(S) Inx dr=JoIn xd arcsinx=(n x)b0-5oS arcsin x dx ln2。 7.求下列反常积分的 Cauchy主值: 1+x (1)(cp)-1+dx, (2)(cpy)「 PV 解(1)(cpv)∫ 1+x dx= lim [arctanx+in(1+x2)]=A (2)(cpy2bk=m22+(mx2)]=m2。 (3)(cpv)Ju2xIn d=1mmn对品+(mmx 8.说明一个无界函数的反常积分可以化为无穷区间的反常积分。 证设/(x是一个无界函数反常积分,x=b是f(x)的唯一奇点 即/()在x=b的左领域无界)。令1=b-a,则 f/(xk=(b-o∫fb 等式右端就是一个无穷区间的反常积分。 9.(1)以∫f(x)为例,叙述并证明反常积分的保序性和区间可加 性 (2)举例说明,对于反常积分不再成立乘积可积性。 解(1)保序性: 设∫f(x)与∫g(x)收敛,且在[a+∞)成立f(x)2g(x),则 f(x)dx2」g(x)dx; 证明:由定积分的保序性,可知f(x)2g(x),再令A→+ 72(5) ∫ = − 1 0 2 1 ln dx x x ∫ 1 0 ln xd arcsin x 1 0 = (ln x arcsin x) − ∫ 1 0 arcsin dx x x ln 2 2 π = − 。 ⒎ 求下列反常积分的 Cauchy 主值： ⑴ (cpv) 1 1 2 + + −∞ +∞ ∫ x x dx ; ⑵ (cpv) 1 2 1 4 x dx − ∫ ; ⑶ (cpv) ln / 1 1 2 2 x x ∫ dx 。 解 (1) (cpv) 1 1 2 + + −∞ +∞ ∫ x x dx = + + = π + − →+∞ A A A x ln(1 x )] 2 1 lim [arctan 2 。 (2) (cpv) 1 2 1 4 x dx − ∫ = − + − = − + → + lim [(ln 2 ) (ln 2 ) ] 2 1 4 2 0 η η η x x ln 2。 (3) (cpv) ln / 1 1 2 2 x x ∫ dx = + = − + → + lim [(ln ln ) (ln ln ) ] 1 1/ 2 2 1 0 η η η x x 0。 ⒏ 说明一个无界函数的反常积分可以化为无穷区间的反常积分。 证 设∫ 是一个无界函数反常积分， b a f (x)dx x = b是 f (x)的唯一奇点 （即 f (x)在 x = b的左领域无界）。令 b x b a t − − = ，则 ∫ b a f (x)dx 1 2 ( ) t dt t b a b a f b ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − − ， 等式右端就是一个无穷区间的反常积分。 ⒐ ⑴ 以 为例，叙述并证明反常积分的保序性和区间可加 性； ∫ +∞ a f (x)dx ⑵ 举例说明，对于反常积分不再成立乘积可积性。 解 （1）保序性： 设∫ 与 收敛，且在 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx [a,+∞)成立 f (x) ≥ g(x)，则 ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ ≥ a g(x)dx； 证明：由定积分的保序性，可知∫ ，再令 。 A a f (x)dx ≥ ∫ A a g(x)dx A → +∞ 272