r(A)=3<5,基础解系含有5-3=2个解向量。同解方程组为{x3=-x 0 取的值分别为 0)(1,可得方程组的一个基础解系h,2 例4求下列齐次线性方程组的通解 +2x2+2x3+x4=0 2x1+ x1-x2-4x3-3x4=0 解m=3<n=4,方程组必有非零解 A=21-2 →|012 r(A)=2<4,基础解系含有4-2=2个解向量。与原方程组同解的方程组 1)(0 取x的值分别小0/(1/,可得通解:们=k仍+k2几2=k 例5设A为m×n矩阵,B为n×s矩阵,如果AB=O,证明r(A)+r(B)≤n 证明记B=(β1,…B3),由AB=O,得邱B=G=1…,s) 当r(A)=n时,Ax=6只有零解。于是B,=6,即B=O,r(B)=0,于是r(A)+r(B)=n 当r(A)=F<n时,Ax=有基础解系,记为n1…,nmx,由于邢,=(=1,…,s) 于是B,都是Ax=e的解向量,故(D)B1;…,阝,可由(Dn1…,nr线性表出,所以 r()≤r(1),因为r(1)=n-r,所以r(Ⅱ)≤n-r,即r(B)≤n-r,故r(A)+r(B)≤n71 r(A) = 3  5 ，基础解系含有 5−3 = 2 个解向量。同解方程组为      = = − = − − 4 0 3 5 1 2 5 x x x x x x . 取         5 2 x x 的值分别为                 1 0 , 0 1 ，可得方程组的一个基础解系 1 2  ,  . 例 4 求下列齐次线性方程组的通解      − − − = + − − = + + + = 4 3 0 2 2 2 0 2 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x . 解 m = 3 < n = 4，方程组必有非零解。           →           − − − = − − − − 0 0 0 0 0 1 2 1 0 2 3 4 3 5 1 1 4 3 2 1 2 2 1 2 2 1 A ， r(A) = 2  4 ，基础解系含有 4 − 2 = 2 个解向量。与原方程组同解的方程组        = − − = + 2 3 4 1 3 4 3 4 2 3 5 2 x x x x x x . 取         4 3 x x 的值分别为                 1 0 , 0 1 ，可得通解：               − +               − = + = 1 0 0 1 2 2 3 4 3 5 1 1 2 2 1 2  k  k  k k 。 例 5 设 A 为 mn 矩阵，B 为 ns 矩阵，如果 AB = O ，证明 r(A) + r(B)  n 。 证明 记 ( , , ) B = 1  s ，由 AB = O ，得 A j =  ( j = 1,  ,s) 。 当 r(A) = n 时， A x =  只有零解。于是  j =  ，即 B=O，r(B) = 0, 于是 r(A) + r(B) = n. 当 r(A) = r  n 时， A x = 有基础解系，记为  n−r , , 1  ，由于 A j =  ( j = 1,  ,s) 。 于是  j 都是 A x =  的解向量，故(II)  s , , 1  可由(I)  n−r , , 1  线性表出，所以 r (II )  r ( I )，因为 r ( I ) = n − r, 所以 r ( II )  n − r, 即 r(B)  n − r ，故 r(A) + r(B)  n