事实上Ax=0的基础解系就是Ax=0解空间的一组基。因此若基础解系为η1…,n 则其线性组合全体k+…+k1构成了Ax=θ全部解。故其解的一般形式可写成 n=kn1+…+k,n,k1,…,k,∈R 我们称其为Ax=0的通解。 当r(A)=n时,Ax=θ只有唯一零解,即解空间v={θ}。故无基础解系。 当r(A)=r<n时,Ax=θ有无穷多解,即解空间V≠{θ}。从而Ax=θ有基础解系。 定理4对于n元齐次线性方程组Ax=0,如果r(A)=r<n,则Ax=0必有基础解系, 且任一个基础解系中必有n-P个解向量n1…nn 证明因为r(A)=r<n,不妨设A的前r个列向量线性无关,于是,A的行最简形为, 10 0b1 b 01 A→00 b…b, B Pr-I 00 B对应的方程组(与原方程组同解)为 1xr+1 b (6) 任意取定x*13x2,…,xn的一组值,可唯一确定(6)的一组解,也就是原方程组的一组解。 现分别取x+1,x+2,…,xn的n-F组值, bu2 由(6),依次可得/ 0)(0 b69 事实上 A x = 的基础解系就是 A x =  解空间的一组基。因此若基础解系为  t , , 1  ， 则其线性组合全体 t t k11 ++ k  构成了 A x =  全部解。故其解的一般形式可写成  = k11 ++ ktt , k1 ,  , kt  R。 我们称其为 A x =  的通解。 当 r(A) = n 时， A x =  只有唯一零解，即解空间 V = {} 。故无基础解系。 当 r(A) = r  n 时， A x =  有无穷多解，即解空间 V  {} 。从而 A x = 有基础解系。 定理 4 对于 n 元齐次线性方程组 A x = ，如果 r(A) = r  n ，则 A x = 必有基础解系， 且任一个基础解系中必有 n − r 个解向量  n−r , , 1  。 证明 因为 r(A) = r  n ，不妨设 A 的前 r 个列向量线性无关，于是，A 的行最简形为， b b B b b b b A r r n r n r n r =                       → − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 , 21 2, 11 1,                         . B 对应的方程组（与原方程组同解）为        = − − − = − − − = − − − + − + − + − r r r r n r n r n r n r n r n x b x b x x b x b x x b x b x 1 1 , 2 21 1 2, 1 11 1 1,     （6） 任意取定 r r n x , x , , x +1 +2  的一组值，可唯一确定(6)的一组解，也就是原方程组的一组解。 现分别取 r r n x , x , , x +1 +2  的 n − r 组值， , 1 0 0 , , 0 1 0 , 0 0 1 2 1                                           =               + +      n r r x x x 由(6)，依次可得 , , , , , 2, 1, 2 22 12 1 21 11 2 1               − − −               − − −               − − − =               − − − r n r n r n r r r r b b b b b b b b b x x x     