加有上界，把 { }n a 看作集合，有确界原理， sup{an } =  存在 即：（1） n， an   ；（2）   0，n0  N 使 n0 a   −  , 由于 { }n a 单调增加，故当 n  n0 时有  −   n0 a      +  an 即当 n  n0 时 | −  |  an 亦即 =  → n n lim a . 例 1 a  0 ，证明数列 a1 = a ， a2 = a + a ， a3 = a + a + a ，.， n a a a a = + + + ，. 收敛，并求其极限. 证明 从该数列的构造，显见它是单调增加的，下面来证它是有界的. 易见 an  a  0 ，且 a2 = a + a1 ， a3 = a + a2 ，.， an = a + an−1 ，., 从而 1 2 an = a + an−  a + an 两端除以 n a 得 n n a a a  1+ , n， an  a  a  an 1+ a 故 { }n a 有界即得极限存在