证明: 设有本征函数系:{V,i=0,12 为正交,归一的完备集 其能量: E0<E1≤E2≤……,EE0=0 则有: HVi=E 那么任意波函数v可按的本征函数v展开 v=∑c1vi{v,i=0,1,2 则,《E)=yvd=∑c半v*∑cvd=∑c*c1E 因c*c恒为正值,∑c*c1=1(v*vdr=1),0<c*c≤1 故,<E〉-E0=∑c*cE1一E0=∑c*c(E1E0)20 <E〉≥E证明： 设有本征函数系：｛ i , i = 0,1,2,……｝为正交，归一的完备集 其能量： E0 ≤E1 ≤E2 ≤……,Ei－E0≥0 则有： Ĥ i = Ei i 那么任意波函数 可按Ĥ的本征函数 i 展开  =Σci i ｛ i , i = 0,1,2…… ｝ 则，〈E〉=∫*Ĥd=∫∑ci *i * Ĥ∑ci i d=∑ci*ci Ei 因ci*ci 恒为正值，∑ci*ci =1(∫*d=1)，0＜ ci*ci ≤1 故，〈E〉－E0 ＝∑ci*ci Ei－E0 ＝ ∑ci*ci (Ei－E0 ) ≥0 ∴ 〈E〉≥E0