区间可加性 设∫f(x)k收敛,则对任意c∈[a+∞),「。f(x)x收敛,且 f(x) dx=l,f(x)dx+f(x)dx: 证明:由定积分的区间可加性,可知∫f(x=f(x+(x)t,再 令A (2)设(x)=g()=512,则∫/(x)k与门8(x)收敛,但∫(x(x)k 不收敛。 10.证明当a>0时,只要下式两边的反常积分有意义,就有 aInt d=lnd∫ dx 证 In o glade In x-In dx ∞ [ x aIn dx 对上式右端两积分中任意一个(例如第二个)作变量代换x=,则 当 时 0;且 nx-Ina Int-In a 于是由 Int-In dt, 得到 In x a a dx t a Int-Ina dt=0区间可加性： 设∫ 收敛，则对任意 +∞ a f (x)dx c ∈[a,+∞) ，∫ 收敛，且 +∞ c f (x)dx ∫ +∞ a f (x)dx = ∫ c a f (x)dx ∫ +∞ + c f (x)dx ； 证明：由定积分的区间可加性，可知 ，再 令 。 ∫ A a f (x)dx = ∫ c a f (x)dx + ∫ A c f (x)dx A → +∞ （2）设 x x f x g x sin ( ) = ( ) = ，则 与 收敛，但 不收敛。 ∫ +∞ 1 f (x)dx ∫ +∞ 1 g(x)dx ∫ +∞ 1 f (x)g(x)dx 10. 证明当a > 0时，只要下式两边的反常积分有意义，就有 ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 0 ln dx x x x a a x f ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 0 1 ln dx x x a a x a f 。 证 ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 0 ln dx x x x a a x f ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + 0 1 ln dx x x a a x a f dx x x a x a a x f ln ln 0 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ + +∞ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ + dx x x a x a a x f a ln ln 0 dx x x a x a a x f a ln − ln ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ + +∞ ， 对上式右端两积分中任意一个（例如第二个）作变量代换 t a x 2 = ，则 当 x : a → +∞ 时，t : a → 0 ；且 + = x a a x t a a t + ， dt t t a dx x ln x ln a ln − ln = − ， 于是由 dx x x a x a a x f a ln − ln ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ + +∞ dt t t a t a a t f a ln ln 0 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = −∫ + ， 得到 ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 0 ln dx x x x a a x f ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + 0 1 ln dx x x a a x a f 0 a x a x ln ln a f dx a x x ⎛ ⎞ − = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 0 ln ln 0 a t a t a f dt a t t ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ ∫ 。 273