2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 基础班微积分第5讲 微分学基本定理及应用2不定积分与原函数 4.5泰勒公式与洛必达法则 4.5.1引言 对函数的许多性态研究,最终也将由泰勒公式(Tay1or公式)给出理论依据。例 如局部极值问题,以及用于求极限的洛必达法则,都是以泰勒公式为理论依据而得 到某些有效的方法 由y=f(x)在x处的可导性与可徽性概念,在x0附近的∫(x)可以表示为 f(x)=f(x0)+f(x)x-x0)+a(x-x0) 其中a(x-x0)为x→x0时的高阶无穷小量 计算f(x)的近似值可取f(x)≈f(x0)+f(x0)x-x0) 若舍去的误差a(x-x0)不能满足精度要求,则可设想是否在x与x之间存在5, 使得f(x)=f(x0)+f(x)(x-x0)+qf"((x-x0)2其中a为常数,事实上 这正是泰勒公式的基本思想。也是微分中值定理的进一步推广 2 4.5.2n阶泰勒公式 定理4.10泰勒公式设函数f(x)在区间(a,b)内具有n+1阶导数, f(x)=f(x0)+f(x0x-x)+(o) x 6)"+Rn(x) n (n+1(2) 其中R(x)= (n+1)! (x-x0)+,5是介于x和x之间的某个数。R(x) 称为n阶泰勒余项(具有拉格朗日形式的余项)。 x=0时的泰勒公式叫做麦克劳林公式,即 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutorcom电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 基础班微积分第 5 讲 微分学基本定理及应用 2 不定积分与原函数 4．5 泰勒公式与洛必达法则 4．5．1 引言 对函数的许多性态研究，最终也将由泰勒公式(Taylor 公式)给出理论依据。例 如局部极值问题，以及用于求极限的洛必达法则，都是以泰勒公式为理论依据而得 到某些有效的方法。 由 y = f (x) 在 处的可导性与可微性概念，在 附近的 可以表示为 0 x 0 x f (x) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 0 f x = f x + f ′ x x − x +α x − x 其中 ( ) 0 α x − x 为 时的高阶无穷小量。 0 x → x 计算 f (x) 的近似值可取 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 f x ≈ f x + f ′ x x − x 若舍去的误差 ( ) 0 α x − x 不能满足精度要求，则可设想是否在 x0与 x 之间存在ξ ， 使 得 f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) + af ′′(ξ )(x − x0 ) 2 其 中 a 为 常 数，事 实 上 2 1 a = 。这正是泰勒公式的基本思想。也是微分中值定理的进一步推广。 4．5．2 n 阶泰勒公式 定理 4.10 泰勒公式 设函数 f (x) 在区间(a,b)内具有 n +1阶导数， 2 0 0 0 0 0 ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f x f x f x f x x x − ′′ = + ′ − + ( ) ( ) ! ( ) 0 0 ( ) x x R x n f x n n n +L+ − + 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ξ ，ξ 是介于 和 之间的某个数。 0 x x R (x) n 称为 n 阶泰勒余项(具有拉格朗日形式的余项)。 0 时的泰勒公式叫做麦克劳林公式，即 x0 = 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 1 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805