从而得到(6)(也就是原方程组)的n-r个解,记为n1,m2…,7nr 下面证明η,n2,…,nn是原方程组的一个基础解系。 首先,因为 …:线性无关,添加分量后n,n2…n也是线性无关的 其次,设原方程组的任意解为n=(41…λ1…),它也是(6)的一个解 考虑向量 5=1+2n2+…+1n=( an) ξ是(6)的一个解。由于(6的任一个解的前r个坐标由后n-F个坐标唯一确定,而ξ与n的 后n-r个坐标相等,所以ξ与n的前r个坐标也相等,即 = 1n1+λr+2n2 n 从而方程组的任一个解可由n1,n2…,nn线性表示,即n1,n2,…,nn是原方程组的一个 基础解系。 由定理的证明过程可知,Ax=0的基础解系不唯一(这表现在x+1,x+2,…xn可取不 同的值)。 当r(A)=r<n时,Ax=0的任意n-r个线性无关的解向量51…,5n都是它的一 个基础解系。 例3求下列齐次线性方程组的一个基础解系: +x6=0 x1+x2-x3= 0 l1001 11001 解A=11-100 00101 0001070 从而得到(6)（也就是原方程组）的 n − r 个解，记为 , , , , 1 2  n−r 下面证明   n−r , , , 1 2  是原方程组的一个基础解系。 首先，因为                                           1 0 0 , , 0 1 0 , 0 0 1     线性无关，添加分量后   n−r , , , 1 2  也是线性无关的； 其次，设原方程组的任意解为 ( ) T  = 1  r r+1  n ，它也是(6)的一个解。 考虑向量  = r+11 + r+22 ++ nn−r ( ) T = *  * r+1  n ，  是(6)的一个解。由于(6)的任一个解的前 r 个坐标由后 n − r 个坐标唯一确定，而  与  的 后 n − r 个坐标相等，所以  与  的前 r 个坐标也相等，即  =  = r+11 + r+22 ++ nn−r 。 从而方程组的任一个解可由   n−r , , , 1 2  线性表示，即   n−r , , , 1 2  是原方程组的一个 基础解系。 ■ 由定理的证明过程可知， A x =  的基础解系不唯一（这表现在 r r n x , x , , x +1 +2  可取不 同的值）。 当 r(A) = r  n 时， A x =  的任意 n − r 个线性无关的解向量 n−r  , , 1  都是它的一 个基础解系。 例 3 求下列齐次线性方程组的一个基础解系：      + + = + − = + + = 0 0 0 3 4 5 1 2 3 1 2 5 x x x x x x x x x 解           = − 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 A           ⎯→ 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1