炼油厂模型(矩阵与线性方程组) 、问题的提出: 考虑一家开办了3个炼油厂的公司,每个炼油厂生产3种石油产品:燃料油 柴油和汽油。设从1桶(1桶为31.5加仑一译注)原油中,第一个炼油厂生产16加 仑(1加仑为37385升一译注)燃料油,8加仑柴油及4加仑汽油;第二个炼油厂生 产8加仑燃料油,20加仑柴油,10加仑汽油;第三个炼油厂生产8加仑燃料油 加仑柴油,20加仑汽油。现在需要9600加仑燃料油,12800加仑柴油及16000 仑汽油,则每个炼油厂所用石油的桶数是多少? 分析:这是一个涉及到多变量的问题,比起中学学习的一元代数稍微复杂一 点。我们可以用线性代数这个工具,使它与一元代数同样容易求解 首先,由于每个炼油厂生产这三种产品的数量各不相同,我们可以用下图来描 第一炼油厂第二炼油厂第三炼油厂 燃料油16 柴油8 4 10 图中的每一列表示一个炼油厂的生产能力,例如第三列表明第三炼油厂可生产 燃料油8加仑,柴油8加仑,汽油20加仑 图中的每一行表示不同炼油厂生产某种产品的数量,例如第二行表明第一个炼 油厂产柴油8加仑,第二炼油厂产柴油20加仑,第三炼油厂产柴油8加仑 其次,设x;表示第i个炼油厂所用石油的桶数,则x应该满足下列线性方程 16x1+8x2+8x3=9600 8x1+20x2+8x3=12800 4x1+10x2+20x3=16000 1688 =1 12800 41020 注意到A是一个3×3矩阵,x是一个3×1矩阵,所以Ax是一个3×1矩阵 从而上述方程组可以用矩阵乘法简写为Ax=β,这种写法不仅节省了篇幅,更重 要的是可以用矩阵的方法来处理方法线性方程组 二、问题的解答￾✁✂✄☎ ✆✝✞✟✠✡☛☞✌ ✍ ✎✏✑✒✓✔✕✖ ✗✘✙✚✛✜✢ 3 ✣✤✥✦✧★✩✪✫ ✣✤✥✦✬✭ 3 ✮✯✥✭✰✖✱✲✥✏ ✳ ✥✴✵✥✶✷✸ 1 ✹ ✺1 ✹✻ 31.5 ✼✽✾✿❀ ❁❂ ✥❃✪ ❄✙✣✤✥✦✬✭ 16 ✼ ✽ ✺1 ✼✽✻ 3.785 ❅✾✿❀ ❁✱✲✥✪8 ✼✽✳ ✥❆ 4 ✼✽✵✥❇❄❈✣✤✥✦✬ ✭ 8 ✼✽✱✲✥✪ 20 ✼✽✳ ✥✪ 10 ✼✽✵✥❇❄❉✣✤✥✦✬✭ 8 ✼✽✱✲✥✪ 8 ✼✽✳ ✥✪ 20 ✼✽✵✥✶❊❋●❍ 9600 ✼✽✱✲✥✪ 12800 ✼✽✳ ✥❆ 16000 ✼ ✽✵✥✪■✫ ✣✤✥✦❏❑✯✥✧✹▲▼◆❖ P ◗❘✖❙ ▼ ✙ ✣❚❆❯◆❱❲✧ ❳❨✪❩❬ ❃❭❭ ❪✧✙❫❴▲❵❛❜❝✙ ❞ ✶❡❢❣❤❑✐❥❴ ▲ ❙ ✣❦❧✪♠♥♦✙❫❴▲♣qrst✉✶ ✈✇✪ ①②✫ ✣✤✥✦✬✭❙❉✮✭✰✧▲❲③④⑤♣✪❡❢❣❤❑⑥⑦⑧⑨ ⑩✖ ❄✙✤✥✦ ❄❈✤✥✦ ❄❉ ✱✲ ✤✥✦ ✥ 16 8 8 ✳ ✥ 8 20 8 ✵ ✥ 4 10 20 ⑦❃✧ ✫✙❶❷❸✙✣✤✥✦✧✬✭❹❺✪❻❼❄❉❶❷❽❄❉✤✥✦❣✬✭ ✱✲✥ 8 ✼✽✪✳ ✥ 8 ✼✽✪✵✥ 20 ✼✽✶ ⑦❃✧ ✫✙❾❷❸④♣✤✥✦✬✭❿✮✭✰✧▲❲✪❻❼❄❈❾❷❽❄✙✣✤ ✥✦✭✳ ✥ 8 ✼✽✪❄❈✤✥✦✭✳ ✥ 20 ✼✽✪❄❉✤✥✦✭✳ ✥ 8 ✼✽✶ ➀➁✪ ✷ xi ❷❸❄ i ✣✤✥✦❏❑✯✥✧✹▲✪■ xi ➂➃➄➅⑥ ❶ ✐❥➆➇ ➈✖    16x1 + 8x2 + 8x3 = 9600 8x1 + 20x2 + 8x3 = 12800 4x1 + 10x2 + 20x3 = 16000 (1) ➉ A =   16 8 8 8 20 8 4 10 20  , x =   x1 x2 x3  , β =   9600 12800 16000   ❀➊❯ A ▼ ✙ ✣ 3 × 3 ➋➌✪ x ▼ ✙ ✣ 3 × 1 ➋➌✪❏❤ Ax ▼ ✙ ✣ 3 × 1 ➋➌➍ ✸➎➏⑩ ➆➇➈ ❣❤❑➋➌➐➑➒➓✻ Ax = β , ❙ ✮ ➓➑④➔→➣✢↔↕✪➙➛ ❍ ✧▼❣❤❑➋➌✧➆➑⑧➜➝➆ ➑ ✐❥➆➇➈ ➍ ➞✏✑✒✓➟➠✖ 1