Bn(,x)≥Bn(g,x) 对一切x∈[a,b]成立; (3)B1(1,x)=∑Cx2(1-x)=【x+(1-x)”=1 Bn(,x)=∑二Cx2( ∑Cmx(1-x) =x[x+(1-x)=x Bn(【,x) K=0 n- x2(1-x)=∑ k-1 x^(1-x) C n 综合上述三式,考虑函数(1-s)2在Bn映射下的像,注意s在这里被视为常 数,我们得到 Bn((t-s x)=Bn(G, x)-2sBn (t, x)+sBn(1, x) 现在我们来证明定理。 破于函数/在O1连续,所以必定有界,即存在M>0,对于一切t∈[,1], lf()|≤M; 而根据 Cantor定理,f在[0,1一致连续,于是对任意给定的ε>0,存在8>0, 对一切t,s∈[0, 当 时,成立 lf(1)-f(s) E 当|t-s|≥δ时,成立 2M 1f(1)-f()|≤2M≤-2(t-s) 也就是说,对一切,s∈[0,1l,成立 (t-s)≤f()-f(s) 2M 26 考虑上式的左端,中间,右端三式(关于t的连续函数)在映射Bn作用下的像 (关于x的多项式),注意f(s)在这里被视为常数,即Bn((),x)=f(s),并根据上面 性质(1),(2)与(3),得到对一切x,s∈[0,1],成立 (x-s] <B,(, x)-f(s) s)2] 令s=x,且注意x(1-x)≤1,即得则 Bn (f , x) ≥ Bn (g, x) 对一切 x∈[a, b]成立； (3) Bn (1, x) = ∑ = [x + (1- x)] = − − n k k k n k n x x 0 C (1 ) n = 1； Bn (t, x) = ∑= − − n k k k n k n x x n k 0 C (1 ) = x∑= − − − − − n k k k n k n x x 1 1 1 1 C (1 ) = x [x + (1- x)] n = x； Bn (t 2 , x) = ∑= − − n k k k n k n x x n k 0 2 2 C (1 ) = ∑= − − − − n k k k n k n x x n k 1 1 1 C (1 ) = ∑= − − − − − n k k k n k n x x n k 2 1 1 C (1 ) 1 + ∑= − − − − n k k k n k n x x 1 n 1 1 C (1 ) 1 = ∑= − − − − − − n k k k n k n x x x n n 2 2 2 2 2 C (1 ) 1 + ∑= − − − − − n k k k n k n x x n x 1 1 1 1 C (1 ) = 1 2 x n n − + n x = + 2 x n x x 2 − 。 综合上述三式，考虑函数 (t - s) 2 在Bn 映射下的像，注意s在这里被视为常 数，我们得到 Bn ((t - s) 2 , x) = Bn (t 2 , x) - 2sBn (t, x) + s 2 Bn (1, x) = x 2 + n x x 2 − - 2 sx + s 2 = n x x 2 − + (x - s) 2 。 现在我们来证明定理。 由于函数 f 在[0, 1]连续，所以必定有界，即存在 M＞0，对于一切 t ∈[0, 1] ， 成立 ｜f (t)｜≤M； 而根据 Cantor 定理，f 在[0, 1]一致连续，于是对任意给定的ε＞0，存在δ＞0， 对一切 t, s ∈[0, 1]， 当｜t - s｜＜δ时，成立 ｜f (t) - f (s)｜＜ 2 ε ; 当｜t - s｜≥δ时，成立 ｜f (t) - f (s)｜≤2M ≤ 2 2 δ M (t - s) 2 。 也就是说，对一切 t, s ∈[0, 1], 成立 - 2 ε - 2 2 δ M (t - s) 2 ≤ f (t) - f (s) ≤ 2 ε + 2 2 δ M (t - s) 2 。 考虑上式的左端，中间，右端三式(关于t的连续函数)在映射Bn 作用下的像 (关于x的多项式)，注意f (s)在这里被视为常数，即Bn (f (s), x) = f (s)，并根据上面 性质(1)，(2)与(3)，得到对一切x, s ∈[0, 1]，成立 - 2 ε - 2 2 δ M [ n x x 2 − + (x - s) 2 ] ≤Bn (f , x) - f (s) ≤ 2 ε + 2 2 δ M [ n x x 2 − + (x - s) 2 ]， 令 s = x，且注意 x(1 - x)≤ 4 1 , 即得