第十二章重积分 证明:∫ dadu f( ar/(kdr 首先有:[(f(x)tdy= (’b Vl)Vs( +2c2‖2dtd=1 再者:有:(M-f(x) f(x) M+m)2(m+f() f(x) (M+m)≥Mm+/(xkt fl) 令u=(x),r dy fe Mm w< n2+Mmy2(M+m)2-2√ 2Mmun≤ (M+m) (M+m) 即 f(x),(M+m) 4Mm 4Mm Syst 综合在一起有:1sff(Mbs(M+m) 4Mm 另外,该问题后一部可利用以下结果:两正数之和小于 正数A,则乘积的最大值为 (xy) 2 ls.tx+y≤Ax,y≥0 →当 时,xy取最大值,即 A 第十二章重积分第十二章 重积分 第十二章 重积分 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     = =         1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 dx f x dx f x dxdy f x f y dxdy f y f x y x y x 首先有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                   = + 0 1 0 1 0 1 0 1 2 y x y x dxdy f x f y f y f x dxdy f y f x = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2  =         +         −           y x y x dxdy dxdy f x f y f y f x ; 再者：有： ( ( )) ( )           − 1− 0 f x m M f x ( ) ( ) f (x) f x M m M + m  +  ( ) ( ) ( )   +  + 1 0 1 0 f x dx f y dy M m Mm 令   = = 1 0 1 0 ( ) 1 ( ) , dy f y u f x dx v , ( ) 2 2 2 2 2 2 u Mmv M m mM uv Mm uv + −  +   ( ) 2 2 2 M m Mm uv +   ( ) Mm M m uv 4 2 +  . 即 ( ) ( ) ( ) M m M m dxdy f y f x y x 4 2 0 1 0 1 +       综合在一起有： ( ) ( ) ( ) M m M m dxdy f y f x y x 4 1 2 0 1 0 1 +        另外，该问题后一部可利用以下结果：两正数之和小于 正数 A , 则乘积的最大值为 2 2       A , 即 ( )    s. t. x + y  A; x, y  0 Max x y  当 2 A x = y = 时, xy 取最大值，即 2 2        A xy