精品课程《数学分析》课外训练方案 )』(x+y2),其中S是立体√x+y2≤:1的边界曲面: )JA,其中S为柱面x+y=F被平面:=0和=B所截取的部分 ()jxy2S,其中S为曲面=x2+y2被=1割下的部分 ()(x2+y),S是球面x2+y2+=2=R2 3.设曲线L的方程为 x= e cos t,y=e'sint,z=e(0≤t≤1), 它在每一点的密度与该点的矢径平方成反比,且在点(1,0,1)处为1,求它的质量 4.设有一质量分布不均匀的半圆弧x= rcos 6,y= rsin 6(0≤b≤丌),其线密度p=aO(a为常数), 求它对原点(0,0)处质量为m的质点的引力 5.求均匀球面z=√a2-x2-y2(x20,y≥0,x+y≤a)的重心坐标 6.若曲线以极坐标给出:P=P(O)(≤0≤B),试给出计算∫f(x,y)d的公式,并用此公式计算下 列曲线积分: ()e+)s,其中L是曲线p=a(0≤B≤z) 2)Jxds,其中L是对数螺线p=ae"(k>0)在圆r=a内的部分 7.求密度=的截圆锥面x=rcos,y= rSin g,z=r(0≤q≤2n,0<b≤r≤a)对位于曲面顶点 (0,0,0)的单位质点的引力.当b→>0时,结果如何? 计算F(=(x,y,),其中S是一平面x+y+=1,而 f(x,y,)= j1-x-y2-2,当x2+y2+=2s1 0 当x2+y2+x2>1 计算下列第二型曲线积分 (1)[(2a-y)x+d,其中L为摆线x=a(-sin),y=a(1-cos),(0≤1≤2x)沿t增加的方向 e2)〔-xdx+ydds,其中L为圆周x2+y2=a2依逆时针方向 (3)x+y+h,其中L为从(1,1)到(2.34)的直线段精品课程《数学分析》课外训练方案 6 (1) 2 2 ( ) S x + y dS ∫∫ ，其中 S 是立体 2 2 x + y z ≤ ≤1的边界曲面； (2) 2 S dS 2 x + y ∫∫ ，其中 S 为柱面 2 2 2 x + = y R 被平面 z = 0和 z = H 所截取的部分； (3) 3 2 | | S x y z dS ∫∫ ，其中 S 为曲面 2 2 z x = + y 被 z =1割下的部分； (4) 2 2 ( ) S x + y dS ∫∫ ， S 是球面 2 2 2 2 x + + y z = R 。 3．设曲线 L 的方程为 cos , sin , t t t x = = e t y e t z = e 0 (0 ≤ t t ≤ ) ， 它在每一点的密度与该点的矢径平方成反比，且在点(1,0,1)处为 1，求它的质量． 4．设有一质量分布不均匀的半圆弧 x r = = cosθ , y rsinθ θ (0 ≤ ≤ π ) ，其线密度 ρ = aθ ( 为常数)， 求它对原点(0，0)处质量为 m 的质点的引力． a 5．求均匀球面 2 2 2 z a = − x − y ( 0 x ≥ ≥ , y x 0, + y ≤ a) 的重心坐标． 6．若曲线以极坐标给出：ρ = ρ θ( ) 1 ( 2 θ ≤ θ θ ≤ ) ，试给出计算 ( , ) L f x y ds ∫ 的公式，并用此公式计算下 列曲线积分： (1) 2 2 x y L e d + ∫ s ，其中 L 是曲线 (0 ) 4 a π ρ = ≤ θ ≤ ； (2) L xds ∫ ，其中 L 是对数螺线 ( 0 在圆 k ae k θ ρ = > ) r = a 内的部分． 7．求密度 ρ = ρ0 的截圆锥面 x = = r y cosϕ, rsinϕ ϕ ,z = r(0 ≤ ≤ 2π ,0 < b ≤ r ≤ a) 对位于曲面顶点 (0,0,0)的单位质点的引力．当b → 0时，结果如何？ 8．计算 ( ) ( , , ) ，其中 是一平面 S F t = f x y z dS ∫∫ S x y + + z = t ，而 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , 1, ( , , ) 0, 1. x y z x y z f x y z x y z ⎧⎪ − − − + + ≤ = ⎨ ⎪⎩ + + > 当 当 9．计算下列第二型曲线积分： (1) (2 ) ，其中 L a − y dx + dy ∫ L 为摆线 x a = ( s t − = in t), y a(1− cost),(0 ≤ t ≤ 2π ) 沿t 增加的方向； (2) 2 2 L xdx ydy ds x y − + + ∫ ，其中 L 为圆周 2 2 2 x + y = a 依逆时针方向； (3) L xdx + + ydy zdz ∫ ，其中 L 为从（1,1,1）到（2,3,4）的直线段；