cx(1-x)4-f(x)≤5 取N=[,],当n>N时, f(x)< k=o (n 对一切x∈0,1成立。 证毕 定理10.51还可以表述为:设∫在[a,b连续,则它的 Bernstein多项式序 列{Bn(,x)}在[a,b上一致收敛于∫。 注意点 (1)学生容易误认为:只要将∫(x)在{a,b]上展开成幂级数 fx)=∑an(x-x)”,x∈[a,b 然后令其部分和函数(多项式) Sn(x) ar(x-xo 则f(x)在[a,b上就可以由多项式序列{Sn(x)}一致逼近了。 事实上,对任意正整数n,n次多项式Sn(x)只能是在n-1次多项式Sn-1(x)的基 础上增加一项an(x-xo),而不能更改Sn-1(x)的任何一项。但是这么做需要函数 具有很好的分析性质,因为一个函数能展开成幂级数的必要条件之一是它任意次 可导,而对仅要求“一个函数可以用多项式一致逼近”来说,这个条件实在是过 分强了。究其原因,幂级数的部分和函数序列只是多项式序列的一种特殊情况。 如果不是用幂级数,而是用一般的多项式序列来逼近,则对函数的要求就可以弱 得多。事实上, Weierstrass首先证明了:闭区间[a,b上任意连续函数f(x)都可 以用多项式一致逼近。 (2)定理证明有许多方法,例如还有 Bernstein给出的证明等。可以介绍同学自 己去阅读相关的资料,对多项式逼近连续函数的不同证明进行比较,扩大知识面 提高学习能力。∑= − ⎟ − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n k k k n k n x x f x n k f 0 C (1 ) ( ) ≤ 2 ε + 2 2nδ M 。 取 N = [ δ ε 2 M ]，当 n＞N 时, ∑= − ⎟ − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n k k k n k n x x f x n k f 0 C (1 ) ( ) ＜ε 对一切 x∈[0, 1]成立。 证毕 定理 10.5.1 还可以表述为： 设f 在 [a, b] 连续，则它的Bernstein多项式序 列｛Bn (f , x)｝在 [a, b] 上一致收敛于f 。 注意点 （1）学生容易误认为：只要将 f (x)在 [a, b] 上展开成幂级数 f (x) = ∑ , x∈[a, b] ， ∞ = − 0 0 ( ) n n n a x x 然后令其部分和函数（多项式） Sn (x) = ∑ ， = − n k k k a x x 0 0 ( ) 则f (x)在 [a, b] 上就可以由多项式序列｛Sn (x)｝一致逼近了。 事实上，对任意正整数n，n次多项式Sn (x)只能是在n-1 次多项式Sn -1(x)的基 础上增加一项an (x - x0) n ，而不能更改Sn -1(x)的任何一项。但是这么做需要函数 具有很好的分析性质，因为一个函数能展开成幂级数的必要条件之一是它任意次 可导，而对仅要求“一个函数可以用多项式一致逼近”来说，这个条件实在是过 分强了。究其原因，幂级数的部分和函数序列只是多项式序列的一种特殊情况。 如果不是用幂级数，而是用一般的多项式序列来逼近，则对函数的要求就可以弱 得多。事实上，Weierstrass 首先证明了：闭区间 [a, b]上任意连续函数 f (x)都可 以用多项式一致逼近。 （2）定理证明有许多方法，例如还有 Bernstein 给出的证明等。可以介绍同学自 己去阅读相关的资料，对多项式逼近连续函数的不同证明进行比较，扩大知识面， 提高学习能力