P(A41A4+4)=141 3/43 即已知其中有一个是女孩的条件下,另一个也是女孩的概率为 十、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式 例袋中有一个红球和一个白球,从中随机摸出一个球,如果取出的球是红球,则把此 球放回袋中,并加进一个红球,然后从中再摸一个球,如果还是红球则仍把此红球放回袋中 并加进一个红球,如此反复进行,直到摸出白球为止,求第n次才摸出白球的概率。 分析“第n次才摸出白球”这一事件等价于“n次摸球中,前n1次摸出的均为红球 第n次摸出的是白球”,由于每次摸球的结果的可能性均依赖于前面摸球的结果,这是典型 的利用乘法公式求交的概率的问题 解设A={第i次摸出红球},i=l,2,3,…,n. 显然 P(4)=,P(41|4)=5,P(A-1A1、A n一 P44A)=n+1Px14-4)=m+ 于是 P(A1A2.AL)=P(4)P(A2|A).P(An1A1…A2).P(An|A1…A) 123 n =一X-X-Xx 234 例某商店收进甲厂生产的产品30箱,乙厂生产的同类产品20箱,甲厂产品每箱装100 个,废品率为0.06,乙厂产品每箱装120个,废品率为0.05 (1)任取一箱,从中任取一个产品,求其为废品的概率; (2)若将所有产品开箱混装,任取一个,求其为废品的概率。 分析这是一个典型的全概率公式应用的概率计算问题,为求最终取得的产品为废品的 概率,题设已知甲厂产品的废品率,即已知是甲厂产品的条件下,产品为废品的概率,也已 知乙厂产品的废品率,即已知是乙厂的条件下,产品为废品的概率,利用全概率公式还需知 道产品是甲厂产品或乙厂产品的概率,问题(1)和(2)抽取产品的方式不同,在问题(1) 中每箱等可能被抽到,而问题(2)中每个产品被等可能抽到,因而会导致两种方式下抽到 的产品是甲厂或乙厂的产品的概率不同。 解设A={产品为甲厂的}B={产品为废品} 由题设知P(B|A)=006P(B|)=005,由全概率公式有 P(B)=P(A)(B A)+P(A)P(BA) (1)共50箱,甲厂30箱,乙厂20箱,每箱被等可能取到,于是PA)=3P()=2 故1 2 2 1 1/ 4 1 ( ) 3/ 4 3 P A A A A + = = 即已知其中有一个是女孩的条件下，另一个也是女孩的概率为 1 3 。 十、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式 例 袋中有一个红球和一个白球，从中随机摸出一个球，如果取出的球是红球，则把此 球放回袋中，并加进一个红球，然后从中再摸一个球，如果还是红球则仍把此红球放回袋中 并加进一个红球，如此反复进行，直到摸出白球为止，求第 n 次才摸出白球的概率。 分析 “第 n 次才摸出白球”这一事件等价于“n 次摸球中，前 n-1 次摸出的均为红球， 第 n 次摸出的是白球”，由于每次摸球的结果的可能性均依赖于前面摸球的结果，这是典型 的利用乘法公式求交的概率的问题。 解 设 Ai ={第 i 次摸出红球}，i=1，2，3，…，n. 显然 1 2 1 1 1 2 1 2 1 ( ) , ( ) , ( ... ) , 2 3 n n n P A P A A P A A A n − − − = = = 1 1 1 1 1 ( ... ) , ( ... ) . 1 1 n n n n n P A A A P A A A n n − − = = + + 于是 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 ( ... ) ( ) ( )... ( ... ) ( ... ) 1 2 3 1 1 ... 2 3 4 1 1 . ( 1) P A A A A P A P A A P A A A P A A A n n n n n n n n n n n − − − − =  − =      + = + 例 某商店收进甲厂生产的产品 30 箱，乙厂生产的同类产品 20 箱，甲厂产品每箱装 100 个，废品率为 0.06，乙厂产品每箱装 120 个，废品率为 0.05。 （1）任取一箱，从中任取一个产品，求其为废品的概率； （2）若将所有产品开箱混装，任取一个，求其为废品的概率。 分析 这是一个典型的全概率公式应用的概率计算问题，为求最终取得的产品为废品的 概率，题设已知甲厂产品的废品率，即已知是甲厂产品的条件下，产品为废品的概率，也已 知乙厂产品的废品率，即已知是乙厂的条件下，产品为废品的概率，利用全概率公式还需知 道产品是甲厂产品或乙厂产品的概率，问题（1）和（2）抽取产品的方式不同，在问题（1） 中每箱等可能被抽到，而问题（2）中每个产品被等可能抽到，因而会导致两种方式下抽到 的产品是甲厂或乙厂的产品的概率不同。 解 设 A={产品为甲厂的},B={产品为废品} 由题设知 P B A P B A ( ) 0.06, ( ) 0.05 = = ，由全概率公式有： P B P A P B A P A P B A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + 。 （1） 共 50 箱，甲厂 30 箱，乙厂 20 箱，每箱被等可能取到，于是 3 2 ( ) , ( ) 5 5 P A P A = = ， 故