第1章 极限 微积分实际上是用微分和积分的方法来研究变量，大体上可分为微分部分、积分部 分和它们之间的关系这三个部分.现在公认为微积分是由Newton(牛顿)和Leibniz (莱布尼兹)发明的.微积分的基础是极限理论，在微积分发展初期，极限的概念从 逻辑上来说很不严密，从而造成长达两百年之久的争论.直到19世纪初Cauchy（柯 西)、Veierstrass(魏尔斯特拉斯)、Riemann(黎曼)等人在前人工作的基础上逐步完成 了极限理论的严格化，这种争论才算结束.极限理论严格化的标志性节点是实数理论的 建立，而极限理论的严格化以及后来微积分的进一步发展都离不开对实数集合的讨论， §1.1 实数 有关实数理论的详细讨论将在第三册中展开，作者也可以从其他教学参考书中得到 更多信息这里仅做描述性介绍并陈述一些基本事实， 1.1.1整数与有理数 自然数是一切数的出发点.通常用N表示自然数集合 N={0,1,2,3,…} 自然数集对加法运算封闭，即任意两个自然数a和b,他们的和a+b还是自然数.自然 数集对减法运算不封闭，对加减法运算封闭的数集是整数集合 Z={0,±1，±2，±3，…}， 它是自然数集的一个扩充.如果考虑乘法运算，则整数集对乘法运算封闭，但对乘法运 算的逆运算一除法运算不封闭.在整数集合中添加整数相除的商，就得到有理数的全 体 Q=号19∈么，4≠0， 它对加减乘除四则运算封闭，也称Q为有理数域 在数的发展之初，主要是用来计数和丈量线段的长度.但是由勾股定理可知边长为 1的正方形的对角线长度a满足a2=2（这个数记为a=√2)，这样的数是不能用有 理数表示的，因此必须引入更多的数.1 1 Ù 4 ‡È©¢Sþ´^‡©ÚÈ©{5ïÄCþ, ŒNþŒ©‡©Ü©!È©Ü ©Ú§‚ƒm'Xùn‡Ü©. y3ú@‡È©´d Newton £Úî¤Ú Leibniz £4ÙZ[¤u². ‡È©Ä:´4nØ, 3‡È©uÐÐÏ, 4Vgl Ü6þ5`éØî, l E¤ˆüzcƒÈØ. † 19 ­VÐ Cauchy£… ܤ!Weierstrass£ŸdA.d¤!Riemann£iù¤<3c<óŠÄ:þÅÚ¤ 4nØî‚z, ù«ØâŽ(å. 4nØî‚zI5!:´¢ênØ ïá, 4nØî‚z±9￾5‡È©?ÚuÐÑlØmé¢ê8Ü?Ø. §1.1 ¢ê k'¢ên؍[?Øò31nþ¥Ðm, ŠöŒ±lÙ¦ÆëÖ¥ õ&E.ùp=‰£ã50¿ã į¢. 1.1.1 ê†knê g,괃êÑu:. Ï~^ N L«g,ê8Ü N = {0, 1, 2, 3, · · · } g,ê8é\{$Žµ4, =?¿ü‡g,ê a Ú b, ¦‚Ú a + b „´g,ê. g, ê8é~{$ŽØµ4, é\~{$Žµ4ê8´ê8Ü Z = {0, ±1, ±2, ±3, · · · }, §´g,ê8‡*¿. XJĦ{$Ž, Kê8é¦{$Žµ4, é¦{$ Ž_$Ž Ø{$ŽØµ4. 3ê8Ü¥V\êƒØû, Òknê N Q = { p q | p, q ∈ Z, q 6= 0}, §é\~¦ØoK$Žµ4, ¡ Q knê. 3êuЃÐ, ̇´^5OêÚàþ‚ãÝ. ´d½nŒ> 1 /é‚Ý a ÷v a 2 = 2 £ù‡êP a = √ 2¤, ùê´ØU^k nêL«, Ïd7LÚ\õê.