2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 f(x)=f(0)+f(Ox+2(0) 2+.+o0n+(m+(fxn+1 具有皮亚诺余项形式的泰勒公式为(此时,只要求函数f(x)在区间(a,b)内具 有n阶导数)为 f(x)=f(x0)+f(xo(x-x)+f"(o) (x-x0)2 f"(x0) n!(x-x0)”+o(x-x) 注(1)对本课程而言,具有拉格朗日形式余项的来勒公式常用来证明不等式或分析 一些理论问题。 (2)具有皮亚诺形式余项的泰勒公式常用来求极限,或考查(局部)极值问题。 (3)具有拉格朗日余项的来勒公式可以视为拉格朗日微分中值定理的推广,而 拉格朗日微分中值定理实质是0阶泰勒公式 (4)对给定的函数进行泰勒展开时,一般有两种方法,即用泰勒公式定义,求 各阶导数的方法,称之为直接法;而利用初等函数泰勒公式的结论为依据,再利用 函数的代数运算与复合运算进行泰勒展开的方法,统称为间接方法。在题目中,如 果没有特别指明用直接方法,则可利用间接方法。 例430将∫(x)=x2在x0=1处展开为一阶泰勒公式(具有拉格朗日余项和皮亚 诺余项)。 【解】f(1)=1,f(1)=2,f"(x)=2, 在x0=1处的展开式为(具有拉格朗日余项):x2=1+2(x-1)+(x-1)2 具有皮亚诺余项形式的展开式为(一阶)x2=1+2(x-1)+o(x-1)。 例431求∫(x)=sinx-x在x=0处的三阶泰勒公式(具有皮亚诺余项)。 【解】只须利用sinx的展开式进行运算即有 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutorcom电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 2 2! (0) ( ) (0) (0) x f f x f f x ′′ = + ′ + 1 ( 1)! ( ) ( 1) ! (0) ( ) + + + + + + nx n n n f x n n f ξ L 。 具有皮亚诺余项形式的泰勒公式为(此时, 只要求函数 在区间 内具 有 阶导数)为: f (x) (a,b) n 2 0 0 0 0 0 ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f x f x f x f x x x − ′′ = + ′ − + n n n x x o x x n f x ( ) ( ) ! ( ) 0 0 0 ( ) +L+ − + − 注(1) 对本课程而言，具有拉格朗日形式余项的泰勒公式常用来证明不等式或分析 一些理论问题。 (2) 具有皮亚诺形式余项的泰勒公式常用来求极限，或考查(局部)极值问题。 (3) 具有拉格朗日余项的泰勒公式可以视为拉格朗日微分中值定理的推广，而 拉格朗日微分中值定理实质是 0 阶泰勒公式。 (4) 对给定的函数进行泰勒展开时，一般有两种方法，即用泰勒公式定义，求 各阶导数的方法，称之为直接法；而利用初等函数泰勒公式的结论为依据，再利用 函数的代数运算与复合运算进行泰勒展开的方法，统称为间接方法。在题目中，如 果没有特别指明用直接方法，则可利用间接方法。 例 4.30 将 在 处展开为一阶泰勒公式(具有拉格朗日余项和皮亚 诺余项)。 2 f (x) = x x0 =1 【解】 f (1) = 1, f ′(1) = 2, f ′′(x) = 2 ， 在 1处的展开式为(具有拉格朗日余项)： x0 = 2 2 x = 1+ 2(x −1) + (x −1) 具有皮亚诺余项形式的展开式为（一阶） 1 2( 1) (( 1)) 。 2 x = + x − + o x − 例 4.31 求 f (x) = sin x − x 在 x0 = 0 处的三阶泰勒公式(具有皮亚诺余项)。 【解】只须利用sin x 的展开式进行运算即有 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 2 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805