精品课程《数学分析》课外训练方案 同理∫(x2-y)k=∫(x2-y2)=J(x2-y2)=0 故=J(2-2)+(x2-x)+(x2-y2)k=J(2-x2) 下面求曲线L的参数方程。 方法1利用球面的参数方程 x=acos g, y=asin Osino, 2= acos o, 代入柱面方程x2+y2=ax得sinp=cosO,于是得L的参数方程 x=acos2b,y= asin a 0,= alsin,从到z 方法2利用柱面的参数方程x=+c0s日,y=sinO,代入球面方程 x2+y2+z2=a2,得L的参数方程 x2?2c0nb,z= a sin。|,b从2z到0 aa 不妨取方法1中的参数方程进行计算 (=2-x2)dy=a2[sin20-cos*]]a(cos20-sin20)de r/2 2a'[1-cos20-cos](2 cos26-1)de =-2a'(1+3cos 8-cos 0)de n-2+4-4.2.2-26.4.2.21=2m 四、自测题 1.计算下列第一型曲线积分: ()J(x2+y),其中L是以(0,0),(2,0),(0,1)为项点的三角形 ∫Vx+yds,其中L是圆周x2+y2=ar: (3),xzds,其中L为螺线x= a cos t,y= a sin t,z=b1(0<a<b),0≤t≤2; ()Jy2ds,其中L为摆线的一拱x=a(t-sin)y=a(1-cos.0≤≤2r 2.计算下列第一型曲面积分:精品课程《数学分析》课外训练方案 5 同理 ∫ − L (x y )dz 2 2 ∫ ≥ = − , 0 2 2 ( ) L y x y dz ( ) 0 , 0 2 2 = − = ∫ L y≤ x y dz 故 ∫ = − + − + − L I ( y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 ∫ = − L (z x )dy 2 2 下面求曲线 L 的参数方程。 方法 1 利用球面的参数方程 x = a cosθ sinφ ， y = a sinθ sinφ ， z = a cosφ ， 代入柱面方程 x + y = ax 得 2 2 sinφ = cosθ ，于是得 L的参数方程 θ2 x = a cos ， y = a sinθ cosθ ， z = a | sinθ | ， θ 从 2 π 到 2 π − 方法 2 利用柱面的参数方程 cosθ 2 2 a a x = + ， sinθ 2 a y = ，代入球面方程 2 2 2 2 x + y + z = a ，得 L的参数方程 cosθ 2 2 a a x = + ， sinθ 2 a y = ， | 2 | sin θ z = a ， θ 从 2π 到0 不妨取方法 1 中的参数方程进行计算， ∫ = − L I (z x )dy 2 2 ∫ − = − − / 2 / 2 2 2 4 2 2 [sin cos ] (cos sin ) π π a θ θ a θ θ dθ ∫ = − − − 0 / 2 3 2 4 2 2 [1 cos cos ](2cos 1) π a θ θ θ dθ ∫ = − − + − − / 2 0 3 2 4 6 2 ( 1 3cos cos 2cos ) π a θ θ θ dθ 3 3 2 ] 6 4 2 2 5 3 2 4 2 2 3 4 3 2 1 2a [ a π π = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = − − + − 四、自测题 1．计算下列第一型曲线积分： (1) 2 2 ( ) L x + y ds ∫ ，其中 L 是以（0，0），（2，0），（0，1）为顶点的三角形； (2) 2 2 L x + y ds ∫ ，其中 L 是圆周 2 2 x + y = ax ； (3) L xyzds ∫ ，其中 L 为螺线 x = = a t cos , y a sin t , ( z b = t 0 < < a b),0 ≤ t ≤ 2π ； (4) ，其中 2 L y ds ∫ L 为摆线的一拱 x a = ( s t − = in t), y a(1− cost),0 ≤ t ≤ 2π 。 2．计算下列第一型曲面积分：